Kvant. Температура2
Кикоин А. Температура, теплота, термометр //Квант. — 1990. — № 8. — С. 10-19.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Содержание
Температура — одна из тех не очень многих физических величин, о которых человек узнает не только до того, как начнет изучать физику, но и до того, как научится грамоте. Уже в раннем детстве мы узнаем, что словам горячее, теплое, холодное, отражающим наши ощущения, соответствуют различные значения температуры. Мы слышим о том, что летом температура высокая, а зимой низкая, что у здорового человека температура тела 36,6 градуса, а если она выше, то нужно вызывать врача...
Из-за привычности понятия температуры мы обычно не отдаем себе отчета в том, насколько эта величина своеобразна, насколько она отличается от других привычных величин, таких как длина, масса, объем. А различие здесь очень существенное. Состоит оно вот в чем.
Если соединить десять стержней длиной в 1 м каждый, приставив их один к другому, то получится стержень длиной в 10 м. Десять масс в 1 кг каждая в сумме дадут массу в 10 кг и т. д. Но если соединить десять тел, каждое из которых имеет температуру 20 градусов, то мы получим тело, температура которого 20 градусов, а не 200. Температуры тел при их соединении не складываются, как складываются их длины, объемы, массы и т. д. Длина в 100 м — эта сумма ста длин в 1 м, но температура в 100 градусов — это не сумма ста температур в 1 градус каждая, подобно тому, как человек в возрасте 15 лет — это не то же самое, что 15 годовалых детей! Температура, как говорят, величина не аддитивная. В этом — одна из важнейших особенностей этой величины.
С этой особенностью связан и способ измерения температуры. Чтобы измерить длину тела, нужно сравнить его с другим телом, длина которого принята за единицу. Определить массу тела — значит сравнить ее с другой массой, принятой за единицу. Ведь и длина, и масса тела равны соответственно сумме длин и масс его частей.
Но температуру так измерить нельзя. Но это значит, что сама величина температуры вообще не может быть измерена, раз ее нельзя сравнивать с эталоном температуры. Каким же образом температуру все-таки измеряют?
Немного истории
Прибор для измерения температуры — термометр — впервые был изобретен Галилеем около 1592 года (само слово «термометр» впервые встречается в литературе в 1624 году). Способ измерения температуры, предложенный Галилеем, принципиально не отличается от того, которым пользуются и в наше время.
Схема придуманного им прибора показана на рисунке 1.
Небольшой стеклянный баллон (a) припаян к тонкой длинной трубке (b) с открытым концом. Баллон нагревают руками и погружают нижний конец трубки в сосуд с водой (c). По мере того как баллон охлаждается до температуры окружающего воздуха, уровень воды в трубке поднимается над уровнем воды в сосуде.
Легко понять, что в приборе Галилея используется тот факт, что объем газа в баллоне с трубкой зависит от температуры. Поэтому по изменению объема газа можно судить и об изменении температуры.
Конечно, описанный прибор еще не термометр. По нему нельзя отсчитывать числовое значение температуры. Поэтому его следует называть не термометром, а термоскопом. Но если термоскоп тем или иным способом снабдить шкалой, то он станет термометром. На решение этой задачи потребовалось почти 150 лет. Пока для нас важно, что уже в приборе Галилея содержится принцип измерения температуры, и принцип этот не пришлось изменять вплоть до наших дней: температура непосредственно не измеряется. Измеряется величина, зависящая от температуры. В термоскопе Галилея такой величиной был объем газа. В современном ртутном термометре величиной, зависящей от температуры, по изменению которой судят об изменении температуры, тоже является объем, но не газа, а ртути. Наряду с объемом газа такой величиной может быть давление газа (при постоянном объеме), длина твердого стержня, электрическое сопротивление проводника и т. д.
Закон природы, который нельзя открыть без термометра
Уже первые несовершенные термометры и даже термоскопы позволили открыть один из важнейших законов природы — закон теплового равновесия. Закон этот многим кажется и казался настолько очевидным, что на его открытие не претендует ни один ученый и никто не может указать даты его открытия. Состоит этот закон в том, что любая изолированная группа (система) тел сама собой с течением времени приходит в состояние, при котором температуры всех тел системы одинаковы. Такое состояние и называется состоянием теплового равновесия.
Ясно, что закон теплового равновесия мог быть открыт только после изобретения термометра. С другой стороны, само измерение температуры с помощью термометра основано на законе теплового равновесия. Ведь термометр тоже тело, имеющее определенную температуру. И он измеряет именно собственную температуру. А если мы хотим с его помощью измерить температуру какого- то другого тела, оно должно быть в тепловом равновесии с термометром, потому что в этом случае температуры тела и термометра одинаковы. Вот почему при измерении температуры тела с помощью термометра всегда приходится ждать некоторое время — ждать установления теплового равновесия между телом и термометром.
Еще немного истории
Итак, термоскоп появился в конце XVI века. Термометром он стал примерно в середине XVIII века. Но что именно измеряет термометр? Что такое температура? Правильный ответ на этот вопрос был дан еще через сто лет после того, как появился термометр.
Температура — величина, которая характеризует тепловое состояние тела. О холодных и горячих телах мы говорим, что у них разная температура. Следовательно, вопрос о том, что такое температура, сводится к вопросу: чем отличается холодное тело от горячего?
Первый ответ на этот вопрос дал сам Галилей. Из того легко наблюдаемого факта, что если вблизи горячего тела находится холодное, то горячее тело охлаждается, а холодное нагревается, Галилей сделал естественный вывод, что от горячего тела к холодному что-то переходит (с таким же правом можно было считать, что что-то переходит от холодного к горячему!). Галилей считал, что это «что-то» есть особое тепловое вещество. И большинство исследователей XVII-XVIII веков придерживались такой же точки зрения и называли это вещество теплородом.
Согласно теории, основанной на представлении о теплороде, горячее тело отличается от холодного тем, что в нем больше теплорода, чем в холодном. Установление теплового равновесия по этим представлениям состоит в том, что теплород переходит от горячего тела к холодному. Значит, всякое тело состоит как бы из двух веществ — вещества самого тела (вода, медь, железо, стекло) и теплорода. Каждое тело — это смесь вещества тела и вещества теплоты (теплорода). Слово «температура» как раз и означает смесь. И в течение почти полутораста лет считалось, что измеряя температуру, мы измеряем концентрацию теплорода в теле. Отсюда и название единицы температуры — градус. Именно в таких единицах измеряли, например, концентрацию водных растворов.
Такой взгляд на температуру держался очень долго — до конца XVIII века. Так и говорили — градусы теплоты.
Но одновременно с «вещественной» теорией теплоты существовала и другая теория, одним из создателей и поборников которой был великий русский ученый М. В. Ломоносов. Эта теория основывалась на том факте, что нагревание тела может быть вызвано движением. Ломоносов писал: «Очень хорошо известно, что теплота возбуждается движением: от взаимного трения руки согреваются, дерево загорается пламенем; при ударе кремня об огниво появляются искры; железо накаливается от проковывания частыми и сильными ударами...» Отсюда делался вывод, что теплота — это не вещество, а движение маленьких частиц, из которых состоят все тела («не чувствительных частиц», как их тогда называли).
Свыше двухсот лет шла борьба между этими двумя теориями. В течение долгого времени господствовала первая теория, но в конце концов победу одержала вторая.
Уже в XVIII веке были выполнены опыты, которые заставили многих физиков пересмотреть представление о том, что температура — это концентрация теплоты (теплорода) в теле.
В 1760 году английский физик и врач Блэк показал, что одно и то же количество теплоты, подведенное к равным массам различных веществ, приводит к различным изменениям температуры. Но если бы температура действительно представляла концентрацию теплоты в теле, то получение одного и того же количества теплоты должно было бы вызывать у равных масс любых веществ одно и то же изменение температуры. В этих опытах Блэк открыл, как мы теперь знаем, что у разных веществ различная теплоемкость. Но с теорией теплорода это несовместимо.
В 1764 году тот же Блэк показал, что при плавлении льда им поглощается значительное количество теплоты, но температура его при этом остается неизменной. Эту теплоту со времен Блэка часто называют скрытой теплотой плавления. Точно так же, при отвердевании воды выделяется теплота и опять — без изменения температуры. Ясно, что если температура — это концентрация теплоты в теле, то невозможно поглощение теплоты без повышения температуры и невозможна потеря теплоты телом без понижения его температуры.
Что же в действительности представляет собой температура — величина, смысл которой так долго оставался непонятным?
Это стало ясным лишь после того, как появилась кинетическая теория строения вещества. И мы поймем смысл температуры из сопоставления двух как будто бы совсем разных вещей — одного из результатов кинетической теории и способа измерения температуры.
О молекулярном хаосе и о его законах
Основой кинетической теории строения вещества является утверждение о том, что всякое вещество состоит из маленьких частиц — молекул, непрерывно и беспорядочно движущихся. Между молекулами действуют сложные силы притяжения и отталкивания. Но в газах при обычных давлениях эти силы малы. И можно представить себе газ, в котором силы взаимодействия между молекулами вообще отсутствуют. Так как такой газ можно себе лишь представить, то он получил название идеального газа.
Идеальный газ — это скопление огромного числа молекул, беспорядочно движущихся по всем направлениям со скоростями в сотни метров в секунду, то и дело сталкивающихся между собой и со стенками сосуда. В этом невообразимом хаосе (возможно, что само слово газ произошло от древнего слова хаос) действуют, однако, строгие и нерушимые законы. Благодаря тому, что в идеальном газе не надо учитывать сил взаимодействия между молекулами, эти законы можно установить теоретически. В частности, можно, пользуясь законами механики, вычислить давление газа, т. е. силу, с которой газ действует на единицу площади стенки сосуда. Сила эта есть результат ударов движущихся молекул о стенки.
Расчет показывает, что если в сосуде объемом V находится N молекул газа, то давление, оказываемое газом на стенки сосуда, равно
где \(~\overline E = \frac{m \overline {\upsilon^2}}{2}\) — кинетическая энергия хаотического движения, приходящаяся в среднем на 1 молекулу газа. Формула (1) показывает, что давление газа равно 2/3 средней кинетической энергии хаотического движения молекул, содержащихся в единице объема (ведь \(~\frac NV\) — это как раз и есть число молекул в единице объема).
Для реальных газов расчет давления довольно сложный, но при определенных условиях формула (1) достаточно точна. Она тем точнее, чем меньше величины \(~\frac NV\) и \(~\overline E\). Практически этой формулой можно пользоваться при давлениях около 1 атм и меньше.
Но какое отношение все это имеет к температуре? Ведь в формулу (1) температура не входит!
Чтобы это понять, вернемся к незаконченному нами рассмотрению способа измерения температуры.
О температурных шкалах
Первыми термометрами, которыми практически пользовались, были жидкостные термометры, изготовлявшиеся группой флорентийских ученых. Потом их стали конструировать и изготовлять и в других странах. В них использовались различные жидкости, но главным образом — спирт и ртуть (иногда масло).
Жидкостные термометры представляли собой тонкие стеклянные трубки, заканчивавшиеся внизу небольшим шариком или цилиндром. Шарик и нижняя часть трубки заполнялись жидкостью (спиртом, ртутью, маслом). На странице 10 вы видите образцы флорентийских термометров. (Не правда ли, это не только приборы, но и, своего рода, произведения искусства. Вообще, в старину приборы изготовлялись с «художественным подходом».)
Что касается термометрических шкал, то использовались самые различные способы их построения. Каждый конструктор и изготовитель термометров придумывал и способ создания шкалы к ним. К концу XVIII века в ходу было около двух десятков различных термометрических шкал, из которых до наших дней сохранились три (что тоже слишком много).
В конце концов восторжествовал принцип построения термометрических шкал, предложенный голландским стеклодувом и физиком-любителем Фаренгейтом и шведским астрономом Цельсием. Принцип основан на использовании двух так называемых реперных точек, т. е. тепловых состояний, отличающихся своим постоянством. Такими точками были температуры таяния льда и кипения воды при атмосферном давлении. (Температура плавления любого твердого вещества и температура кипения любой жидкости при данном давлении также постоянны, но вода и лед наиболее доступны.)
В 1742 году Цельсий предложил такой способ градуировки, т. е. создания шкалы термометров.
Термометр, каков бы он ни был, приводится в контакт с тающим льдом, и после установления теплового равновесия уровень жидкости в термометре (если это жидкостный термометр) отмечается некоторым числом. Затем тающий лед заменяется кипящей водой, и новый уровень жидкости в термометре отмечается числом, которое отличается от первого на 100. А разность уровней делится на 100 равных частей — градусов. Сейчас кажется курьезом, что Цельсий отмечал уровень жидкости в термометре при температуре кипения воды цифрой нуль, а уровень ее при температуре тающего льда — числом 100. Впрочем, через 8 лет, в 1750 году, шкала была перевернута, и в таком виде ею пользуются и теперь (рис. 2).
Еще до Цельсия, в 1724 году, Фаренгейт, тоже используя в качестве реперных точек температуры тающего льда и кипящей воды, изготовлял термометры, в которых температура тающего льда отмечалась числом 32, а температура кипящей воды — числом 212, так что интервал температур тающий лед — кипящая вода оказывался разделенным не на 100, а на 180 равных частей — градусов. Французский ученый Реомюр, подобно Цельсию, приписывал температуре тающего льда значение 0, но по термометру Реомюра вода кипит при температуре 80 градусов.
Как видим, в построении термометрических шкал был немалый произвол. Произвольным было число градусов, на которые делился интервал температур между реперными точками. Произвольными были и значения температур самих реперных точек. Ведь нет разумных оснований считать, что температура тающего льда равна нулю, т. е. что тающий лед не имеет никакой температуры!
Для нас здесь важно, что разделяя интервал температур между точками таяния льда и кипения воды на равные части (на 100, 80 или 180), мы тем самым полагаем заранее, что объем жидкости, которой заполнен термометр, строго линейно зависит от температуры. Если обозначить объем жидкости при температуре тающего льда через V0, объем той же жидкости .при температуре кипящей воды через V, а сами эти температуры через t0 и t, то деление интервала температур на равные части означает, что
где с — постоянная величина. Если принять, что t0 = 0, то
Можно ли проверить, что объем в самом деле линейно зависит от температуры? Очевидно, нет. Ведь для опытной проверки необходимо пользоваться термометром. Но при устройстве термометра заранее было предположено, что объем пропорционален температуре. Поэтому опыт ничего другого дать не может.
Существует старый анекдот. В одном морском порту ежедневно ровно в полдень стреляла пушка. Капитаны кораблей, покидая порт, проверяли по пушечному выстрелу свои судовые хронометры, при помощи которых определяют географическую долготу. Один из капитанов пожелал узнать, насколько можно быть уверенным в том, что пушка стреляет действительно в полдень. И выяснилось, что артиллерист определяет время по «очень точным часам», имеющимся у местного часовщика. А часовщик сказал капитану, что он проверяет свои «очень точные часы»... по выстрелу портовой пушки. Ясно, что при таких условиях нельзя судить ни о достоинствах часов, ни о том, действительно ли ровно в полдень раздается пушечный выстрел...
Для техники измерения температур важно, что термометры с различными жидкостями, а тем более термометры, в которых о температуре судят не по объему жидкости, а по каким-нибудь другим свойствам, дают при измерении одной и той же температуры не совпадающие показания, причем различие в показаниях не одинаково в разных температурных областях. В связи с этим возникла необходимость в каком-то стандартном термометре, по которому градуировались бы все термометры. Тогда их показания, конечно, будут совпадать. Как решается эта задача?
В настоящее время стандартным термометром служит так называемый газовый термометр постоянного объема. Об этом термометре и о новой шкале температур мы и расскажем.
Газовый термометр и абсолютная шкала температур
В газовом термометре в качестве величины, зависящей от температуры, по которой судят о самой температуре, принимается давление газа в закрытом сосуде, т. е. при постоянном объеме. Опыт показывает, что давление нагретого газа больше, чем давление холодного. Сам газовый термометр состоит из сосуда А, заполняемого «идеальным» газом (любым газом при малом давлении), и присоединенного к нему манометра М для измерения давления (рис. 3).
Если сосуд поместить в тающий лед, а затем в кипящую воду и измерить значения давлений при этих температурах, обеспечив тепловое равновесие, то окажется, что давление при температуре кипящей воды в 1,3661 раза больше, чем при температуре тающего льда. Если обозначить давление и температуру, соответствующие кипящей воде, через р и Т, а значения этих величин, соответствующие тающему льду, через p0 и T0, то
Чтобы не порывать со ставшей за двести лет привычной стоградусной шкалой Цельсия, по-прежнему полагают, что
Разность давлений при температурах кипения воды и тающего льда делят на 100 равных частей — градусов. Это значит, что и теперь мы заранее полагаем, что температура линейно зависит от давления газа при постоянном объеме. Более того, мы можем считать, что температура газа прямо пропорциональна его давлению. Проверить это допущение, разумеется, нельзя по той же причине, по которой в приведенном выше анекдоте нельзя по пушечному выстрелу проверять правильность хода часов, а по часам — своевременность выстрела. Просто само измерение температуры основано на том, что давление газа и его температура считаются пропорциональными друг другу. Приписывать температуре тающего льда значение нуль теперь нет необходимости. Ее можно просто вычислить. В самом деле, если температура газа прямо пропорциональна давлению, то отношение давлений газа при температурах кипящей воды и тающего льда равно отношению самих этих температур, т. е.
Но отношение, стоящее в левой части этого равенства, равно 1,3661. Следовательно, и правая часть равна этому числу:
Отсюда получаем
Подставив это значение для Т в равенство (3), находим
и мы сразу получаем
Этим и отличается новая шкала от шкалы Цельсия: температура таяния льда по этой шкале равна не нулю, а 273,15 градуса. А нуль температуры на 273,15 (для краткости на 273) градуса ниже температуры таяния льда. Это, как говорят, абсолютный нуль. Это — та температура, при которой давление идеального газа стало бы равным нулю, если бы такая температура была достигнута и если бы газ еще оставался при этой температуре газом. Так как давление газа не может быть меньше чем нуль, то температура на такой шкале отрицательной (меньше нуля) быть не может.
Описанная только что температурная шкала (некоторые тонкости в ее определении, практически несущественные, мы опускаем) носит название абсолютной шкалы температур или шкалы Кельвина. И сама температура, отсчитываемая по этой шкале, называется абсолютной температурой. Обозначается она буквой T и выражается в кельвинах (сокращенно К), так что температура таяния льда равна 273,15 К, температура кипения воды равна 373,15 К и т. д.
Но шкалой Цельсия тоже пользуются на практике. Температуру, отсчитываемую по этой шкале, обозначают буквой t и выражают в градусах Цельсия (сокращенно °С). По этой шкале температура таяния льда равна 0 °С, температура кипения воды равна 100 °С и т. д. Ясно, что
В физике почти всегда пользуются шкалой Кельвина.
Теперь нам будет нетрудно выяснить, в чем же состоит истинный смысл температуры.
Что же такое температура?
Итак, по принятому теперь способу измерения температуры давление р произвольной массы газа М, т. е. произвольного числа N молекул газа, в сосуде объемом V пропорционально его абсолютной температуре Т.
Это видно из уравнения (4), которое можно переписать в виде
Соотношение (5) показывает, что при постоянном объеме отношение давления газа к его абсолютной температуре — постоянная величина. С другой стороны, давление газа, как мы видели, определяется формулой (см. (1))
Подставив это значение р в выражение (5), получаем
Уравнение (6) относится к газу в закрытом сосуде постоянного объема. Поэтому число N молекул газа сохраняет постоянное значение; отношение \(~\frac{T_0}{p_0}\), как мы видели, тоже постоянно. Следовательно, коэффициент при \(~\overline E\) в формуле (6) — постоянная величина для любого газа, т. е.
где \(~A = \frac NV \frac{T_0}{p_0}\) — константа. Это означает, что абсолютная температура газа — это то же, что средняя кинетическая энергия хаотического движения одной его молекулы, только выраженная не в джоулях, а в кельвинах. Коэффициент же \(~\frac 23 A\) — это переводный множитель, показывающий, во сколько раз 1 К больше 1 Дж/молекулу. Подобно этому, одну и ту же длину можно выразить в метрах и в дюймах. Необходимо только знать, что 1 м = 40 дюйм. Коэффициент 40 — переводный множитель, показывающий, во сколько раз 1 метр больше 1 дюйма.
Обычно формулу (7) записывают в виде
где
Коэффициент k называется постоянной Больцмана.
Из формулы (9) видно, как из опыта получить значение постоянной Больцмана. Для этого нужно наполнить сосуд известного объема V известной массой М газа (массу газа можно определить взвешиванием). Затем поместить сосуд в тающий лед (его температура T0 = 273,15 К), измерить с помощью манометра давление p0 газа. Зная массу М газа, легко определить значение N. Действительно, если молярная масса газа μ, то число молей газа равно \(~\frac{M}{\mu}\); а поскольку в каждом моле газа имеется NA молекул (NA — число Авогадро), то число молекул N в массе М газа равно \(~N = \frac{M}{\mu} N_A\). Итак, зная массу газа М, его молярную массу μ, объем сосуда V и давление газа p0 при температуре T0, можно определить значение постоянной Больцмана k.
Такого рода измерения (а также и многие другие) неоднократно проводились. Все они дают для постоянной Больцмана значение
Как мы видим, значение k очень малое. Это значит, что средняя кинетическая энергия беспорядочных движений одной молекулы, и определяющая то, что мы называем температурой, чрезвычайно мала. При температуре в 1 К средняя кинетическая энергия молекулы \(~\overline E\) равна
Таково соотношение между Кельвином и джоулем на молекулу.
В заключение нам остается еще выяснить, какова связь между температурой и теплотой — двумя понятиями, которые в течение веков считались чуть ли не синонимами.
Известно, что теплотой называется энергия тепловых беспорядочных движений, передаваемая от одного тела к другому (при теплопередаче). Ясно поэтому, что теплота не является величиной, характеризующей состояние тела. О ней нельзя сказать, что она содержится в теле. Температура же характеризует состояние тела, потому что она определяется средней кинетической энергией его молекул. Понятно, что между теплотой и температурой в сущности никакой связи нет. Можно только сказать, что если два тела имеют различную температуру, то более высокой является температура того из них, которое передает теплоту другому. Температура тела — это величина, которая определяет, будет ли данное тело отдавать теплоту другим телам или получать ее от них. Такое определение температуры в свое время дал Максвелл.
Нужна ли величина, которая называется температурой?
Температура как понятие и как физическая величина появилась в науке задолго до того, как можно было понять ее истинный смысл. Но теперь, когда он известен, стоит ли сохранять эту как будто бы архаическую величину? Не лучше ли всюду, где мы привыкли говорить о температуре, о Кельвинах, о градусах Цельсия, заменить их тем, что они есть в действительности — средней кинетической энергией частицы, и измерять ее в джоулях?
Но нетрудно видеть, что для отказа от температуры и от градусов нет оснований.
Во-первых, едва ли будет удобно, например, врачу считать пациента больным на том основании, что средняя кинетическая энергия его молекулы равна 6,64·10-21 Дж, вместо того, чтобы говорить о температуре в 38 °С.
Во-вторых, замена градусов джоулями может породить и недоразумения. Ведь энергия, например, в 100 Дж, вообще говоря, означает, что за ее счет может быть получена и работа в 100 Дж. Между тем если температура тела равна 100 Дж/молекулу (для температуры — это фантастическое значение), то это вовсе не значит, что за ее счет можно получить такую же работу.
