Referat. Электрическое поле

Закон Кулона

В 1785 г. французский физик Шарль Кулон экспериментально установил основной закон электростатики – закон взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел или частиц.

Закон взаимодействия неподвижных электрических зарядов – закон Кулона – основной (фундаментальный) физический закон и может быть установлен только опытным путем. Ни из каких других законов природы он не вытекает.

Если обозначить модули зарядов через |q₁| и |q₂|, то закон Кулона можно записать в следующей форме:

\(~F = k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}\) , (1)

где k – коэффициент пропорциональности, значение которого зависит от выбора единиц электрического заряда. В системе СИ \(~k = \frac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} = 9 \cdot 10^9\) Н·м²/Кл², где ε₀ – электрическая постоянная, равная 8,85·10^-12 Кл²/Н·м² .

Формулировка закона:

сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Эту силу называют кулоновской.

Закон Кулона в данной формулировке справедлив только для точечных заряженных тел, т.к. только них понятие расстояния между зарядами имеет определенный смысл. Точечных заряженных тел в природе нет. Но если расстояние между телами во много раз больше их размеров, то ни форма, ни размеры заряженных тел существенно, как показывает опыт, не влияют на взаимодействие между ними. В этом случае тела можно рассматривать как точечные.

Легко обнаружить, что два заряженных шарика, подвешенные на нитях, либо притягиваются друг к другу, либо отталкиваются. Отсюда следует, что силы взаимодействия двух неподвижных точечных заряженных тел направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела. Подобные силы называют центральными. Если через \(~\vec F_{1,2}\) обозначить силу действующую на первый заряд со стороны второго, а через \(~\vec F_{2,1}\) – силу, действующую на второй заряд со стороны первого (рис. 1), то, согласно третьему закону Ньютона, \(~\vec F_{1,2} = -\vec F_{2,1}\) . Обозначим через \vec r_{1,2} радиус-вектор, проведенный от второго заряда к первому (рис. 2), тогда

\(~\vec F_{1,2} = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^3_{1,2}} \cdot \vec r_{1,2}\) . (2)

• 

  Рис. 1
• 

  Рис. 2

Если знаки зарядов q₁ и q₂ одинаковы, то направление силы \(~\vec F_{1,2}\) совпадает с направлением вектора \(~\vec r_{1,2}\) ; в противном случае векторы \(~\vec F_{1,2}\) и \(~\vec r_{1,2}\) направлены в противоположные стороны.

Зная закон взаимодействия точечных заряженных тел, можно вычислить силу взаимодействия любых заряженных тел. Для этого тела нужно мысленно разбить на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать точечным. Складывая геометрически силы взаимодействия всех этих элементов друг с другом, можно вычислить результирующую силу взаимодействия.

Открытие закона Кулона – первый конкретный шаг в изучении свойств электрического заряда. Наличие электрического заряда у тел или элементарных частиц означает, что они взаимодействуют друг с другом по закону Кулона. Никаких отклонений от строгого выполнения закона Кулона в настоящее время не обнаружено.

Электрическое поле

Рассмотренный ранее закон Кулона устанавливает количественные и качественные особенности взаимодействия точечных электрических зарядов в вакууме. Однако этот закон не дает ответа на весьма важный вопрос о механизме взаимодействия зарядов, т.е. посредством чего передается действие одного заряда на другой. Поиск ответа на этот вопрос привел английского физика М. Фарадея к гипотезе о существовании электрического поля, справедливость которой была полностью подтверждена последующими исследованиями. Согласно идее Фарадея электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создает в окружающем пространстве электрическое поле. Поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот. По мере удаления от заряда поле ослабевает.

Электрическое поле материально – в том смысле, что оно существует независимо от нашего к нему отношения. Оно реально, поскольку можно зарегистрировать последствия взаимодействия между зарядами. Однако поле недоступно непосредственному восприятию через органы чувств и проявляется только через его действие на заряды.

Основные свойства и характеристики электрического поля можно установить, изучив взаимодействие зарядов.

Рассмотрим удаленный от других тел заряд q₁, создающий электрическое поле, которое действует на заряд q₂ с силой \(~\vec F_{1,2}\) . При перемещении заряда q₂ сила \(~\vec F_{1,2}\) будет изменяться, но она нигде не обратится в ноль. Следовательно, заряд q₁ создает поле во всем окружающем его пространстве. Точно также можно сделать вывод, что заряд q₂ создает свое собственное поле, независимое от поля заряда q₁. Значит, электрическое поле не локализовано в той или иной точке, а существует в целой области пространства. Его наличие можно определить по появлению силы, действующей на электрические заряды.

Все сказанное о свойствах электрического поля позволяет определить его следующим образом.

Электрическое поле – это особая форма материи, окружающая электрически заряженные тела и проявляющаяся в том, что на любой заряд, помещенный в любую точку этого поля, будет действовать сила.

Еще раз подчеркнем, что упомянутая сила и, тем самым, электрическое поле, действуют только на заряженные тела. С другой стороны, если мы поместили такое тело в некоторую точку пространства и не зарегистрировали действующую на него силу, то это еще не значит, что электрическое поле вовсе отсутствует. Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии электрического поля в некоторой области пространства необходимо повторить эту процедуру для как можно большего количества точек области. Кроме того, вполне возможно, что параметры тела (его размеры, масса, величина и распределение заряда) не позволяют регистрирующему устройству откликнуться на действующую на него электрическую силу.

Итак, главное свойство электрического поля – действие его на электрические заряды с некоторой силой. По действию на заряд устанавливают существование поля, распределение его в пространстве, изучают все его характеристики.

Заметим, что электрическое поле является составной частью единого электромагнитного поля. Источником электрического поля могут быть, помимо электрических зарядов, и переменные магнитные поля. Однако не меняющееся во времени (электростатическое) электрическое поле может быть создано только неподвижными зарядами.

Обратим внимание на еще одно важнейшее свойство электрического поля. Если один из двух взаимодействующих между собой зарядов, первона-чально находящихся на расстоянии l друг от друга, быстро переместить из одной точки пространства в другую, то второй заряд почувствует изменение положения первого заряда не мгновенно, а спустя некоторый промежуток времени \(~\Delta t = \frac{l}{c}\) , где с – скорость света в вакууме. Это проявится в неизменности, в течение времени Δt, и величины, и направления силы, действующей на неподвижный заряд. Такое запаздывание взаимодействия указывает на конечную скорость его распространения в пространстве.

Итак, действие силы на электрический заряд является признаком существования электрического поля. Эту же силу можно использовать и для количественного описания свойств самого поля. Однако, если мы хотим сделать такой способ описания поля универсальным, мы должны выбрать заряд, с помощью которого будет исследоваться поле, и который называется пробным.

Напряженность электрического поля

Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. Надо ввести количественную характеристику поля. После этого электрические поля можно будет сравнивать друг с другом и продолжать изучать их свойства.

Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на электрический заряд. Можно утверждать, что мы знаем о поле все, что нужно, если будем знать силу, действующую на любой заряд в любой точке поля. Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить эту силу.

Утверждение о реальности электрического поля состоит в том, что поле существует в определенной области пространства и тогда, когда электрических зарядов в этой области нет. Если поочередно помещать в одну и ту же точку поля небольшие (пробные) заряженные тела, то обнаружится, что сила, действующая на электрический заряд со стороны поля, прямо пропорциональна этому заряду. Действительно, пусть поле создается точечным зарядом q₁. Положение произвольной точки А в поле можно задать радиусом-вектором \(~\vec r\) . Если поместить в точку А пробный заряд q, то на него будет действовать сила \(~\vec F\) . Согласно закону Кулона (см. формулу 2) эта сила пропорциональна заряду q:

\(~\vec F = k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^3} \cdot \vec r\) . (3)

Поэтому отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля заряд, к этому заряду в любой точке поля не зависит от помещенного заряда и может рассматриваться как характеристика поля. Эту силовую характеристику поля называют напряженностью электрического поля.

Подобно силе, напряженность поля – векторная величина, ее обозначают буквой \(~\vec E\) . Согласно определению напряженность поля равна:

\(~\vec E = \frac{\vec F}{q}\) . (4)

Напряженность поля равна отношению силы, с которой поле действует на точечный заряд, к этому заряду.

В каждой точке поля напряженность имеет определенное значение. Это означает, что напряженность поля зависит от координат\[~\vec E = \vec E(x,y,z)\] . В случае переменных полей она зависит еще от времени. Из формулы (4) видно, что сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля, равна:

\(~\vec F = q \cdot \vec E\) . (5)

Если в точке А заряд q > 0, то векторы \(~\vec E_A\) и \(~\vec F_A\) направлены в одну и ту же сторону; при q < 0 эти векторы направлены в противоположные стороны. НО от знака заряда q, на который действует поле, направление вектора \(~\vec E_A\) не зависит, а зависит направление силы \(~\vec F_A\) (рис. 3 а, б).

• 

  а
• 

  б

Рис. 3

Формула (4) позволяет установить единицу напряженности. В СИ напряженность выражается в ньютонах на кулон (Н/Кл).

Значение напряженности электрического поля, созданного:

• точечным зарядом q, в точке C, находящейся на расстоянии r от заряда (рис. 4), равно

  \(~E = k \cdot \frac{|q|}{r^2}\) . (6)

  

  Рис. 4

• сферой радиуса R, имеющей заряд q, в точке C, находящейся на расстоянии l от центра сферы (рис. 5), равно

  \(~E = k \cdot \frac{|q|}{l^2}\) , если l ≥ R; (7)

  \(~E = 0\) , если l < R. (8)

  

  Рис. 5

• заряженной бесконечной пластиной с поверхностной плотностью заряда σ, равно

  \(~E = \frac{|\sigma|}{2 \varepsilon_0}\) , (9)

  где \(~\sigma = \frac{q}{S}\) , q – заряд плоскости, S – площадь плоскости.

Принцип суперпозиции полей

Если на тело действует несколько сил, то по законам механики Ньютона результирующая сила равна геометрической сумме сил:

\(~\vec F = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 + \ldots\) . (10)

В интересующем нас случае телом является заряженное тело или, говоря коротко, электрический заряд.

На электрические заряды действуют силы со стороны поля. Если при наложении в пространстве полей от нескольких зарядов эти поля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Именно так и происходит на самом деле. Это означает, что напряженности полей складываются геометрически, так как напряженности прямо пропорциональны силам.

В этом состоит принцип суперпозиции полей, т. е. принцип независимого наложения полей («суперпозиция» в переводе на русский означает «наложение»). Он формулируется так:

если в данной точке пространства различные заряды создают электрические поля, напряженности которых \(~\vec E_1\) , \(~\vec E_2\) ,\(~\vec E_3\) , и т д., то результирующая напряженность поля в этой точке равна:

\(~\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + \ldots\) . (11)

Благодаря принципу суперпозиции для нахождения напряженности поля системы точечных зарядов в любой точке достаточно знать выражение (6) для напряженности поля точечного заряда. На рисунке 6, а, б показано, как геометрически определяется напряженность \(~\vec E\) поля, созданного двумя зарядами.

• 

  а
• 

  б

Рис. 6

Для определения напряженности поля, создаваемого заряженным телом конечных размеров, нужно поступать следующим образом. Мысленно разделить тело на маленькие элементы, каждый из которых можно считать точечным. Определить заряды всех этих элементов и найти напряженности полей, созданных всеми ими в заданной точке. После этого сложить геометрически напряженности от всех элементов тела и найти результирующую напряженность поля. Для тел сложной формы это трудная, но в принципе разрешимая задача. Для ее решения нужно знать, как заряд распределен на теле.

Принцип суперпозиции выполняется лишь тогда, когда электрические поля не меняют свойств среды, т.е. пока внешние поля значительно меньше полей, существующих внутри атомов и молекул. В условиях, рассматриваемых в классической физике, этот принцип в большинстве случаев выполняется, как говорится, «с большим запасом», и поэтому мы будем считать его универсальным.

Введение электрического поля позволяет задачу вычисления сил взаимодействия заряженных частиц разбить на две части. Сначала вычисляют напряженность поля, созданного зарядами, а затем по известной напряженности определяют силы. Такое разделение задачи на части обычно облегчает расчеты сил.

Линии напряженности электрического поля

Электрическое поле не действует на органы чувств. Его мы не видим. Тем не менее распределение поля в пространстве можно сделать видимым. Делается это довольно просто.

Мы получим некоторое представление о поле, если нарисуем векторы напряженности поля в нескольких точках пространства. На рисунке 8 таким способом изображено поле положительного точечного заряда. Длины векторов уменьшаются как \(~\frac{1}{r^2}\) , а направлены все они по радиусам от заряда. Но в случае произвольного поля картина будет более наглядной, если нарисовать не векторы в отдельных точках, а непрерывные линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряженности. Эти линии называются линиями напряженности или силовыми линиями электрического поля. За направление силовых линий принимается направление вектора \(~\vec E\) (рис. 7).

• 

  Рис. 7
• 

  Рис. 8

По картине силовых линий можно судить не только о направлении вектора \(~\vec E\) , но и о его модуле. Действительно, для точечных зарядов напряженность поля увеличивается по мере приближения к заряду, а силовые линии при этом сгущаются (рис. 8). Число силовых линий, приходящихся на поверхность единичной площади, расположенную нормально к силовым линиям, можно считать пропорциональным модулю напряженности.

Покажем это на частном примере. Опишем вокруг точечного заряда q сферу радиусом r (см. рис. 8). Обозначим число силовых линий, проведенных от заряда q, через N. Это число, разумеется, произвольно. Тогда число силовых линий, приходящихся на единицу площади поверхности сферы, равно:

\(~n = \frac{N}{4 \pi \cdot r^2}\) . (12)

т.е. убывает как \(~\frac{1}{r^2}\) . Точно так же убывает с расстоянием напряженность поля точечного заряда. Поэтому

\(~E \sim n\) . (13)

Картины силовых линий

Построить точную картину силовых линий заряженного тела – сложная задача. Нужно сначала вычислить напряженность поля Е(х, у, z) как функцию координат. Но этого еще мало. Остается непростая задача проведения непрерывных линий так, чтобы в каждой точке линии касательная к ней совпадала с направлением напряженности \(~\vec E\) . Такую задачу проще всего поручить компьютеру, работающему по специальной программе.

Впрочем, строить точную картину распределения силовых линий нет необходимости. Имеет смысл рисовать приближенные картины, исходя из определенной симметрии в расположении зарядов. Такая картина дает наглядное представление о поле.

Графически изображая поле, следует помнить, что линии напряженности электрического поля:

1. нигде не пересекаются друг с другом;
2. имеют начало на положительном заряде (или в бесконечности) и конец на отрицательном (или в бесконечности), т. е. являются незамкнутыми линиями;
3. между зарядами нигде не прерываются.

На рисунках 9–12 изображены довольно точно построенные картины силовых линий: положительно заряженного шарика (рис. 9); двух раз-ноименно заряженных шариков (рис. 10); двух одноименно заряженных шариков (рис. 11); двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку (рис. 12).

• 

  Рис. 9
• 

  Рис. 10
• 

  Рис. 11
• 

  Рис. 12

Последний пример особенно важен. На рисунке 12 видно, что в пространстве между пластинами вдали от краев пластин силовые линии па-раллельны: электрическое поле здесь одинаково во всех точках.

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. В ограниченной области пространства электрическое поле можно считать приблизительно однородным, если напряженность поля внутри этой области меняется незначительно.

Изображенные на рисунке 9 линии также оканчиваются на отрицательных зарядах, расположенных где-то вдали. Линии непрерывны и не пересекаются, так как их пересечение означало бы отсутствие определенного направления напряженности электрического поля в данной точке.

Представление электрического поля с помощью силовых линий имеет существенный недостаток. Если мы знаем, как выглядят силовые линии одной совокупности зарядов и другой совокупности, мы все равно не получим никакого представления о картине силовых линий, созданной обеими совокупностями. Если же знать напряженность электрического поля в каждой точке пространства для одной и второй совокупности, то вычислить результирующую напряженность поля не составит труда.

Не следует думать, что линии напряженности – это существующие в действительности образования вроде растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей. Линии напряженности лишь помогают представить распределение поля в пространстве и не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.

Однако силовые линии можно сделать «видимыми». Дл этого нужно металлические тела (электроды) соединить с полюсами электростатической машины и погрузить в вязки: диэлектрик (например, в касторовое или вазелиновое масло). В эту жидкость надо насыпать и хорошо перемешать продолговатые частицы изолятора (например, хинина – лекарств от малярии, асбеста, манной крупы, семян или мелко настриженный волос). При заряжении электродов в жидкости создается достаточно сильное электрическое поле. Под влиянием электрического поля частицы диэлектрика поляризуются: на их концах появляются заряды противоположного знака. Частицы поворачиваются во внешнем поле вдоль линий напряженности, и заряды на их концах взаимодействуют друг с другом. Разно именные заряды притягиваются, а одноименные отталкиваются. В результате частицы диэлектрика вы страиваются вдоль силовых линий.

Картина силовых линий наглядно показывает, как направлена напряженность электрического поля в различных точках пространства. По изменению густоты линий можно судить об изменении модуля напряженности поля при переходе от точки к точке.

Приложение

Опыт Кулона

Необходимость проведения экспериментов Кулона была вызвана тем, что в середине XVIII в. накопилось много качественных данных об электрических явлениях. Возникла потребность дать им количественную интерпретацию. Поскольку силы электрического взаимодействия были относительно невелики, возникла серьезная проблема в создании метода, который позволил бы произвести замеры и получить необходимый количественный материал.

Французский инженер и ученый Ш. Кулон предложил метод измерения малых сил, который основывался на следующем экспериментальном факте, обнаруженном самим ученым: сила, возникающая при упругой деформации металлической проволоки, прямо пропорциональна углу закручивания, четвертой степени диаметра проволоки и обратно пропорциональна ее длине:

\(~F_{ynp} = k \cdot \frac{d^4}{l} \cdot \varphi\) ,

где d – диаметр, l – длина проволоки, φ – угол закручивания. В приведенном математическом выражении коэффициент пропорциональности k находился опытным путем и зависел от природы материала, из которого изготавливалась проволока.

Данная закономерность была использована в так называемых крутильных весах. Созданные весы позволили измерить ничтожно малые силы порядка 5·10^-8 Н.

• 

  а
• 

  б

Рис. 13

Крутильные весы (рис. 13, а) состояли из легкого стеклянного коромысла 9 длиной 10,83 см, подвешенного на серебряной проволоке 5 длиной около 75 см, диаметром 0,22 см. На одном конце коромысла располагался позолоченный бузиновый шарик 8, а на другом – противовес 6 – бумажный кружок, смоченный в скипидаре. Верхний конец проволоки прикреплялся к головке прибора 1. Здесь же имелся указатель 2, с помощью которого отсчитывался угол закручивания нити по круговой шкале 3. Шкала была проградуирована. Вся эта система размещалась в стеклянных цилиндрах 4 и 11. В верхней крышке нижнего цилиндра имелось отверстие, в которое вставлялась стеклянная палочка с шариком 7 на конце. В опытах применялись шарики с диаметрами в пределах 0,45 – 0,68 см.

Перед началом эксперимента указатель головки устанавливался на нулевой отметке. Затем шарик 7 заряжался от предварительно наэлектризованного шарика 12. При соприкосновении шарика 7 с подвижным шариком 8 происходило перераспределение заряда. Однако из-за того, что диаметры шариков были одинаковыми, одинаковыми были и заряды на шариках 7 и 8.

Вследствие электростатического отталкивания шариков (рис. 13, б) коромысло 9 поворачивалось на некоторый угол γ (по шкале 10). С помощью головки 1 это коромысло возвращалось в исходное положение. По шкале 3 указатель 2 позволял определять угол α закручивания нити. Общий угол закручивания нити φ = γ + α. Сила же взаимодействия шариков была пропорциональна φ, т. е. по углу закручивания можно судить о величине этой силы.

При неизменном расстоянии между шариками (оно фиксировалось по шкале 10 в градусной мере) исследовалась зависимость силы электрического взаимодействия точечных тел от величины заряда на них.

Для определения зависимости силы от заряда шариков Кулон нашел простой и остроумный способ изменения заряда одного из шариков. Для этого он соединял заряженный шарик (шарики 7 или 8) с таким же по размерам незаряженным (шарик 12 на изолирующей ручке). Заряд при этом распределялся поровну между шариками, что и уменьшало исследуемый заряд в 2, 4 и т. д. раз. Новое значение силы при новом значении заряда опять определялось экспериментально. При этом выяснилось, что сила прямо пропорциональна произведению зарядов шариков:

\(~F \sim q_1 \cdot q_2\) .

Зависимость силы электрического взаимодействия от расстояния была обнаружена следующим образом. После сообщения шарикам заряда (он был у них одинаковый) коромысло отклонялось на некоторый угол γ. Затем поворотом головки 1 уменьшался этот угол до γ₁. Общий угол закручивания φ₁ = α₁ + (γ - γ₁)(α₁ – угол поворота головки). При уменьшении углового расстояния шариков до γ₂ общий угол закручивания φ₂ = α₂ + (γ - γ₂) . Было замечено, что, если γ₁ = 2γ₂, ТО φ₂ = 4φ₁, т. е. при уменьшении расстояния в 2 раза сила взаимодействия возрастала в 4 раза. Во столько же раз увеличился момент силы, так как при деформации кручения момент силы прямо пропорционален углу закручивания, а значит, и сила (плечо силы оставалось неизменным). Отсюда вытекает вывод: сила взаимодействия двух заряженных шариков обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

\(~F \sim \frac{1}{r^2}\) .

Напряженность поля точечного заряда

Найдем напряженность поля, создаваемого точечным зарядом q. Этот заряд действует на другой заряд q₀ с силой равной:

\(~\vec F = k \cdot \frac{q \cdot q_0}{r^3} \cdot \vec r\) ,

где \(~\vec r\) – радиус-вектор, проведенный от заряда q к заряду q₀. Напряженность поля точечного заряда q на расстоянии r от него равна:

\(~\vec E = \frac{\vec F}{q_0} = k \cdot \frac{q}{r^3} \cdot \vec r\) или \(~E = k \cdot \frac{q}{r^2}\) .

Литература

1. Мякишев Г.Я. Физика: Электродинамика. 10-11 кл.: учеб. для углубленного изучения физики / Г.Я. Мякишев, А.З. Синяков, Б.А. Слободсков. – М.: Дрофа, 2005. – 476 с.
2. Вольштейн С. Л. и др. Методы физической науки в школе: Пособие для учителя / С.Л. Вольштейн, С.В. Позойский, В.В. Усанов; Под ред. С.Л. Вольштейна. – Мн.: Нар. асвета, 1988. – 144 с.

Составители

Сакович М. (11 «А»)