Kvant. Шариковая ручка

Стасенко А.Л. Разглядывая шариковую ручку //Квант. — 2006. — № 3. — С. 31,34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Однажды, внимательно слушая лекцию по оптике и разглядывая свою шариковую ручку с шестигранным прозрачным корпусом, Студент заметил, что стержень с пастой меняет свой видимый диаметр в зависимости от угла поворота. «Э, брат, ­— подумал Студент, ­— тут все дело в преломлении лучей». Но, как сказал Лектор, еще во втором веке Клавдий Птолемей описал явление преломления света в трактате «Оптика», а его последователи даже предложили связь между углами падения α и преломления β в виде \(~\frac{\alpha}{\beta} = n\), где n ­— постоянная величина, называемая коэффициентом преломления. Это верно, конечно, только для малых углов, а для любых углов неверно. Потому что правильный закон преломления \(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n\) лишь в семнадцатом веке изложил в своих лекциях (в Лейдене) Виллеброрд Снеллиус.

Но что же ручка? «Нельзя ли, —­ подумал Студент, — узнать коэффициент преломления пластмассы, из которой сделан ее корпус?» И приступил к делу.

Разобрав ручку, он прежде всего измерил геометрические размеры ­— радиус стержня r, внутренний радиус корпуса R, расстояние между внешними параллельными гранями b (рис.1), —­ благо под руками была тетрадь в клетку, правда не самый точный инструмент.

Рис. 1

Были отмечены два интересных результата наблюдения: вдоль линии А1О (перпендикулярно грани) стержень казался тоньше реального размера (r’ < r), а вдоль линии BCO (луч проходит через диаметрально противоположные ребра) —­­ казался самым толстым.

Начнем с первого случая. Так как наблюдение ведется с расстояния порядка 300 мм, то самый большой (внешний) поперечный размер ручки b ~ 8 мм мал по сравнению с этим расстоянием, не говоря уж о диаметрах внутренних цилиндров. Рассмотрим луч 532А, который несет в глаз информацию о размере стержня. Углы α и β малы, так что здесь птолемеевцы могли бы порадоваться\[~\frac{\alpha}{\beta} \approx n\]. По этой же причине отрезок луча 23 почти параллелен отрезку 14 (ведь β еще меньше, чем малый угол α), так что длины отрезков 12 и 34 почти равны друг другу и кажущемуся радиусу r’, а ∠γ ­≈ ∠ε. Отсюда следует

\(~\frac{r'}{AO} = \operatorname{tg} \ \alpha \approx \alpha\) , \(~\frac{\sin \delta}{\sin \gamma} = n \approx \frac{\sin \delta}{\sin \varepsilon} \approx \frac{\sin \delta}{\frac{r'}{R}} \approx \frac{\sin \delta}{AO \cdot \frac{\alpha}{R}}\) .

Но треугольник О53 —­ прямоугольный, поскольку отрезок 35 —­ касательная к окружности стержня, поэтому \(~\sin \delta = \frac rR\). В результате получаем

\(~n \approx \frac{r}{AO \cdot \alpha} = \frac{r}{AO \cdot \frac{r'}{AO}} = \frac{r}{r'}\) .

Измерив 2r ≈ 22,5 мм и 2r’ ≈ 21,5 мм, находим \(~n \approx \frac 53\). «Э, ­— ведь это коэффициент преломления такого прекрасного стекла, как тяжелый флинт,» ­— подумал Студент и решил для уверенности рассмотреть второй случай ­— направление на ребро (рис.2). Тут, конечно, угол α мал попрежнему, но о других углах этого не скажешь. И Студент решил честно (без всяких упрощающих предположений) выписать все, что ему известно, и учесть, что теперь кажущийся радиус r’ почти вдвое больше, чем в первом случае.

Рис. 2

Прежде всего, угол α известен из измерений\[~\operatorname{tg} \ \alpha = \frac{r'}{BO}\]. По-прежнему известен катет 35\[~35 = \sqrt{R^2 - r^2}\](поскольку он есть касательная к стержню в точке 5) и угол δ\[~\sin \delta = \frac rR\]. Следовательно, для отрезка 12, или ординаты y₂ точки 2, получим \(~y_2 = (BO - x_1) \operatorname{tg} \ \alpha\), где x₁ ­— абсцисса точки 2. С другой стороны, этот же отрезок есть и катет прямоугольного треугольника С12\[~y_2 = (\mathcal R - x_1) \operatorname{tg} \ 60^{\circ}\] (\(~\mathcal R\) —­ это радиус окружности, описанной вокруг шестигранного сечения). Значит, можно найти и абсциссу:

\(~x_1 = \frac{\mathcal R \operatorname{tg} \ 60^{\circ} - r'}{\operatorname{tg} \ 60^{\circ} - \operatorname{tg} \ \alpha} = \frac{\mathcal R \sqrt 3 - r'}{\sqrt 3 - \operatorname{tg} \ \alpha}\) ,

и окончательно ординату:

\(~y_2 = \sqrt 3 \frac{r' - \mathcal R \operatorname{tg} \ \alpha}{\sqrt 3 - \operatorname{tg} \ \alpha}\) .

Таким образом, координаты точки 2 (y₂ и x₂ = x₁) известны. Для этой точки запишем закон преломления Снеллиуса, связав между собой пока что неизвестные угол преломления β и коэффициент преломления n:

\(~n = \frac{\sin \psi}{\sin \beta} = \frac{\sin (30^{\circ} + \alpha)}{\sin \beta}\) .

То же можно сделать и для точки 3:

\(~n = \frac{\sin \delta}{\sin \gamma} = \frac{r}{R \sin \gamma}\) ,

но тут известен угол δ, что и учтено. Ордината этой точки есть \(~y_3 = R \operatorname{tg} \ \varepsilon\), где угол ε пока что неизвестен.

Но как найти координаты точки 3? Очень просто: написать уравнения прямой 23 и окружности радиусом R и учесть, что точка 3 принадлежит им обеим. Прямая 23 наклонена к оси х под углом 30° - β и проходит через известную точку 2. Значит, ее уравнение имеет вид

\(~\frac{y - y_2}{x - x_2} = \operatorname{tg} \ (30^{\circ} - \beta)\) .

А уравнение окружности совсем простое с виду:

\(~x^2 + y^2 = R^2\) .

Решая эти два уравнения, выразим x₃ и y₃ через угол β. «Ох, ­— пробормотал Студент, ­— сплошная геометрия!»

«Но и геометрия ­— часть физики!» ­— заявил Сосед, давно наблюдавший за приятелем, и тут зазвонил звонок на перемену. Так что они решили найти n перед сном, а заодно построить зависимость наблюдаемого радиуса r’ от угла поворота ручки —­ ведь дома у них был компьютер.