Kvant. Симметрия
Городецкий Е. Е. Симметрия и физические свойства кристаллов //Квант. — 1989. — № 11. — С. 44-46.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Когда-то гармония мира ассоциировалась у человечества с симметрией. Древние греки, больше всего в жизни ценившие прекрасное, придавали ей исключительное значение. Считая красоту критерием истины, они ощущали в симметрии некий скрытый смысл, воспринимали ее как начало, определяющее свойства мира. Впоследствии, однако, красота утратила свои позиции, стала достоянием лишь художников и поэтов. Был утерян и интерес к симметрии.
Но пришли новые времена. Сформировалась новая физика, и стало ясно, что греки были абсолютно правы. Свойства мира действительно в большой степени определяются его симметрией. (Нам уже приходилось писать о связи симметрии пространства и времени с законами сохранения импульса и энергии. См., например, «Квант», 1988, № 5, с. 45.)
Но что же это такое — симметрия? Поясним на простом примере. Скажем, вы держите в руках какое-то тело и вертите его и так, и эдак. И вдруг замечаете, что при каком-то повороте тело совмещается само с собой. Вот тогда и говорят, что тело симметрично относительно этого поворота. Сам поворот называют операцией или преобразованием симметрии, а ось, вокруг которой совершается такой поворот,— осью симметрии.
Возьмем, например, кубик. Ясно, что если повернуть его на 90° вокруг любой из трех осей, проходящих через центры противоположных граней, то кубик совместится сам с собой. Это — оси симметрии. Их называют осями симметрии четвертого порядка. Название возникло из-за того, что для поворота на 360° нужно совершить четыре последовательных поворота на 90°. Почему сравнивают с поворотом на 360°? Да просто потому, что поворот любого тела на 360° эквивалентен тому, что мы вообще его не трогали. Это так называемая тождественная операция.
Существуют ли в природе какие- либо другие, отличные от пространственных поворотов, операции симметрии? Вообще говоря, да, и довольно много. Но если иметь в виду отдельно взятое тело, то существует лишь еще одна операция симметрии — зеркальное отражение в плоскости. (И, разумеется, всевозможные комбинации поворотов и отражений.) Попробуйте сами найти для кубика плоскости симметрии и заодно выяснить, есть ли у него еще какие- нибудь оси вращения, кроме тех трех, о которых мы уже сказали[1] .
Оси вращения и плоскости отражения называются элементами симметрии тела. Чем больше у тела элементов симметрии, тем оно симметричнее. И, соответственно, тем проще. Сравните, например, футбольный мяч (любая прямая, проведенная через его центр,— ось симметрии бесконечного порядка) с мячом для регби. С более симметричным телом в определенном смысле иметь дело гораздо проще, всяческие сюрпризы при этом менее вероятны. Я, например, вполне могу себе представить, что при случае сумею попасть в ворота футбольным мячом. Но не поручусь, что смогу сделать то же самое, если на месте футбольного мяча окажется мяч для регби.
Но какое все это имеет отношение к физике? Оказывается, самое непосредственное. Чтобы понять это, обратимся к кристаллам. Кстати, заметим, что при ближайшем рассмотрении подавляющее большинство твердых тел в природе — именно кристаллические, так что наш интерес к ним носит отнюдь не академический характер. С точки зрения внутреннего устройства, кристаллы отличаются от аморфных тел строгой упорядоченностью в расположении атомов, или, говоря иначе, наличием пространственной решетки. Совершенно очевидно, что гораздо проще изучать систему упорядоченно расположенных атомов, нежели множество атомов, беспорядочно сваленных в кучу. (Снова хочется напомнить о том, что чем больше элементов симметрии у системы, тем она проще.) И действительно, именно существование решетки (т. е. симметрии) явилось тем главным, фундаментальным и упрощающим фактором, который позволил в конце 30-х годов нашего века построить теорию кристаллических тел (так сказать, «попасть в ворота»), а уже в настоящее время — создать всю ту разнообразную электронику, которая, в сущности, определяет стиль современной жизни.
Основным моментом при изучении кристаллов является тот факт, что в любой решетке можно выделить некоторую элементарную ячейку, из которой эта решетка построена. При этом физические свойства кристаллов в очень большой степени определяются симметрией этой элементарной ячейки, т. е. зависят от того, является ли она кубиком, или параллелепипедом, или имеет какую-то иную форму. И вновь справедливо правило: чем больше элементов симметрии у элементарной ячейки, тем проще будут свойства кристалла и тем меньше вероятность обнаружить в нем какие- то неожиданные физические эффекты.
Так, если ячейка кубическая (куб имеет максимальное после тел вращения число элементов симметрии), то свойства кристалла по всем направлениям будут одинаковыми. В таких случаях говорят, что кристалл изотропен (в отличие от анизотропного случая, когда свойства тела в разных направлениях различны)[2]. При изменении формы элементарной ячейки (это может произойти, в частности, при изменении температуры) число элементов симметрии в ней уменьшается, и свойства кристалла резко меняются. Например, кубические кристаллы по своим упругим свойствам характеризуются всего тремя модулями упругости: сжатия, сдвига и кручения. Если же элементарная ячейка имеет форму параллелепипеда, то число модулей упругости оказывается уже равным восемнадцати. Это, разумеется, те же самые модули сжатия, сдвига и кручения, но они теперь разные по различным направлениям.
Совершенно аналогичная ситуация имеет место при тепловом расширении кристаллов. В то время как кристалл с кубической решеткой характеризуется одним-единственным коэффициентом теплового расширения, расширение кристаллов с более сложной формой элементарной ячейки определяется уже тремя константами.
Интересно, что число форм, которые может иметь элементарная ячейка, ограниченно. И связано это вот с чем. Кристаллическая решетка по самому своему смыслу система периодическая. Это означает, что при ее смещении, или, как говорят в физике, трансляции, на определенные расстояния (период) решетка совмещается сама с собой. Другими словами, с решеткой, в отличие от отдельно взятого тела, можно проводить специфическую операцию симметрии — трансляцию. Так вот, оказывается, что отнюдь не любая форма элементарной ячейки согласуется с трансляционной симметрией. Например, из правильных шестигранных призм периодическую структуру построить можно, а из пятигранных — нельзя.
На сегодняшний день предсказаны все возможные типы кристаллических решеток, и про каждую из них более или менее известно, в каких направлениях она раскалывается легче, а в каких оказывается прочнее, как кристаллы различной симметрии проводят тепло и как ведут себя в электрическом поле, как по ним распространяется звук и возможен ли для них пьезоэффект (возникновение зарядов на гранях кристалла при его деформации) и многое, многое другое.
В заключение хотелось бы еще сказать о том, что замечательными свойствами кристаллов роль симметрии в физике отнюдь не исчерпывается. Наряду с телами симметрией обладают и физические законы. Различие состоит лишь в том, что тела симметричны относительно пространственных поворотов и отражений, а законы — относительно некоторых других операций. И если симметрия тел изучена практически до конца, то роль симметрии законов природы еще далеко не выяснена. Но есть все основания полагать, что именно на этом пути нас ждут самые выдающиеся открытия.
