Kvant. Шапка-невидимка

Стасенко А.Л. Людмила, Черномор и шапка-невидимка //Квант. — 2007. — № 1. — С. 31,34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Везде всечасно замечали
Ее минутные следы:
То позлащенные плоды
На шумных ветвях исчезали,
То капли ключевой воды
На луг измятый упадали...
Сам карла утренней порою
Однажды видел из палат,
Как под невидимой рукою
Плескал и брызгал водопад.
А.С.Пушкин

Вспомнили? Ну конечно, речь идет о Людмиле, законной супруге Руслана, похищенной нехорошим Черномором. Это она приватизировала шапку-невидимку из черноморского гардероба. Однако действительно ли Людмила могла чувствовать себя столь комфортно, а Черномор был настолько бессилен увидеть «невидимую» пленницу?

В самом деле, невидимость тела означает, что оно ничего не отражает, не поглощает и не преломляет (см. по этому поводу, например, недавнюю статью В.Белонучкина «Как увидеть невидимку» в «Кванте» №4 за 2006 г.). Следовательно, хрусталик глаза, который должен фокусировать лучи на сетчатке, перестает «работать», а сетчатка, которая должна преобразовывать сфокусированную энергию в полезный сигнал, перестает что-либо поглощать.

Итак, абсолютно невидимая Людмила смогла бы перемещаться только ощупью, ориентируясь лишь на звуки или запахи (что может быть тоже сомнительным - но это лежит вне темы данной статьи).

А что же Черномор? Конечно, во времена князя Владимира (Красное Солнышко) и его дружинника Руслана, т.е. в X веке, не были еще сформулированы законы теплового излучения (хотя люди не могли не чувствовать тепла, идущего от костра). Не было и тепловизоров, которые в наше время различают участки тела с разностью температур в доли градуса. Но ведь и Черномор был не прост: «Он звезды сводит с небосклона, Он свистнет - задрожит луна...» При таких энергетических возможностях не знать законов термодинамики и равновесного электромагнитного излучения нагретых тел - совсем неприлично для колдуна.

Нормальные люди, конечно, были тогда еще менее изощренными. Только в 1879 году Йозеф Стефан из экспериментальных наблюдений установил, что полный поток энергии, излучаемой нагретым телом, пропорционален четвертой степени его температуры. Через пять лет этот факт был подтвержден теоретически (из термодинамических соображений) Людвигом Больцманом. Это важное соотношение теперь называется законом Стефана-Больцмана и формулируется так: плотность потока энергии тела, нагретого до температуры T, равна

\(~q = \sigma T^4\) ,

где σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴) - постоянная, носящая имена этих ученых.

Постоянная Стефана-Больцмана является довольно красивой комбинацией «еще более фундаментальных констант» -

\(~\sigma = 12 \pi \frac{k^4}{c^2h^3} \left( 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \ldots \right)\) ,

каждая из которых венчает важнейший раздел физики:

скорость света c = 3·10⁸ м/с - это специальная теория относительности,

постоянная Планка h = 6,6·10^-34 Дж·с - квантовая механика,

постоянная Больцмана k = 1,4·10^-23 Дж/К - статистическая физика

(не хватало еще постоянной тяготения!).

А еще присутствуют вездесущее число π и бесконечный ряд \(~\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}\) .

Советуем самостоятельно вычислить σ - вы получите большое удовольствие, находясь в окружении знаменитых имен.

Итак, все тела (звезды, деревья, стены, учителя и даже школьники) излучают электромагнитные волны. Часть волн, которая относится к инфракрасному излучению, т.е. невидимому диапазону спектра излучения молекул, атомов и ядер, получила название теплового излучения.

Что мог бы при своем могуществе сделать Черномор? Например, взять два болометра и включить их в мостик Уитстона (см. рисунок). Болометр (от греч. «луч» и «измеряю») - это приемник излучения всех длин волн, которые, падая на него, изменяют его электрическое сопротивление. В результате с помощью болометра можно измерять мощность излучения.

Затем Черномор мог бы сфокусировать на каждый из них излучение, отраженное двумя одинаковыми параболическими зеркалами. Посмотрим, что из этого может получиться.

Если в «поле зрения» обоих зеркал попадает только фоновое излучение, то регистрирующий прибор Ρ покажет ноль. Если же в поле зрения одного из зеркал окажется объект площадью сечения S_L, то излучение фона будет приходить уже от площади S_Φ - S_L. Тогда возникнет разность мощностей, регистрируемых болометрами:

\(~((S_{\Phi} - S_L) q_{\Phi} + S_L \sigma T^4_L - S_{\Phi} q_{\Phi}) \Delta \Omega\) ,

положив которую равной наименьшей регистрируемой мощности W_min, получим

\(~W_{min} = S_L(\sigma T^4_L - q_{\Phi}) \Delta \Omega\) .

Здесь \(~q_{\Phi} \sim \sigma T^4_{\Phi}\) - плотность потока фонового излучения, \(~\Delta \Omega \sim \frac{D^2}{x^2_{max}}\) - телесный угол, под которым видна площадь зеркала от излучающего его объекта, где D - диаметр зеркала, x_max - максимальное расстояние между зеркалом и объектом. Тут и участок фона и Людмила рассматриваются как удаленные излучающие объекты, расположенные в одной плоскости. Таким образом,

\(~x_{max} \sim \sqrt{\frac{\sigma S_L|T^4_L - T^4_{\Phi}|}{W_{min}}}\) .

Знак модуля означает, что объект может быть как теплее, так и холоднее фона.

Теперь сделаем численные оценки. Пусть диаметр зеркала D = 0,1 м (вполне портативный прибор), температура окружающей среды, т.е. «фона», T_Φ = 21 °C = 294 К (вполне комфортная температура, как и должно быть в садах волшебника), температура тела объекта - Людмилы в легкой одежде - T_L = 36 °C = 309 К , площадь силуэта Людмилы S_L = 0,5 м², а наименьшая мощность, регистрируемая прибором, W_min = 1 мкВт . Подставляя все это в приведенное выше выражение, получим

\(~x_{max} \sim 0,1 \sqrt{\frac{5,67 \cdot 10^{-8} \cdot 0,5 (309^4 - 294^4)}{10^{-6}}}\) м ≈ 700 м.

Эта оценка показывает, что Черномор вполне мог бы зарегистрировать присутствие теплой Людмилы на менее теплом фоне в пределах своего очень немалого аквапарка.

Отсюда видно, что даже волшебникам полезно знать законы физики, а уж достать дефицитный прибор - для них самое простое дело.

Примечание

Приведенные выше оценки сделаны в предположении, что размеры болометра малы, а отражающие параболические зеркала собирают параллельные лучи строго в одну точку. На самом деле, болометры имеют какие-то конечные размеры, а на краях отражателей происходит дифракция, так что «поле зрения» каждого зеркала увеличивается (пунктир на рисунке). Эти факторы приведут к уменьшению x_max. Помимо конечного размера болометра, на размер поля зрения должно влиять и такое явление, как дифракция падающего излучения на краях входного зрачка, т.е. зеркала. Однако, чтобы не усложнять наши рассуждения, ограничимся сказанным, считая, что мы делаем, как говорят математики, оценку сверху.