Т. Основное уравнение МКТ

Основное уравнение MKT идеального газа

Это уравнение связывает между собой макропараметр p состояния идеального газа и микропараметр \(~\mathcal h \upsilon_{KB} \mathcal i\) (или \(~\mathcal h W_K \mathcal i\)), характеризующий движение молекулы. Для вывода основного уравнения MKT рассмотрим одноатомный идеальный газ, находящийся в термодинамическом равновесии, т.е. в состоянии, в котором все макроскопические параметры остаются неизменными во времени и по всему объему.

Рис. 1

Представим себе сосуд в виде куба с длиной ребра l (рис. 1), в котором беспорядочно движутся N молекул массой m₀ каждая. Стенки сосуда подвергаются непрерывной бомбардировке молекулами. Удары молекул обусловливают давление газа на стенки. Ввиду беспорядочности движения молекул результат их удара о стенки таков, как если бы \(~\frac 13\) всех молекул двигалась прямолинейно между правой и левой стенками (вдоль оси Ox), \(~\frac 13\) молекул — между передней и задней стенками (вдоль оси Оу) и \(~\frac 13\) молекул — между верхней и нижней стенками (вдоль оси Oz), причем в положительном направлении оси движется \(~\frac 16\) молекул.

Отдельная молекула, летящая перпендикулярно к одной из стенок, например к левой, со скоростью \(~\vec \upsilon\), в результате упругого удара отскочит назад, и ее импульс изменится на \(~\Delta \vec p = \vec p - \vec p_0\), или в проекциях\[~\Delta p_x = m_0 \upsilon_x - (-m_0 \upsilon_x) = 2m_0 \upsilon_x\].

Это изменение импульса согласно второму закону Ньютона определит импульс силы \(~\vec F_1\), действующей со стороны стенки на молекулу\[~\vec F_1 \Delta t = \Delta \vec p\], или в проекциях\[~F_1 \Delta t = 2m_0 \upsilon_x\], где Δt — продолжительность удара. По третьему закону Ньютона такая же по модулю, но противоположная по направлению сила будет действовать на стенку. Следовательно, модуль импульса силы, действующей на стенку при ударе одной молекулы, равен \(~F_1 \Delta t = 2m_0 \upsilon_x\).

За промежуток времени Δt о стенку площадью S ударится число молекул \(~N = \frac{nV}{2}\), где n — концентрация молекул газа, V — объем, равный \(~V = Sl = S \upsilon_x \Delta t\). Следовательно, \(~N = \frac{nS \upsilon_x \Delta t}{2}\) .

Средняя сила ударов всех молекул о стенку

\(~\mathcal h F \mathcal i = N \cdot \frac{2m_0 \upsilon_x}{\Delta t} = \frac{nS \upsilon_x \Delta t}{2} \cdot \frac{2m_0 \upsilon_x}{\Delta t} = nS \upsilon^2_x m_0 .\)

Так как в состоянии теплового равновесия все направления для векторов скоростей молекул равноправны, то средние значения квадратов модулей их проекций на координатные оси равны между собой:

\(~\mathcal h \upsilon_x \mathcal i^2 = \mathcal h \upsilon_y \mathcal i^2 = \mathcal h \upsilon_z \mathcal i^2 .\)

Отсюда следует, что

\(~\mathcal h \upsilon^2 \mathcal i = \mathcal h \upsilon_x \mathcal i^2 + \mathcal h \upsilon_y \mathcal i^2 + \mathcal h \upsilon_z \mathcal i^2 = 3 \mathcal h \upsilon_x \mathcal i^2 \Rightarrow \mathcal h \upsilon_x \mathcal i^2 = \frac{\mathcal h \upsilon^2 \mathcal i}{3} ,\)

где \(~\mathcal h \upsilon^2 \mathcal i\) — среднее значение квадрата скорости молекул газа.

Среднее давление (т.е. средняя сила, приходящаяся на единицу поверхности) газа на стенку сосуда

\(~p = \frac{\mathcal h F \mathcal i}{S} = \frac 13 nm_0 \mathcal h \upsilon^2 \mathcal i . \qquad (1)\)

Так как средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы \(~\mathcal h W_K \mathcal i = \frac{m_0 \mathcal h \upsilon^2 \mathcal i}{2}\), то

\(~p = \frac 23 n \mathcal h W_K \mathcal i . \qquad (2)\)

Уравнение (1) и эквивалентное ему уравнение (2) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов.

Оно связывает макропараметр p с микропараметром \(~\mathcal h W_K \mathcal i\) (или \(~\mathcal h \upsilon^2 \mathcal i\)) и показывает, что понятие давления имеет смысл средней величины и неприменимо к отдельной молекуле.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. — Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. — C. 128-129.