Kvant. Центр масс

Черноуцан А.И. Что такое центр масс //Квант. — 1988. — № 3. — С. 39-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Если вы бросите камень под углом к горизонту, он, как известно, полетит по параболе. А если бросить длинную палку, да еще закрутить ее как следует? Конечно, разные точки палки движутся по-разному, описывая довольно сложные траектории, но полет палки в целом чем-то похож на полет камня: подъем, верхнее положение, спуск. Мало того, если пренебречь сопротивлением воздуха, то движение одной определенной точки палки ничем не будет отличаться от движения камня, свободно летящего по параболе. Эта точка — центр масс палки.

Центр масс существует у любого тела, более того — у любой системы тел. Он обладает замечательными свойствами, с некоторыми из них вас познакомит эта заметка.

Начнем с определения положения центра масс. Рассмотрим систему материальных точек с массами m₁,..., m_n. Как, зная их координаты, найти координаты этой «самой важной точки»? Ответ выглядит так:

\(~x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_n x_n}{m_1 + m_2 + \ldots+ m_n}\) . (1)

аналогично для координат y_cm и z_cm. Почему именно так определяется центр масс, станет ясно позднее, когда мы рассмотрим его динамические свойства. А пока освоимся с выражением (1), обсудив несколько связанных с ним вопросов.

а) В случае двух точек массами m₁ и m₂ выражение для x_cm имеет наглядный смысл: центр масс лежит между точками, ближе к той, у которой масса больше (рис. 1); отношение расстояний до точек обратно отношению их масс (проверьте это сами). Ясно, что в общем случае центр масс лежит где-то между точками системы, отражая распределение масс в пространстве.

Рис. 1

б) Все материальные точки «участвуют» в определении положения центра масс совершенно равноправно. Значит, если расположение масс симметрично относительно какой-то точки, то эта точка и будет центром масс. Например, центр масс однородного шара совпадает с его центром (то же для цилиндра, куба и т. п.).

в) И еще одно. Оказывается (попробуйте это доказать), положение центра масс не изменится, если мы, выделив какую-то часть рассматриваемой системы, сосредоточим всю массу этой части в одной точке — ее центре масс. Например, центр масс проволочного треугольника совпадает с центром масс системы трех точек, расположенных в серединах сторон (массы точек равны массам соответствующих сторон).

Перейдем теперь к самому главному — изучению физических свойств центра масс.

Пусть за малое время Δ’’t’’ точки переместятся на \(~\vec s_1, \ldots, \vec s_n\). Тогда, как видно из (1), перемещение центра масс будет равно

\(~\vec s_{cm} = \frac{m_1 \vec s_1 + m_2 \vec s_2 + \ldots + m_n \vec s_n}{m_1 + m_2 + \ldots+ m_n}\) .

(напомним, что проекции вектора перемещения на оси равны изменениям соответствующих координат). Разделив перемещение на Δ’’t’’, найдем скорость центра масс:

\(~\vec \upsilon_{cm} = \frac{m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 + \ldots + m_n \vec \upsilon_n}{m_1 + m_2 + \ldots+ m_n}\) . (2)

Обратите внимание — в числителе стоит не что иное, как полный импульс системы \(~\vec P\). Поэтому выражение (2) можно записать в виде

\(~\vec P = (m_1 + m_2 + \ldots+ m_n) \vec \upsilon_{cm}\) . (3)

Итак, первое свойство: если всю массу системы мысленно сосредоточить в центре масс, то импульс этой воображаемой точки будет равен полному импульсу системы. Что из этого следует? Мы знаем, например, что импульс замкнутой системы сохраняется. Значит, если система замкнута, скорость ее центра масс \(~\upsilon_{cm}\) остается постоянной.

Рассмотрим пример. Однородная тонкая палочка длиной l стоит вертикально на гладком полу (рис. 2). Ее отпускают, после чего она падает плашмя. Как узнать на сколько сдвинется нижний конец палочки к моменту падения? Одна палочка в поле тяготения не является замкнутой системой; но, раз на нее действуют только вертикальные силы, горизонтальная проекция ее импульса не меняется, в нашем случае — остается равной нулю. Значит, центр масс не смещается в горизонтальном направлении, т. е. центр палочки упадет в то место, где она стояла, а ее нижний конец сместится на \(~\frac{l}{2}\).

Рис. 2

Продолжим обсуждение свойств центра масс. Рассмотрим систему двух материальных точек массами m₁ и m₂. Пусть эта система не замкнута, т. е. на каждое тело действуют как внутренние, так и внешние силы. Исходя из второго закона Ньютона, запишем изменение импульса каждой точки за время Δt:

\(~\begin{matrix} m_1 \Delta \vec \upsilon_1 = (\vec F_1 + \vec F_{12}) \Delta t \\ m_2 \Delta \vec \upsilon_2 = (\vec F_2 + \vec F_{21}) \Delta t \end{matrix}\) ,

где \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) — внешние силы, \(~\vec F_{12}\) - сила, действующая на первую точку со стороны второй, \(~\vec F_{21}\) — соответственно, наоборот. По третьему закону Ньютона \(~\vec F_{12} = -~\vec F_{21}\), поэтому изменение импульса всей системы равно

\(~\Delta P = m_1 \Delta \vec \upsilon_1 + m_2 \Delta \vec \upsilon_2 = (\vec F_1 + \vec F_2) \Delta t \) ,

- импульс системы меняется только под действием внешних сил. С другой стороны, из выражения (3) следует, что

\(~\Delta P = (m_1 + m_2) \Delta \vec \upsilon_{cm}\) .

Отсюда для центра масс получаем соотношение, аналогичное второму закону Ньютона:

\(~(m_1 + m_2) \Delta \vec \upsilon_{cm} = (\vec F_1 + \vec F_2) \Delta t \) ,

которое можно переписать в более привычном виде:

\(~\vec F_1 + \vec F_2 = (m_1 + m_2) \vec a_{cm}\) . (4)

Это - самое главное: центр масс движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Обратите внимание — именно внешние силы. Внутренние силы системы вообще не влияют на движение ее центра масс. Вот почему движение этой точки во многих случаях оказывается достаточно простым.

Это свойство центра масс имеет многочисленные приложения. Например, теперь вам, наверное, ясно, почему середина палки, брошенной под углом к горизонту (о которой шла речь в самом начале заметки), движется, как и камень, по параболе. В отсутствие трения о воздух внешняя сила равна \(~m \vec g\), и, значит, ускорение центра масс, как и ускорение камня, равно \(~\vec g\), независимо от того, происходит ли вращение палки.

Разберем такой пример. Подъемный кран подает на строительную площадку тяжелую плиту. Чтобы развернуть эту плиту, двое рабочих толкают ее в точках A и В с одинаковой по модулю силой (рис. 3). Относительно какой точки начнет поворачиваться плита? Ручаемся, что многие из вас сразу же ответят так: конечно, относительно точки С, лежащей посередине между точками А и В. Не торопитесь! Правильный ответ: относительно точки О — центра масс плиты. Посмотрите на уравнение (4). Раз сумма внешних сил равна нулю, значит, равно нулю ускорение центра масс — он и будет оставаться в покое.

Рис. 3

В заключение — еще об одном «удобстве» центра масс. Как следует из уравнения (3), в системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс системы тел равен нулю. Ясно, что в такой системе движение должно выглядеть проще — ведь система как целое покоится. Особенно удобно использовать этот прием, если система замкнута. Ведь тогда ускорение центра масса равно нулю (см. уравнение (4)), и связанная с ним система отсчета является инерциальной. Например, центральный удар двух упругих шаров в такой системе выглядит так просто, что можно сразу угадать ответ: после удара шары разлетаются с такими же скоростями, с какими они вначале сближались. Подумайте сами, почему это так.