Kvant. Физика в ложке воды

Воробьев И. Физика в ложке воды //Квант. — 1994. — № 4. — С. 48-50.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Струя слабая и сильная

Если спрашивают: какая струя воды — слабая или сильная — быстрее заполнит ложку доверху, знайте, что в вопросе есть подвох. В очень сильной струе ложка вообще останется практически пустой, а слабая струя заполнит ложку даже чуть выше краев. Впрочем — обо всем по порядку.

Проведите опыт и вы убедитесь, что от слабой струи идет почти горизонтальная поверхность воды, которая заворачивается у края, вода по внешней поверхности стекает к середине ложки и снова образует струю (рис. 1). Нижняя струя не очень устойчива — она чувствительна к месту попадания исходной струи, к наклону и чистоте ложки. Может образоваться даже несколько струй с дальнейшим распадом их на капли.

Рис. 1

Сильная же струя от места попадания растекается тонким слоем, который продолжается за края ложки изящным обширным «сводом», обрамленным снизу «бахромой» струек и капель (рис. 2). Такое пленочное выплескивание в целом понятно. У падающей воды достаточно энергии, чтобы «взбежать» на край с ненулевой скоростью. А дальше в свободном полете сливающиеся водяные струйки образуют тончайшую изогнутую поверхность.

Рис. 2

Будем считать, что траектории отдельных участков воды независимы и каждая представляет собой параболу, т.е. движение происходит только под действием силы тяжести. Тогда нетрудно оценить горизонтальную скорость υ на линии вершины свода (рис. 3). За время полета t от края ложки до вершины смещение по горизонтали составляет \(~x = \upsilon t\), а по вертикали — \(~y = \frac{gt^2}{2}\). Отсюда, измерив х и y, находим скорость:

\(~\upsilon = x \sqrt{\frac{g}{2y}}.\)

Рис. 3

В одном из типичных измерений оказалось, что х = 10 см, y = 4,5 см и υ ≈ 1 м/с.

Чтобы выяснить, существенны или нет потери энергии при ударе и трении об «опору», скорость υ уместно сравнить со скоростью u в струе из крана на том же уровне, что и вершина параболы. По времени заполнения стакана (объемом около 200 мл) измерим ежесекундный объемный расход воды \(~q = \pi r^2 u\), где r — радиус струи. Тогда

\(~u = \frac{q}{\pi r^2}.\)

В упомянутом случае получилось u ≈ 1,4 м/с. Скорости не совпадают, но довольно близки. Значит, при грубых оценках потерями энергии можно пренебречь.

Теперь вернемся к слабой струе. И в этом случае при падении воды в ложку энергии заведомо хватает, чтобы вода «выскочила» из ложки, однако этого не происходит. Кто же гасит скорость почти полностью — ведь потери при ударе и трении об опору это не обеспечивают? Стоит повнимательнее рассмотреть переход от спокойного вытекания через край к пленочному выплескиванию.

Торможение о «стену»

Как показывает опыт, даже при осторожном при открывании крана выплескивание наступает неожиданно. Поэтому советуем не трогать кран при умеренной струе, а плавно опускать ложку вблизи дна раковины. Интересно, что результат сильно зависит от предыстории. Так, если вы добились выплескивания и подняли ложку на несколько сантиметров вверх,то вода продолжает «вылетать» за края ложки. Но как только вода заполнит ложку, для того чтобы образовался свод, мало вернуться в исходную точку — надо опустить ложку еще ниже.

Если ложка относительно мелкая, а вы достаточно внимательны, то можно добиться ситуации, когда от падающей струи почти по дну ложки идет впадина, заканчивающаяся крутой водяной стеной, за которой вода спокойна, ее поверхность горизонтальна и чуть превышает края ложки (рис. 4).

Рис. 4

Струя достаточна сильна, чтобы «сдуть» воду вблизи места встречи с ложкой, но недостаточно сильна, чтобы опустошить ложку полностью.

Ступенчатый переход от быстрого течения в тонком слое к почти неподвижной воде за крутым выступом удобнее наблюдать в случае более простого профиля дна, чем у ложки. Вполне годится, например, зеркало средних размеров с невысоким бортиком. В этом случае при усилении или ослаблении струи просто плавно меняется радиус впадины — области быстрого растекания. Высота водяной стены Н почти совпадает с высотой бортика и много больше толщины h набегающего тонкого слоя быстрой воды перед выступом (рис. 5). Ее скорость υ гасится в узкой области крутого подъема (где можно заметить бурление воды).

Рис. 5

Рассмотрим объем, ограниченный вертикальными торцами Hl и hl, и применим к нему второй закон Ньютона. За единицу времени сюда со скоростью υ входит масса воды ρυhl (где ρ — плотность), а на некотором расстоянии за стеной ее скорость падает почти до нуля. Таким образом, какие-то силы приводят к ежесекундному уменьшению импульса на величину ρυ²hl. Какие же?

Оказывается, это силы давления со стороны почти неподвижной воды. (Трением о дно мы пренебрегли из-за малой протяженности по горизонтали области подъема. Силы, возникающие в бурлящей на ступеньке воде, являются внутренними и на суммарный импульс не влияют. Не существенны и силы поверхностного натяжения.)

На глубине Н давление превышает атмосферное на ρgH, но для расчета силы нужно взять среднее избыточное давление, тогда

\(~F = \frac{\rho gH}{2} Hl = \frac{\rho gH^2l}{2}.\)

Эта тормозящая сила и равна ежесекундному уменьшению импульса. Отсюда получаем важнейшее для нас соотношение

\(~\upsilon^2 h = \frac{gH^2}{2}, \qquad (*)\)

которое можно рассматривать как условие неподвижности границы крутого подъема. А что произойдет, если сильнее приоткрыть кран или опустить горизонтальную опору? Тогда величина υ²h увеличится и превзойдет \(~\frac{gH^2}{2}\), водяная стена поддастся под напором быстрой воды, и ступенька начнет двигаться по направлению течения. Скорость ступеньки можно рассчитать, исходя опять же из второго закона Ньютона и сохранения массы воды. Если же водяная стена своим давлением превосходит напор быстрой воды\[~\frac{gH^2}{2} > \upsilon^2 h\], то ступенька побежит навстречу течению, и будет расширяться область почти остановившейся воды. (Так, например, подъем морской воды во время прилива «запирает» устье реки и вызывает появление крутой ступеньки, бегущей против течения реки, — так называемый бор.)

Радиус растекания

В наших условиях соотношение (*) не очень удобно для количественной опытной проверки: толщина h слишком мала, трудно, измерить и скорость воды υ. Поэтому изберем обходной, путь. Попытаемся поточнее измерить диаметр струи 2r в самом узком месте — «шейке» — на высоте порядка Н от горизонтальной опоры и радиус кругового выступа R (рис.6). Будем также считать, что в области плавного растекания трение и небольшой перепад высот не повлияют на скорость воды.

Рис. 6

Одно и то же количество воды проходит через «шейку» и через цилиндрическую границу с выступом, высота которой h, а длина окружности 2πR. Поэтому

\(~q = \pi r^2 \upsilon = 2 \pi Rh \upsilon .\)

Отсюда (по объемном расходу) находим скорость:

\(~\upsilon = \frac{q}{\pi r^2}\)

и толщину слоя растекающейся воды на расстоянии R от оси струи:

\(~h = \frac{r^2}{2R}.\)

Подставляем эти значения в соотношение (*) и получаем радиус растекания:

\(~R = \frac 1g \left( \frac{q}{\pi rH} \right)^2.\)

По нашим измерениям при q = 52 мл/с, r = 3,5 мм и Н = 6 мм рассчитанное значение R оказалось равным 9 см, а непосредственно измеренное — 6 см. Расхождение примерно в полтора раза. Как нам представляется, это различие связано, в основном, с допущением постоянства скорости на сравнительно протяженном пути растекания в тонком слое. Если посчитать, например, что уменьшение скорости составляет 40%, то с такой поправкой получается очень неплохое количественное согласие. Надеемся, ваши опыты это тоже подтвердят.

Как ни интересно происходящее в ложке и как ни поучительно разобраться в тонкостях, связанных с влиянием профиля ее дна, «родственные» явления за краями ложки еще интереснее. Вот — лишь один пример. На быстрых горных речках неровности дна могут приводить к почти полной остановке и вздыбливанию воды. Для водного туриста встреча с таким валом очень опасна как из-за его крутизны, так и из-за резкой смены скорости течения.