Kvant. Закон Ома
А так ли хорошо знаком вам закон Ома (соединения проводников)? // Квант. — 2012. — № 1. — C. 32-33.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
...токи продолжаются неопределенно долго с постоянной скоростью, ...но они всегда прекращаются в тот момент, когда контур разрывается.
Андре Ампер
Переход электричества между двумя ближайшими элементами при прочих равных условиях пропорционален разности электроскопических сил в этих элементах.
Георг Ом
Если дана система n проводников, которые произвольным образом соединены между собой, и к каждому проводнику приложена произвольная электродвижущая сила, то необходимое число линейных уравнений для определения токов, текущих по проводникам, можно получить, используя... две теоремы.
Густав Кирхгоф
...переводя существенные черты реальных элементов схем на язык идеализаций, можно проанализировать электрическую цепь сравнительно просто.
Ричард Фейнман
Первые наши встречи с электрическими схемами происходят, когда мы дома включаем в розетку бытовые приборы либо натыкаемся на хитросплетения проводков под крышкой какого-нибудь электронного устройства или когда замечаем линии электропередач на высоких опорах и толстые провода, по которым скользят токосниматели электропоездов, троллейбусов и трамваев. Позже мы рисуем в школе схемы, ставим простейшие опыты и узнаем о законах электрического, прежде всего постоянного, тока, текущего — как же иначе! — по проводам.
Но в то же время мы пользуемся мобильными телефонами, беспроволочными локальными сетями, «втыкаемся в воздух», чтобы подключиться к Интернету, и все чаще слышим, что не за горами — беспроводная передача не только информации, но и электроэнергии. Какими же тогда архаичными покажутся все эти громоздкие схемы, провода, клеммы, реостаты и описывающие их законы!
Не торопитесь. Во-первых, что бы мы ни передавали — сигналы или энергию, есть излучатели и приемники, которые пока без токов, протекающих по напичканным в них проводникам, действовать не будут. Во-вторых, не все поддается миниатюризации, например — транспорт или электростанции. Поэтому нам с электрическими сетями, а значит, и с соединениями проводников самого разного типа еще долго придется иметь дело. Мы продолжим эту тему и в следующем выпуске «Калейдоскопа», в конце которого поместим общий список «Квантовских» публикаций по теме «Закон Ома».
Вопросы и задачи
1. Почему птицы могут безопасно усаживаться на провода, находящиеся под высоким напряжением?
2. Из последовательно соединенных лампочек для карманного фонаря собрана гирлянда, рассчитанная на включение в сеть напряжением 220 В. На каждую из лампочек приходится напряжение всего около 3 В, однако если вывинтить одну из лампочек из патрона и сунуть туда палец, то сильно «дернет». Почему?
3. Аккумулятор замкнут тремя проводниками одинаковой длины, соединенными последовательно. На рисунке 1 изображен график, показывающий падение напряжения в них. Какой из проводников имеет наибольшее и какой — наименьшее сопротивление?
4. Вычислите общее сопротивление цепи, представленной на рисунке 2, если R = 1 Ом.
5. Пять проводников одинакового сопротивления соединили так, что под действием общего напряжения 5 В сила тока в цепи оказалась равной 1 А. Определите сопротивление одного проводника. Единственное ли решение имеет задача?
6. Из одинаковых резисторов сопротивлением по 10 Ом требуется составить цепь сопротивлением 6 Ом. Какое наименьшее количество резисторов для этого понадобится? Начертите схему цепи.
7. Приведите пример цепи, которая не сводится к комбинации последовательных и параллельных соединений.
8. Как изменится сопротивление цепи, состоящей из пяти одинаковых проводников сопротивлением r каждый, если добавить еще два таких же проводника, как показано штриховыми линиями на рисунке 3?
9. Каково сопротивление R каждого из двух одинаковых резисторов (рис.4), если вольтметр сопротивлением RV = 3 кОм при включении по схемам а) и б) показывает одинаковое напряжение? Напряжение в цепи в обоих случаях одно и то же.
10. Электрическая цепь, состоящая из резисторов сопротивлениями R1, R2 и R3, подключена к двум источникам постоянного напряжения U1 и U2, как показано на рисунке 5. При каких условиях сила тока через резистор сопротивлением R1 будет равна нулю?
11. Найдите сопротивление «звезды» (рис. 6) между точками А и В, если сопротивление каждого звена равно r.
12. Из тонких однородных листов жести спаяли полый куб, к двум противоположным вершинам большой диагонали которого припаяли проводники, как изображено на рисунке 7. Сопротивление куба между этими проводниками оказалось равным 7 Ом. Найдите силу электрического тока, пересекающего ребро АВ куба, если куб подключен к источнику напряжением 42 В.
13. Определите токи в каждой стороне ячейки, изображенной на рисунке 8, полный ток от узла А к узлу В и полное сопротивление между этими узлами. Каждая сторона ячейки имеет сопротивление r, а ток, протекающий по указанной стороне, равен i.
14. В электрическую цепь, состоящую из шести одинаковых резисторов сопротивлением R, впаяли две перемычки СЕ и DF, как изображено на рисунке 9. Каким стало сопротивление между выводами А и В?
15. Гальванический элемент замкнут на два параллельных проводника сопротивлениями R1 и R2. Уменьшатся ли токи в этих проводниках, если увеличить их сопротивления?
Микроопыт
Как можно определить длину изолированного медного провода, свернутого в большой моток, не разматывая его?
Любопытно, что...
...кажущиеся сегодня тривиальными эксперименты Ома замечательны тем, что положили начало прояснению первопричин электрических явлений, остававшихся немногим менее двухсот лет весьма туманными и лишенными каких бы то ни было опытных обоснований.
...не будучи знаком с законом Ома, французский физик Пуйе, экспериментируя, пришел к подобным же выводам в 1837 году. Узнав, что закон открыт десятилетие назад, Пуйе занялся тщательной его проверкой. Закон был подтвержден с высокой точностью, а «побочным результатом» стало изучение закона Ома французскими школьниками вплоть до XX века под именем закона Пуйе.
…при выведении своего закона Ом ввел понятия «сопротивление», «сила тока», «падение напряжения» и «проводимость». Наряду с Ампером, введшим термины «электрическая цепь» и «электрический ток» и определившим направление тока в замкнутой цепи, Ом заложил основы дальнейших электродинамических исследований на пути к практическому использованию электричества.
…в 1843 году английский физик Чарлз Уитстон, применив закон Ома, изобрел метод измерения сопротивления, известный теперь как мостик Уитстона.
…тождество входящих в формулировку закона Ома «электроскопических сил» с электрическими потенциалами было доказано Кирхгофом. Несколько ранее он же установил законы распределения токов в разветвленных цепях, а позже построил общую теорию движения тока в проводниках, предполагая существование в них двух равных встречных потоков положительного и отрицательного электричества.
…интенсивной разработке методов электрических измерений в XIX веке способствовали запросы техники: создание воздушных телеграфных линий, прокладка подземных кабелей, передача электрического тока по воздушным неизолированным проводам и, наконец, строительство подводного трансатлантического телеграфа. Теоретиком последнего проекта был выдающийся английский физик Уильям Томсон (лорд Кельвин).
…некоторые практические задачи экономики и логистики — такие, например, как поиск минимального по стоимости распределения товаров, нашли свое решение при моделировании транспортных потоков с помощью электрических сетей.
Вопросы и задачи
1. Сопротивление тела птицы много больше сопротивления параллельного ей участка провода между ее ногами, поэтому сила тока в теле птицы мала и безвредна.
2. Палец имеет очень большое сопротивление по сравнению с сопротивлением лампочки. При «включении» его последовательно с лампочками через палец и лампочки течет один и тот же ток, поэтому падение напряжения на пальце будет значительно больше падения напряжения на лампочках, т.е. практически все напряжение сети будет приложено к пальцу.
3. Проводник 3 обладает наибольшим сопротивлением, проводник 2 — наименьшим.
4. Rобщ = R = 1 Ом.
5. При последовательном соединении пяти проводников сопротивление каждого проводника равно R = 1 Ом. Возможно и другое решение: проводники соединены параллельно между собой в 2 группы, в одной из которых 3 проводника, в другой — 2, и эти группы соединены друг с другом последовательно. Тогда R = 6 Ом.
6. Четыре резистора; см. рис. 10.
7. На рисунке 11 представлена так называемая мостиковая схема, когда токи протекают по всем резисторам.
8. После добавления двух проводников цепь примет вид, изображенный на рисунке 12; ее сопротивление равно 3r. Так как исходное сопротивление цепи было равно 5r, то сопротивление цепи уменьшится в 5/3 раза.
9. В обоих случаях ток, текущий через вольтметр, должен быть одним и тем же. Из этого следует, что во втором случае ток в цепи в два раза меньше, чем в первом. А это выполняется, если сопротивление каждого резистора равно R = RV = 3 кОм.
10. При отсутствии тока через резистор сопротивлением R1 напряжение на резисторе сопротивлением R3 должно быть равно U1. Тогда
11. Перемычку сопротивлением r, лежащую на оси симметрии точек А и В, можно удалить, так как через нее ток не потечет. Тогда схема превращается в две параллельные цепочки сопротивлением 7r/3 каждая, а сопротивление всей «звезды» будет равно 7r/6.
12. Через ребра АВ, ВС, CD, DE, EF и FA, опоясывающие весь куб (рис. 13), пройдет суммарный ток I = 42 В/7 Ом = 6 А. Поскольку эти ребра расположены симметрично, то силы токов, протекающих через них, одинаковы. Значит, искомая сила тока равна IAB = I/6 = 1 А.
13. Распределение токов по сторонам ячейки представлено на рисунке 14; полный ток равен IAB = 7i/2; полное сопротивление равно RAB = 12r/7.
14. В силу симметрии, ток по участкам CD и EF не течет. Поэтому сопротивление между выводами A и B будет равно R.
15. В одном проводнике ток уменьшится, а в другом может как уменьшиться, так и увеличиться. Например, если первое сопротивление увеличить значительно, а второе — незначительно, то ток во втором проводнике увеличится, а не уменьшится.
Микроопыт
Сначала потребуются источник тока, реостат, вольтметр и амперметр. Собрав электрическую цепь с последовательно включенным в нее мотком проволоки, следует измерить силу тока и падение напряжения в нем, а затем по закону Ома определить сопротивление проволоки R. Также необходимо замерить, например, штангенциркулем, диаметр проволоки d и найти в таблице значение удельного сопротивления меди ρ. Расчет длины проволоки l производится по формуле \(R=\dfrac{\rho \cdot l}{S},\) откуда
Материал подготовил А.Леонович
