SA. Идеальный газ

Микро- и макропараметры системы

Атомы и молекулы, взаимодействую друг с другом, образуют разнообразные вещества (системы). Если число частиц невелико (десятки, сотни), то мы имеем микросистему. Если число частиц системы во много раз больше (миллионы и более), то такую систему называют макросистемой. Например, газ, состоящий из очень большого числа молекул — это макросистема. Большое число частиц системы приводит к появлению у нее новых свойств, которыми отдельные частицы не обладают. Например, давление газа есть результат непрерывного действия всех молекул на стенки сосуда, хотя не каждая молекула сталкивается со стенками. Для описания состояния макросистемы вводят параметры, которые называются параметрами состояния. Различают микропараметры и макропараметры состояния.

Микропараметры — это параметры, характеризующие отдельную частицу. Например, масса молекулы, ее скорость, энергия.

Макропараметры

Макропараметры — это параметры, характеризующие систему в целом. Например, объем V, давление p, средняя скорость молекул \(~\left\langle \upsilon \right\rangle\), температура T, концентрация n и т.д. Значения этих параметров могут быть установлены с помощью измерительных приборов.

Объем газа V — это объем сосуда, в котором газ находится. В Си измеряется в м³. Часто используется несистемная единица измерения 1 литр: 1 л = 10^-3 м³.

Давление р — скалярная физическая величина, равная отношению силы F к значению площади S площадки, на которую эта сила действует\[~p = \dfrac{F}{S}\]. Газ оказывает давление вследствие столкновений молекул со стенками сосуда. В Си единица давления 1 Н/м² = 1 Па (Паскаль). Внесистемные единицы измерения — 1 мм.рт.ст и 1 атмосфера. Нормальное давление равно одной физической атмосфере. 1 физическая атмосфера = 1 атм = 760 мм.рт.ст, 1 техническая атмосфера = 1 ат = 736 мм.рт.ст. 1 мм.рт.ст. = 133Па.

• Более строгое определение давления: давление р — скалярная физическая величина, равная отношению проекции силы на направление нормали к площадке, на которую сила действует, к значению площади этой площади.

Концентрация молекул n — это число молекул N в единице объема, т.е. \(~n = \dfrac{N}{V}\). Измеряется в 1/м³ = м^–3.

Температура — скалярная физическая величина, характеризующий степень нагретости тела.

По шкале Цельсия температура обозначается буквой t, измеряется в градусах Цельсия (ºС). За 1 ºС принята одна сотая промежутка от температуры плавления льда (0 ºС) до температуры кипения воды (100 ºС).

Абсолютная температурная шкала — шкала температур, в которой за начало отсчета принят абсолютный нуль. Температура здесь обозначается буквой T, измеряется в кельвинах (К). За единицу измерения в этой шкале принят один градус Цельсия, т.е. изменение на один кельвин (1 К) равно изменению на один градус Цельсия.

T = (t + 273) К или t = (T – 273) ºС,

где T — абсолютная термодинамическая температура (К); t — температура по шкале Цельсия (ºС).

Средние скорости молекул газов

Движение молекул газа подчиняется законам статистической физики. В каждый момент времени скорости отдельных молекул могут значительно отличаться друг от друга, но их средние значения одинаковы и при расчетах используются не мгновенные скорости отдельных молекул, а не которые средние значения. Различают среднюю арифметическую \(~ \left\langle \upsilon \right\rangle\) и среднюю квадратичную \(~\left\langle \upsilon_{KB} \right\rangle\) скорости хаотического движения молекул.

Пусть имеется N молекул, скорости которых соответственно υ₁, υ₂, ..., υ_N. Средняя арифметическая скорость хаотического движения молекул (при грубом приближении) по модулю определяется как сумма модулей скоростей молекул газа, деленная на их общее число:

\(~\left\langle \upsilon \right\rangle = \dfrac{\upsilon_1 + \upsilon_2 + \ldots + \upsilon_N}{N} .\)

Средняя квадратичная скорость хаотического движения молекул

\(~\left\langle \upsilon_{KB} \right\rangle = \sqrt{\left\langle \upsilon^2 \right\rangle} = \sqrt{\dfrac{\upsilon^2_1 + \upsilon^2_2 + \ldots + \upsilon^2_N}{N}} ,\)

где \(~\left\langle \upsilon^2 \right\rangle\) — средний квадрат скорости движения молекул. Его не следует смешивать с квадратом средней скорости\[~\left\langle \upsilon^2 \right\rangle \ne \left\langle \upsilon \right\rangle^2\].

• Как показывают расчеты, \(~\left\langle \upsilon \right\rangle = \sqrt{\dfrac{8R \cdot T}{\pi M}}\); \(~\left\langle \upsilon_{KB} \right\rangle = \sqrt{\dfrac{3R \cdot T}{M}}\) , где R — универсальная газовая постоянная, Μ — молярная масса.

• Более строгое определение средней скорости дано тут.

См. также

1. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе //6.12. Температура и тепловое равновесие системы
2. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе //6.13. Измерение температуры
3. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе //6.14. Абсолютная температурная шкала. Абсолютный нуль
4. Кикоин А. Температура, теплота, термометр //Квант. — 1990. — № 8. — С. 10-19
5. Мякишев Г.Я. Давление газа в сосуде //Квант. — 1987. — № 9. — С. 41-42
6. Температура

Идеальный газ

Рассмотрим свойства газов на основе МКТ. Для этого введем физическую модель идеального газа, в которой приняты следующие допущения:

1) размеры молекул малы по сравнению со средним расстоянием между ними; молекулы можно принимать за материальные точки;

2) силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях;

3) молекулы сталкиваются друг с другом как абсолютно упругие шары, движение которых описывается законами механики.

Таким образом, идеальным называется газ, в котором можно пренебречь собственным объемом молекул и межмолекулярным взаимодействием (кроме столкновений).

При небольших давлениях и не очень низких температурах реальные газы близки к идеальному газу. Например, водород, кислород при нормальных условиях в атмосфере можно рассматривать как идеальные газы.

При высоких давлениях молекулы газа находятся так близко, что между ними возникают заметные силы взаимодействия. Пренебречь их собственным объемом нельзя, и газ уже не является идеальным.

Основное уравнение МКТ идеального газа — это уравнение, связывающее микро- и макропараметры идеального газа. Одно из этих уравнений имеет вид:

\(~p = \dfrac{1}{3} n \cdot m_0 \cdot \left\langle \upsilon^2 \right\rangle , \quad (1)\)

где p — давление газа (Па); n — концентрация молекул (м^–3); m₀ — масса одной молекулы газа (кг); 〈v² 〉 — среднее значение квадрата скорости молекул (м/с²). Это уравнение называют еще уравнением Клаузиуса.

Давление можно выразить через среднюю кинетическую энергию молекул\[~\left\langle E_k \right\rangle = \dfrac{m_0 \cdot \left\langle \upsilon^2 \right\rangle}{2},\] где 〈E_k 〉 – средняя кинетическая энергия одной молекулы газа (Дж). Подставляя 〈E_k 〉 в уравнение Клаузиуса, получаем

\(~p = \dfrac 23 n \cdot \left\langle E_k \right\rangle. \quad (2)\)

Вывод основного уравнения

1. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе // 6.11. Основное уравнение МКТ идеального газа

1. Кикоин А.К. Давление идеального газа //Квант. — 1983. — № 10. — С. 35-37

Температура – мера средней кинетической энергии молекул

Можно провести следующий эксперимент. Взять сосуды с разными газами. Определить предварительно их объемы, массы и рассчитать число молекул (по формуле \(~N = \dfrac mM \cdot N_A\)), затем поместить сосуды в тающий лед. После наступления теплового равновесия определить давление p и рассчитать отношение \(~\dfrac{p \cdot V}{N}\). Опыт показывает, что оно одинаково для всех газов. Затем эти сосуды помещают в кипящую воду. Опять это отношение для всех газов одинаковое, но большее первого значения. Проделав опыт несколько раз при разных температурах, можно заметить, что отношение \(~\dfrac{p \cdot V}{N} \sim T\). Обозначим коэффициент пропорциональности k, тогда:

\(~\dfrac{p \cdot V}{N} = k \cdot T \) или \(~p = \dfrac{N}{V} \cdot k \cdot T = n \cdot k \cdot T, \quad (3)\)

где p — давление газа (Па); n — концентрация молекул (м^–3); T — температура газа (К); k — постоянная Больцмана, равная 1,38·10^–23 Дж/К.

Сравнивая выражения (3) и (2), получаем

\( \dfrac 23 n \cdot \left\langle E_k \right\rangle = n \cdot k \cdot T, \) или \(~\left\langle E_k \right\rangle = \dfrac 32 k \cdot T. \)

Данная формула верна для расчёта средней энергии поступательного движения молекулы или для расчёта средней кинетической энергии одноатомной молекулы. Если учитывать, наряду с поступательным движением и вращение молекулы, то средняя кинетическая энергии молекулы с жесткой связью (без колебании атомов в молекуле) будет равна

\(~\left\langle E_k \right\rangle = \dfrac i2 k \cdot T, \)

где i — степень свободы. Для одноатомного газа (например, инертные газы) i = 3, для двухатомного — i =5.

• Понятие числа степеней свободы тела, т.е. число независимых координат, необходимо для однозначного задания его положения в пространстве. На каждую степень свободы в состоянии термодинамического равновесия в среднем приходится одна и та же энергия \( \dfrac{k \cdot T}{2}\). Оказывается, что этот результат имеет универсальный характер: средняя кинетическая энергия, приходящаяся на каждую степень свободы, одинакова и равна \( \dfrac{k \cdot T}{2}\). Это утверждение относится не только к газам, оно справедливо для теплового движения молекул в жидкостях и твердых телах, ионов и электронов в плазме и даже для макроскопических тел, совершающих броуновское движение в результате хаотических ударов молекул окружающей среды.

Температура – это величина, характеризующая среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул идеального газа:

\(~T = \dfrac{2 \left\langle E_k \right\rangle}{k}.\)

Эта формула позволяет установить физический смысл абсолютной температуры Т. Этот макроскопический параметр характеризует среднее значение кинетической энергии хаотического теплового движения одной молекулы в состоянии термодинамического равновесия. Интересно отметить, что средняя энергия теплового движения молекул зависит только от температуры газа. При данной температуре средняя кинетическая энергия поступательного хаотического движения молекул не зависит ни от химического состава газа, ни от массы молекул, ни от давления газа, ни от объема, занимаемого газом.

Так как абсолютная температура не может равняться нулю, то и средняя энергия теплового движения молекул то же не может равняться нулю, т.е. молекулы находятся в постоянном движении.

См. также

1. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе //6.12. Температура и тепловое равновесие системы
2. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе //6.13. Измерение температуры
3. Аксенович Л.А. и др. Физика в средней школе //6.14. Абсолютная температурная шкала. Абсолютный нуль
4. Городецкий Е.Е. Идеальный газ — универсальная физическая модель //Квант. — 1991. — № 9. — С. 33-36
5. Кикоин А. Температура, теплота, термометр //Квант. — 1990. — № 8. — С. 10-19
6. *Стасенко А.Л. Кладовые энергии молекулы //Квант. — 1995. — № 5. — С. 36-38