Kvant. Шампанское

Стасенко А.Л. Сколько пузырьков в шампанском? //Квант. — 2000. — № 1. — С. 35-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В природе и в человеческой практике известно немало случаев вскипания жидкостей без преднамеренного нагревания. Например: при истечении на поверхность с больших глубин, при разгерметизации трубопроводов с жидким теплоносителем (аварии энергетических установок), при раскупоривании бутылок с шампанским, пивом, содовой, спрайтом... - кто же не наблюдал с радостью искрящуюся пузырьками газированную воду в жаркий день!

При транспортировке таких жидкостей по трубам бывает важно знать, какой объем растворенных в них газов уже выделился в виде пузырьков. Конечно, можно было бы сделать забор пробы, но - пока эту пробу проанализируют, какое отношение она будет иметь к той смеси, что была в момент забора? Поэтому лучше всего воспользоваться электромагнитным полем - ведь информация о его изменениях распространяется со скоростью порядка скорости света, так что реальные технологические процессы будут казаться как бы застывшими (квазистатическими).

Рис. 1

Рассмотрим, например, как можно воспользоваться простейшим плоским конденсатором для почти мгновенной регистрации свойств протекающей через него жидкости с диэлектрической проницаемостью ε, содержащей газовые пузыри или пузырьки, внутри которых ε₁ = 1 (рис.1). Под «пузырями» будем понимать объемы газа, размеры которых сравнимы с характерными размерами конденсатора l и d, a под «пузырьками» - те объемы, размеры которых существенно меньше d.

Пусть пластины конденсатора, площадью S каждая, подключены к источнику постоянной ЭДС U (батарейке). Ясно, что что-то будет неодинаково в двух случаях: когда конденсатор полностью занят жидкостью или когда он содержит только газ. Что же именно?

Если пренебречь сопротивлением проводов и внутренним сопротивлением источника r, то разность потенциалов между пластинами конденсатора будет постоянна и равна U. (Следовательно, электропроводность газожидкостной смеси предполагается пренебрежимо малой.) Значит, и напряженность электрического поля в обоих случаях будет одной и той же и равной \(~E = \frac Ud\). А вот заряд на пластинах будет различен - ну, хотя бы потому, что емкость пустого плоского конденсатора равна \(~C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\), емкость заполненного диэлектриком в ε раз больше\[~C_{\varepsilon} = \varepsilon C\], а заряд равен \(~q_{1,\varepsilon} = C_{1,\varepsilon} U\). Иными словами, сам заряд и его поверхностная плотность на пластинах в этих двух крайних случаях будут отличаться в ε раз:

\(~\begin{matrix} q_{\varepsilon} = \varepsilon q_1 \\ \sigma_{\varepsilon} = \varepsilon \sigma_1 \end{matrix}\) ,

где

\(~\sigma_1 = \frac{q_1}{S} = \frac{\varepsilon_0 U}{d}\) .

Кстати, напряженность поля между пластинами будет одинаковой, даже если диэлектрик лишь частично «вдвинут» в конденсатор, как это показано на рисунке 1. (В противном случае работа по перемещению некоего заряда по пути abcfa не была бы равна нулю, а это строго запрещено в электростатике.)

Легко понять, что если в данный момент времени диэлектрик занимает часть объема конденсатора, равную \(~\frac{l'}{l}\), то суммарный заряд на конденсаторе равен

\(~q = q_1 \left( 1 - \frac{l'}{l} \right) + q_{\varepsilon} \frac{l'}{l} = \frac{\varepsilon_0 SU}{d}\left( 1 + \frac{l'}{l} (\varepsilon - 1) \right)\) . (1)

Если диэлектрик будет «вдвигаться» с постоянной скоростью υ, то l’ = υt, так что в цепи потечет постоянный ток

\(~I = \frac{dq}{dt} = \frac{\varepsilon_0 SU}{d} \frac{\upsilon}{l} (\varepsilon - 1) \) , при \(~0 < t < \frac{l}{\upsilon}\). (2)

Рис. 2

Когда жидкость заполнит весь конденсатор, заряд достигнет наибольшей величины q_ε = εq₁ и перестанет изменяться, а когда в конденсатор начнет входить следующий газовый пузырь, заряд станет убывать с той же скоростью-ток будет отрицательным (рис.2). Таким образом, даже если наша плоская «труба» будет совершенно непрозрачной, по изменению электрического тока мы сможем «увидеть» перемежающиеся участки движущейся жидкости и газа.

Рис. 3

Рассмотренный тип течения газожидкостной смеси (когда газовый пузырь заполняет все сечение потока) представляется нежелательным с точки зрения производства, например, газированной воды, ибо обе фазы, как видно, полностью разделены, а их как раз хотелось бы смешать. Поэтому обсудим далее более благоприятный случай. Пусть теперь газовый «пузырь» представляет собою плоскую «щель» шириной h, параллельную пластинам конденсатора (см. рис.1 и 3). По-прежнему перемещая некий пробный заряд по контуру abcfa (см. рис.3), мы должны совершить нулевую работу. Другими словами, разность потенциалов между точками a и f равна таковой для точек b и c:

\(~E_{\varepsilon} (d - h) + E_ih = U\) , (3)

где E_i — напряженность поля в щели, a E_ε — в диэлектрике (жидкости) с обеих сторон от щели. Кроме того, учтем, что

\(~E_i = \varepsilon E_{\varepsilon}\) . (4)

Рис. 4

Собственно говоря, в школьном учебнике так и написано: «Диэлектрическая проницаемость среды - это физическая величина, показывающая, во сколько раз модуль напряженности электрического поля (E_ε) внутри однородного диэлектрика меньше модуля напряженности поля (E_i) в вакууме». И дана справедливая оговорка, что такое определение справедливо лишь в частных случаях - например, для пластин в однородном поле (и несправедливо для шаровой полости). Поэтому подумаем еще раз, что такое ε (Ранее мы приняли его как множитель, который показывает, во сколько раз увеличивается емкость плоского конденсатора с диэлектриком по сравнению со случаем пустого конденсатора.) Мысленно вырежем из нашего устройства призму с поперечным сечением площадью ΔS (рис.4). Пластина конденсатора несет заряд +σΔS и поле над этой пластиной (в вакууме) равно \(~E_i = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) (а ниже этой пластины, т.е. вне конденсатора, оно равно нулю). Кусок диэлектрика в выделенной призме, попав во внешнее (по отношению к нему) поле E_i, поляризуется. Этот факт условно показан в виде нескольких диполей, выстроившихся вертикально. Видно, что внутри диэлектрика заряды противоположных знаков, принадлежащие соседним диполям, компенсируют друг друга, а на поверхностях диэлектрика торчат их «хвосты» с зарядами ±σ’ΔS. Дипольный момент этого призматического куска диэлектрика равен Δp = σ’ΔSd’ и направлен вверх (от отрицательного заряда к положительному). А напряженность поля, порожденного этими поляризационными зарядами, равна \(~E' = -\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}\) и направлена противоположно дипольному моменту и внешнему полю. Таким образом, напряженность суммарного электрического поля равна

\(~E_{\varepsilon} = E' + E_i = -\frac{\sigma'}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) .

Остался последний шаг. Введем еще одно понятие — объемную плотность дипольного момента:

\(~P = \frac{\Delta p}{\Delta S d'} = \sigma' = -\varepsilon_0 E'\) .

Вот она-то и связана с суммарным полем в диэлектрике соотношением

\(~P = \varepsilon_0 (\varepsilon - 1) E_{\varepsilon}\) ,

которое и можно считать более общим локальным определением диэлектрической проницаемости, приемлемым для любой точки однородного или неоднородного диэлектрика.

Из соотношений (3) и (4) легко найти электрический заряд на пластинах в том случае, когда рассматриваемый газовый «пузырь» длиннее длины конденсатора l (и выступает за его края):

\(~q = \varepsilon_0 \varepsilon S E_{\varepsilon} = \varepsilon_0 S \frac Ud <\varepsilon> \) .

Здесь введено обозначение средне- объемной диэлектрической проницаемости

\(~<\varepsilon> = \frac{\varepsilon}{1 + (\varepsilon - 1) \frac hd}\) ,

которая учитывает долю объема \(~\frac hd\), занятую плоским «пузырем».

Если теперь аналогично (1) рассмотреть процесс постепенного вдвигания этого «пузыря» в конденсатор с постоянной скоростью υ, то аналогично (2) можно найти ток в цепи:

\(~I = \frac{-\varepsilon_0 SU}{d} \frac{\upsilon}{l} \frac{\varepsilon(\varepsilon - 1) \frac hd}{1 + (\varepsilon - 1) \frac hd} \) .

Это выражение явно отличается от выражения (2) и совпадает с ним по модулю лишь в случае \(~\frac hd \to 1\), когда в конденсатор вдвигается газовый пузырь (см. падающую ветвь I(t) на рисунке 2).

Но пора вспомнить о пузырьках (см. левую часть рис.1), таких маленьких и круглых. Хотя каждый из них мал, их суммарный относительный объем может изменяться в широких пределах - от нуля (совсем нет газовой фазы) до единицы (все пузырьки слились в один газовый «снаряд»). Трудность описания такой среды усугубляется тем, что радиусы пузырьков могут быть различны, расстояния между ними случайны; сталкиваясь, они могут сливаться в более крупные или дробиться. А тут еще электрическое поле, которое поляризует их и заставляет дополнительно взаимодействовать, как и положено диполям. Кстати, а в каком поле находится каждый из них? Конечно, в поле, порожденном всеми зарядами - и свободными (на проводящих пластинах конденсатора), и связанными (поляризационными). И что же означают слова «пузырек находится в поле»? По-видимому, это значит, что он находится в поле, которое осталось бы, если бы пузырек был удален, - тогда в возникшей полости осталось бы поле, порожденное всеми оставшимися электрическими зарядами. С этой проблемой до нас мучились многие замечательные ученые: Ленгмюр, Клаузиус, Моссотти, Лоренц и др.

Все эти слова сказаны для того, чтобы обрисовать сложность проблемы. Конечно, ученый скажет так: давайте разобьем проблему на части. Сначала рассмотрим один сферический пузырек в безграничной жидкости, в которой достаточно далеко от пузырька (на «бесконечности») задано однородное поле E_ε. Потом предположим, что пузырьков много — N штук в кубическом метре, но все они одинаковы и находятся в среднем на одном и том же расстоянии друг от друга — порядка \(~\frac{1}{\sqrt[3] N}\) . И в результате найдем некоторую эффективную, или среднеобъемную, диэлектрическую проницаемость такой пузырьковой жидкости. Но даже эту скромную программу выполнить не очень легко, да это и не обязательно делать сейчас до конца - на основе двух рассмотренных выше примеров ясно, что результат будет зависеть от суммарного объема пузырьков, попавших в конденсатор, и что временная зависимость тока будет скорее всего иной, чем в упомянутых примерах.

А что еще мы не учли в этих случаях? Многое. Например, что диэлектрик втягивается в конденсатор. Это значит, что в первом случае «снарядного» течения газовый пузырь, попавший в конденсатор, будет сжиматься слева и справа двумя пробками жидкости. То же самое будет происходить и с пузырьковой жидкостью, если суммарный объем пузырьков будет непостоянен в пространстве, так что движение такой газожидкостной смеси в конденсаторе не будет равномерным.

Далее, в реальности существует сопротивление проводов и внутреннее сопротивление источника напряжения. Если их сумма равна r, то разность потенциалов между пластинами конденсатора запишется в виде

\(~\frac{q}{C(t)} = U - rI(t)\)

и уже не будет постоянной величиной. А если учесть еще индуктивность цепи L и соответствующую ей ЭДС самоиндукции \(~-L \frac{dI}{dt}\), то закон Кирхгофа даст страшное дифференциальное уравнение для заряда:

\(~L \frac{d^2q}{dt^2} + r \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C(t)} = U\) ,

которое описывает затухающие колебания. Решить это уравнение сложно, так как емкость конденсатора изменяется со временем (в этом-то и состоит суть метода), но можно ожидать, что на вышенарисованные кривые зависимости заряда и тока от времени наложатся «гармошки» колебаний (см рис.2, точечные кривые).

Кроме того, можно предложить и другую схему измерений. Например, зарядить конденсатор от какого-либо источника, затем отключить последний и сохранять на пластинах постоянный заряд (вот тут-то и пригодится пренебрежимо малая электропроводность жидкости). Тогда при прохождении через конденсатор жидкости с различным содержанием газа в пузырьках будет изменяться разность потенциалов между пластинами. Такие приборы существуют и называются емкостными датчиками.

Надо признаться, что такими способами мы найдем только суммарный относительный объем газовой фазы, а не концентрацию пузырьков. Не худо было бы определить как-нибудь и их средний размер. Нужно, следовательно, использовать еще какие-то физические явления и приборы (например, оптические)... Так что, прежде чем открыть бутылку нарзана, подумайте о числе пузырьков и законах физики. И - приятного аппетита!