Kvant. II космическая скорость

Кикоин А.К. Вторая космическая скорость //Квант. — 1986. — № 3. — С. 21-22.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Если некоторому телу сообщить скорость, равную первой космической скорости, то оно не упадет на Землю, а станет искусственным спутником, движущимся по околоземной круговой орбите. Напомним, что эта скорость должна быть перпендикулярна направлению к центру Земли и равна по величине

\(~\upsilon_I = \sqrt{gR} = 7,9\) км/с,

где g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения тел у поверхности Земли, R = 6,4·10⁶ м — радиус Земля (см. «Физику 8», §40).

А может ли тело и вовсе порвать цепи тяготения, «привязывающие» его к Земле? Оказывается, может, но для этого его нужно «бросить» с еще большей скоростью. Минимальную начальную скорость, которую необходимо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное притяжение, называют второй космической скоростью υ_II. Найдем ее значение.

При удалении тела от Земли сила притяжения совершает отрицательную работу, в результате чего кинетическая энергия тела уменьшается. Одновременно с этим уменьшается и сила притяжения. Если кинетическая энергия упадет до нуля до того, как станет равной нулю сила притяжения, тело вернется обратно на Землю. Чтобы этого не произошло, нужно, чтобы кинетическая энергия сохранялась отличной от нуля до тех пор, пока сила притяжения не обратится в нуль. А это может произойти лишь на бесконечно большом расстоянии от Земли.

Согласно теореме о кинетической энергии (см. «Физику 8», § 55) изменение кинетической энергии тела равно работе действующей на тело силы. Для нашего случая можно записать:

\(~0 - \frac{m \upsilon^2_{II}}{2} = A\) ,

или

\(~\frac{m \upsilon^2_{II}}{2} = -A\) , (*)

где m — масса брошенного с Земли тела, А — работа силы притяжения. Таким образом, для вычисления второй космической скорости нужно найти работу силы притяжения тела к Земле при удалении тела от поверхности Земли на бесконечно большое расстояние. Как это ни удивительно, но работа эта вовсе не бесконечно большая, несмотря на то, что перемещение тела как будто бы бесконечно велико. Причина тому — уменьшение силы притяжения по мере удаления тела от Земли. Чему же равна работа силы притяжения?

Воспользуемся той особенностью, что работа силы притяжения не зависит от формы траектории движения тела (см. «Физику 8», §56), и.рассмотрим самый простой случай — тело удаляется от Земли по линии, проходящей через центр Земли. На приведенном здесь рисунке изображен Земной шар и тело массой m, которое движется вдоль направления, указанного стрелкой.

Найдем сначала работу A₁ которую совершает сила притяжения на очень малом участке от произвольной точки N до точки N₁. Расстояния этих точек до центра Земли обозначим через r и r₁ соответственно, так что работа A₁ будет равна

\(~A_1 = -F (r_1 - r) = F (r - r_1)\) .

Но какое значение силы F следует подставить в эту формулу? Ведь оно изменяется от точки к точке: в N оно равно \(~G \frac{mM}{r^2}\) (M — масса Земли), в точке N₁ — \(~G \frac{mM}{r^2_1}\). Очевидно, нужно взять среднее значение этой силы. Так как расстояния r и r₁ мало отличаются друг от друга, то в качестве среднего можно взять значение силы в некоторой средней точке, например такой, что r_2cp = rr₁. Тогда получаем

\(~A_1 = G \frac{mM}{r r_1} (r - r_1) = GmM \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r} \right)\) .

Рассуждая таким же образом, найдем, что на участке N₁N₂ совершается работа

\(~A_2 = GmM \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)\) ,

на участке N₂N₃ совершается работа

\(~A_3 = GmM \left( \frac{1}{r_3} - \frac{1}{r_2} \right)\) ,

а на участке NN₃ работа равна

\(~A_1 + A_2 + A_3 = GmM \left( \frac{1}{r_3} - \frac{1}{r} \right)\) .

Закономерность ясна: работа силы притяжения при перемещении тела от одной точки к другой определяется разностью обратных расстояний от этих точек до центра Земли. Теперь нетрудно найти и всю работу А при перемещении тела от поверхности Земли (r = R) на бесконечно большое расстояние (\(~r \to \infty, \frac{1}{r} = 0\)):

\(~A = GmM \left( 0 - \frac{1}{R} \right) = -G \frac{mM}{R}\) .

Как видно, эта работа и в самом деле не бесконечно велика .

Подставив полученное выражение для А в формулу (*), найдем значение второй космической скорости:

\(~\upsilon_{II} = \sqrt{-\frac{2A}{m}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR} = 11,2\) км/с.

Отсюда видно, что вторая космическая скорость в \(~\sqrt{2}\) раз больше первой космической скорости:

\(~\upsilon_{II} = \sqrt{2} \upsilon_I\) .

В проведенных расчетах мы не принимали во внимание то, что наше тело взаимодействует не только с Землей, но и с другими космическими объектами. И в первую очередь — с Солнцем. Получив начальную скорость, равную υ_II, тело сумеет преодолеть тяготение к Земле, но не станет истинно свободным, а превратится в спутник Солнца. Однако если телу у поверхности Земли сообщить так называемую третью космическую скорость υ_III = 16,6 км/с (попробуйте получить это значение самостоятельно), то оно сумеет преодолеть и силу притяжения к Солнцу.