Kvant. Явление природы

Вышинский В. Явление природы или биологическая диверсия? // Квант. — 2004.— № 5. — С. 31,34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

И Господь навел на сию землю восточный ветер,

продолжавшийся весь тот день и всю ночь.

Настало утро, и восточный ветер нанес саранчу.

Исход. X, 13

Они летели низко над морем, на высоте 1-2 метров. Долетев до берега, садились на песок, на скалы, на выброшенные морем водоросли. Подсохнув и отдохнув, улетали дальше, в зелень берега. Тогда они были в диковинку - маленькие, полосатые, очень красивые жучки. Это потом мы узнали, что колорадский жук является злейшим врагом картофеля и не имеет в этих краях естественных врагов. Уже на следующее лето дети давили их камушками прямо на скалах, на песке, в пене прибоя. А они все летели и летели, то ли с кораблей, стоящих на рейде, то ли из-за моря. Поговаривали, что это локальная диверсия - не могут же такие крошки перелететь море...

Чтобы выяснить этот вопрос, проведем простые оценки.

Прежде всего, не будем учитывать ветер, тем более что жуки летят очень низко. А вообще-то вечерний бриз (дующий с берега) облегчает старт, а утренний (дующий к берегу) спасает многих обессилевших насекомых, помогая достичь противоположного берега. Будем считать также, что в полете жуки не питаются. Пусть масса их «топлива» равна 30% полной массы, а выделенная энергия поровну (по 10%) тратится на поддержание жизнедеятельности, создание подъемной силы и преодоление сопротивления воздуха. (Известно, например, что свекловичные цикадки перед перелетом запасают жира до 40% от общей массы.)

Примем следующие параметры жука. Пусть его масса m = 0,5 г = 5·10^-4 кг , характерный размер L = 10 мм = 0,01 м, форма тела — полусфера. Для оценки калорийности топлива воспользуемся данными для авиационного топлива: 40 МДж/кг. Тогда на работу против сил сопротивления жук может выделить 0,1 · 5·10^-4 кг 40·10⁶ Дж/кг = 2000 Дж.

Далее, рассмотрим силы, действующие на тело, движущееся относительно воздуха с постоянной скоростью υ (см. рисунок). Ясно, что вес тела G = mg должен компенсироваться подъемной силой F_y (которая при горизонтальном полете направлена вертикально вверх). Но при движении в воздухе, увы, возникает и сила сопротивления F_x, которую, очевидно, нужно преодолевать при помощи силы тяги, равной ей по величине и противоположно направленной. Заметим, что результирующая сил \(~\vec F_y\) и \(~\vec F_x\) называется аэродинамической силой \(~\vec F_a\).

Расчет аэродинамических сил даже для тел фиксированной формы (например, снаряда, ракеты, самолета или футбольного мяча) — очень сложная задача. Поэтому инженеры прибегают к такой хитрости. Они составляют так называемую формулу размерностей, в которую входят все физические величины, влияющие, по предположению, на исследуемую величину, но при этом перед формулой ставят безразмерный множитель, который нужно определить другим способом - например, экспериментально. Для этого во всем мире и построены сотни аэродинамических труб. Конечно, если движущееся тело еще и изменяет свою геометрию (как в случае машущего полета), то проблема становится еще сложнее. Поэтому в наших оценках будем исходить из некоторых определенных (характерных) значений упомянутых безразмерных коэффициентов.

Итак, из соображений размерности найдем зависимость подъемной силы F_y от плотности воздуха ρ (ее размерность кг/м³), скорости υ (м/с) и площади крыльев S (м²) :

\(~F_y = C_y \frac{\rho \upsilon^2}{2} S\) .

Теория машущего полета дает значение безразмерного коэффициента подъемной силы крыла C_y от 2 до 5. Будем считать, что перелет совершается при C_y = 2 и площадь крыла равна удвоенной площади основания жука (который, по предположению, имеет форму полусферы). Тогда \(~S = \frac{2 \pi L^2}{4}\) = 1,57·10^-4 м². Приравняв подъемную силу F_y весу G, находим скорость полета:

\(~\upsilon = \sqrt{\frac{2G}{C_y \rho S}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 1,3 \cdot 1,57 \cdot 10^{-4}}}\) м/с ≈ 5 м/с .

Здесь плотность воздуха равна ρ ≈ 1,3 кг/³. При C_y = 5 скорость полета была бы ниже: υ ≈ 3,1 м/с .

Оценим теперь силу сопротивления, мешающую жуку двигаться в воздухе. Как всякая сила, она должна измеряться в ньютонах, следовательно, формула размерностей для нее будет та же, что и для подъемной силы. Но здесь существенно еще одно физическое явление - трение, связанное с вязкостью воздуха. Оно тем более важно, чем меньше движущееся тело и чем медленнее это тело движется.

Для оценки роли вязкости в аэродинамике вводится так называемое число Рейнольдса Re. Оно равно отношению аэродинамической силы к силе поверхностного трения, определяемого коэффициентом вязкости η). В нашем случае

\(~Re = \frac{\rho \upsilon L}{\eta} = \frac{1,3 \cdot 5 \cdot 0,01}{1,7 \cdot 10^{-5}} \approx 3800\) ,

где вязкость воздуха равна η = 1,7·10^-5 кг/(м·с). При υ ≈ 3,1 м/с Re ≈ 2300 . При таких числах Рейнольдса коэффициент лобового сопротивления сферы составляет C_x ≈ 1. Используем его для оценки силы сопротивления жука:

\(~F_x = C_x \frac{\rho \upsilon^2}{2} S_1\) .

Найдем площадь поперечного сечения\[~S_1 = \frac{\pi L^2}{8}\] = 4·10^-5 м². Тогда F_x = 6,2·10^-4 Н. При υ = 3,1 м/с сопротивление ниже: F_x = 2,5·10^-4 H.

Работа, совершаемая против сил сопротивления, при перелете на расстояние D = 1000 км равна

\(~A = F_x D\) = (2,5 - 6,2)·10^-4 Н · 10⁶ м = (250 - 620) Дж,

что вполне соответствует энергетическим запасам жука.

Время, затраченное на перелет, равно

\(~T = \frac{D}{\upsilon} = \frac{1000 \cdot 10^3}{3,1 - 5}\) = (2 - 3,2)·10⁵ с ≈ 50 - 90 ч.

Можно и потерпеть, когда впереди биологическая ниша!

Любознательный читатель может сделать свои оценки, исходя из других предположений и численных значений. Для тех, кто захочет оценить способность более мелких насекомых к дальним перелетам, приведем таблицу зависимости коэффициента лобового сопротивления сферы от числа Рейнольда Re:

Re	0,05	0,1	0,4	0,8	1	2	5	10	20	50	100	103 - 105
Cx	480	235	64	34	27	15	7	4	2,6	1,6	1,1	≈ 1