Kvant. Энергия электрического поля

Городецкий Е.Е. Энергия электрического поля //Квант. — 1986. — № 5. — С. 21-23.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как известно («Физика 9», § 55), чтобы зарядить конденсатор, необходимо совершить некоторую работу. Эта работа требуется для преодоления сил электростатического притяжения, возникающих при разделении положительных и отрицательных зарядов. За счет совершенной работы в конденсаторе запасается потенциальная электростатическая энергия

\(~W = \frac{1}{2} UQ = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CU^2\) , (1)

где U — разность потенциалов между обкладками, С — емкость конденсатора, Q — заряд на его обкладках.

Ясно, что для того чтобы зарядить любое уединенное тело, то есть создать в нем избыток зарядов одного знака, также следует совершить определенную работу. В этом случае она совершается против сил электростатического отталкивания, которые действуют между одноименными зарядами, накапливающимися на теле. Вычислим эту работу.

Рассмотрим уединенный проводник. Пусть нам уже удалось сосредоточить на нем заряд q. Потенциал создаваемого этим зарядом электрического поля на бесконечности условимся считать равным нулю, а потенциал самого проводника обозначим через φ(q). Теперь будем переносить на проводник из бесконечности дополнительный малый заряд Δq. Для этого потребуется совершить работу

\(~\Delta A = \varphi (q) \Delta q\) .

Понятно, что потенциал электростатического поля всегда пропорционален величине создающего это поле заряда. В данном случае потенциал проводника пропорционален заряду на нем:

\(~\varphi(q) \sim q\) , или \(~\varphi(q) = \frac{1}{C} q\) .

Входящая в коэффициент пропорциональности величина С называется емкостью уединенного проводника. Она зависит от формы, размеров проводника и диэлектрической проницаемости окружающей среды.

Построим график линейной зависимости φ от q (рис. 1). Работа ΔA, совершаемая при перенесении заряда Δq из бесконечности на проводник, на этом графике представляется площадью заштрихованного столбика. Полная же работа А по зарядке уединенного проводника до заряда Q определяется суммой площадей всех аналогичных столбиков, то есть площадью фигуры под графиком зависимости φ от q. В данном случае — площадью треугольника.

Рис. 1

Поэтому работа по зарядке уединенного проводника, равная запасаемой им потенциальной электростатической энергии, определяется формулой

\(~A = W = \frac{1}{2} \varphi(Q) Q = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} C(\varphi(Q))^2\) . (2)

Формула (2) по виду совпадает с формулой (1), однако входящие в нее величины имеют несколько иной смысл: φ(Q) — это потенциал уединенного проводника, а не разность потенциалов (U) между обкладками конденсатора, С — емкость проводника, а не конденсатора.

Но где именно запасается энергия? На этот вопрос существуют два равноправных ответа. Первый основывается на том, что запасенная энергия — это энергия взаимодействия зарядов, находящихся на проводнике. Согласно второй точке зрения носителем запасенной энергии является электрическое поле, так что энергия распределена в окружающем проводник пространстве. В случае плоского конденсатора созданное им электрическое поле однородно, и сосредоточено в области между пластинами. Тогда легко показать («Физика 9», § 55), что плотность энергии — энергия, приходящаяся на единицу объема,— определяется выражением

\(~w = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2}{2}\) , (3)

где Е — напряженность поля, ε — диэлектрическая проницаемость среды внутри конденсатора.

Оказывается, этой же формулой можно воспользоваться для подсчета полной энергии электрического поля и в общем случае, когда поле неоднородно. Так, например, в пространстве вокруг заряженного тела напряженность - электрического поля уменьшается по мере удаления от тела. Тем не менее в любом месте пространства мы всегда можем выбрать такой небольшой объемчик ΔV, что напряженность поля в нем практически не изменяется. Тогда, согласно формуле (3), мы можем вычислить соответствующую плотность энергии и найдем, что в выбранном объемчике заключена энергия

\(~\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V\) .

Если теперь весь объем, где имеется электрическое поле, разбить на маленькие объемчики, подсчитать указанным способом энергию каждого из них, а затем все просуммировать, то мы получим полную энергию электрического поля. Как это ни удивительно, но для полной энергии получится уже известное выражение (2).

Красивым примером, показывающим плодотворность такого подхода вычисления энергии, может служить задача о нахождении силы отталкивания между двумя половинками заряженной проводящей сферы, находящейся в вакууме.

Прежде всего вспомним, что поле внутри проводящей сферы, как и внутри любого проводника («Физика 9», § 44), равно нулю. Вне сферы напряженность поля такая же, как у точечного заряда, равного заряду сферы и находящегося в ее центре:

\(~E(r) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}\) ,

где Q — заряд сферы, r — расстояние от ее центра до рассматриваемой точки. У поверхности сферы радиусом R, таким образом, напряженность поля оказывается равной

\(~E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}\) .

Давайте теперь мысленно разрежем сферу пополам и позволим искомой силе отталкивания F отдалить одну половинку от другой на малое расстояние Δx. Совершенная при этом работа

\(~\Delta A = F \Delta x\)

равна уменьшению полной энергии электрического поля, запасенной, как мы знаем, во всем окружающем сферу пространстве. Действительно, до нашего мысленного сдвига в области пространства (объемом ΔV), заштрихованной красным на рисунке 2, была запасена энергия

\(~\Delta W = w \Delta V = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} \Delta V = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 R^4} \Delta V\) .

Рис. 2

После сдвига эта область оказалась уже внутри сферы, и напряженность поля в ней стала равной нулю. В образовавшийся зазор между полусферами поле практически не проникло, а в остальном пространстве оно почти не изменилось. Нетрудно убедиться в том, что объем заштрихованной области совпадает с объемом образовавшегося зазора, который легко вычисляется:

\(~\Delta V = \pi R^2 \Delta x\) .

Таким образом, согласно закону сохранения энергии, можно записать ΔA = ΔW, или

\(~F \Delta x = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 R^4} \pi R^2 \Delta x\) .

Отсюда сила отталкивания между двумя полусферами оказывается равной

\(~F = \frac{Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 R^2}\) .

Итак, можно считать, что энергия заряженного тела — это энергия взаимодействия его зарядов, а можно приписывать ее создаваемому телом в пространстве электрическому полю. Какой из этих точек зрения отдать предпочтение — в рамках электростатики это «дело вкуса». Однако при изучении переменных полей единственно возможным оказывается именно второй подход, связывающий энергию с электрическим полем.