Kvant. Путешествие на шаре

Варламов С. Путешествие на воздушном шаре // Квант. — 2004.— № 3. — С. 31,34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Воздушный шар с грелкой для подогрева воздуха сейчас не является диковинкой. Такое средство для полетов гораздо безопаснее, чем оболочка, наполненная водородом, и много дешевле, чем шар, наполненный гелием.

Оболочка воздушного шара сделана из прочной, гибкой и термостойкой ткани. Воздух, окружающий шар, при температуре 0 °С имеет вблизи поверхности земли плотность ρ₀ = 1,3 кг/м³. Плотность подогретого до 100 °С воздуха составляет ρ₁ = 1,3 кг/м³ · 273/373 = 0,95 кг/м³. Чтобы поднять в воздух человека (массой 100 кг), корзину (100 кг), оболочку шара (100 кг) и запас топлива с горелкой (100 кг), нужно, чтобы диаметр шара с горячим воздухом был равен примерно 13 м (см., например, статью А.Стасенко «Как попасть на Таинственный остров» в «Кванте» №1 за этот год). Конечно, реальный воздушный шар вовсе не имеет форму геометрически правильного шара и температура воздуха в нем не такая высокая, т.е. размеры шара должны быть больше тех, что мы получили в качестве оценки, но его характерный размер оценен правильно. Если максимальная температура, до которой разрешается нагревать воздух в шаре по соображениям безопасности, достигает 150 °С, то такой шар может взять в полет не одного, а трех пассажиров или какой-нибудь дополнительный полезный груз.

Размеры оболочки (максимальный объем, который можно заполнить горячим воздухом) путешественники на шаре во время полета изменять не могут, поэтому для управления грузоподъемностью шара то включается, то выключается горелка. Шар может не двигаться относительно окружающего воздуха лишь в те редкие мгновения, когда сила тяжести и архимедова сила, действующие иа шар, в сумме дают ноль. Если в это время горелка не работает, то через некоторое время шар начнет опускаться, так как воздух в нем постепенно охлаждается. Если же горелка работает, то продолжающийся подогрев воздуха приведет к тому, что шар начнет подниматься вверх. Ситуация напоминает эквилибриста на канате, который должен непрерывно балансировать, чтобы не упасть. Поскольку при движении в воздухе (вверх или вниз) шар испытывает сопротивление воздуха, то скорость его очень быстро устанавливается, т.е. сумма всех действующих на шар сил, включая силу сопротивления, практически всегда равна нулю.

А с какой именно установившейся скоростью будет опускаться шар, если, например, температура теплого воздуха внутри шара стала на 1 °С меньше, чем температура, при которой сила тяжести компенсируется архимедовой силой? Давайте разберемся.

Воздушный шар имеет в нижней части отверстие, через которое воздух нагревают. Через это же отверстие воздух внутри шара сообщается с окружающим шар холодным воздухом. После выключения горелки воздух в верхней части объема шара еще некоторое время остается горячим, а в нижней части достаточно быстро принимает температуру окружающей среды. Воздух — плохой проводник тепла, поэтому охлаждение горячего воздуха в шаре приводит к тому, что в нижнюю часть шара входит воздух при температуре окружающей среды. При этом форма шара практически не изменяется. Таким образом, грузоподъемность шара обеспечивает одна и та же масса нагретого воздуха при постоянном давлении, а не один и тот же объем воздуха.

Если в какой-то момент времени t сила тяжести компенсировалась подъемной силой при температуре горячего воздуха t₀ = 100 °С , то выполнялось равенство

\(~Mg = \frac{\pi D^3}{6} \rho_0 \left( 1 - \frac{273}{373} \right) = F(t_0)\) .

После того как горячий воздух остыл на 1 °С, подъемная сила уменьшилась:

\(~F(t_1) = \frac{372}{373} \frac{\pi D^3}{6} \rho_0 \left( 1 - \frac{273}{373} \right) = F(t_0) (1 - 0,01)\) ,

и это уменьшение составило 1%.

Разумно предположить, что шар при движении в воздухе испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное площади поперечного сечения S, квадрату скорости движения относительно воздуха u и плотности окружающего воздуха ρ₀:

\(~F_c \sim S \frac{\rho u^2}{2}\), или \(~F_c = KS \frac{\rho u^2}{2}\) .

Коэффициент пропорциональности К зависит от формы тела. В нашем случае следует брать К = 0,2. Оценка скорости опускания шара, проведенная в соответствии с указанной зависимостью силы сопротивления от скорости, дает u ≈ 1,5 м/с . Чтобы скорость спуска нашего шара (M = 400 кг, D = 13 м) была меньше 1 м/с (из соображений безопасности приземления, например), нужно, чтобы подъемная сила и сила тяжести отличались меньше чем на 0,5%, т.е. температура не должна отличаться больше чем на 0,5° от «равновесной».

Сделаем еще одну оценку. Рассчитаем, какую массу m балласта следует выбросить за борт корзины воздушного шара, чтобы восстановить равенство силы тяжести и подъемной силы при понижении температуры горячего воздуха от 100 °С до 99 °С (окружающий шар воздух имеет температуру 0°С):

\(~(M - m)g = Mg(1 - 0,01)\) ,

откуда

m = 4 кг.

Бытует известное заблуждение, что воздушный шар поднимается до тех пор, пока не достигнет слоев воздуха, имеющих столь малую плотность, что выталкивающая сила становится равной силе тяжести, действующей на шар. Это утверждение можно считать справедливым только для шаров с герметичной оболочкой, заполненной водородом, гелием или каким-либо другим газом с плотностью, меньшей плотности воздуха при одинаковых температуре и давлении. При этом неважно, будет оболочка растяжимой или жесткой. К воздушному шару с горячим воздухом это утверждение неприменимо, так как шар прекращает подниматься вверх не потому, что плотность воздуха снаружи из-за подъема уменьшается, а потому, что воздух прекращают нагревать! Воздух в шаре без подогрева охлаждается, и его плотность увеличивается.

А какова роль оболочки шара в процессе охлаждения воздуха? Потери тепла через оболочку происходят посредством двух механизмов теплопередачи: за счет излучения и за счет теплопроводности (которая приводит к возникновению конвекции). Оценим вклады каждого механизма в «общее дело».

Оболочка шара обычно делается из материи, не пропускающей воздух и имеющей плотность, чуть меньшую плотности воды (10³ кг/м³). Исходя из наших оценок размера шара (D = 13 м) и массы оболочки (100 кг), получим, что толщина оболочки равна примерно 0,2 мм. Воздух, прилегающий к оболочке, по обе стороны от нее находится в движении. Внутри оболочки соприкасающийся с ней воздух охлаждается и опускается вниз, а снаружи — нагревается и поднимается вверх. (Воздух внутри оболочки движется аналогично вихревому движению клубов дыма, поднимающихся в холодном воздухе. При этом горелка обеспечивает дополнительный подогрев воздуха в центральной части шара. Отличие состоит в том, что в случае воздушного шара оболочка имеется, а в случае клубов дыма ее нет.)

Рис. 1. Свободная конвекция от горизонтального цилиндра

Оболочка изнутри подогревается излучением горячего воздуха и благодаря конвекции горячего воздуха внутри шара. Снаружи поток излучения от оболочки превышает приток энергии за счет излучения окружающего холодного воздуха, и, кроме того, энергию от оболочки уносит конвективный поток нагретого воздуха. Разумно предположить, что оболочка, находясь на границе раздела горячего и холодного воздуха, имеет температуру где-то между 100 °С и 0 °С. На рисунке 1 показано распределение температуры в воздухе вокруг нагретого на 9 °С выше окружающего воздуха длинного медного цилиндра диаметром 6 см. Рисунок взят из «Альбома течений жидкостей и газа» М.Ван-Дайка. Визуализация разных температур осуществлялась интерферометрическим методом. Видно, что вокруг горячего тела возникает поток воздуха, а толщина слоя движущегося воздуха составляет малую часть диаметра тела. По-видимому, ситуация будет такой же и для рассматриваемого нами воздушного шара.

Рис 2 Линии тока в конвективном движении между соосными цилиндрами

Трудно было удержаться и не привести еще один рисунок из этого Альбома. На рисунке 2 показаны линии тока воздуха с дымом при конвективном движении. Воздух движется в пространстве между двумя коаксиальными цилиндрами. Внутренний цилиндр имеет большую температуру, чем внешний.

Конечно, можно провести соответствующие расчеты и выяснить, сколько тепла теряет наш воздушный шар через свою оболочку, но оставим это на потом. А сейчас предлагаем вам самостоятельно получить ответы на следующие вопросы.

1. Сколько топлива нужно взять с собой путешественникам на воздушном шаре, чтобы продержаться в воздухе один час?
2. Какой запас балласта должны иметь на всякий случай (вдруг сломается горелка) путешественники, чтобы они могли опуститься на землю с высоты 1 км и обеспечить скорость приземления не больше 1 м/с?
3. Когда выгоднее путешествовать на воздушном шаре, т.е. при какой температуре окружающего воздуха один килограмм топлива обеспечивает максимальное время полета?