Kvant. Уравнение волны

Асламазов Л.Г. Уравнение волны //Квант. — 1984. — № 11. — С. 27-28.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Волна, как известно, это процесс распространения колебаний в пространстве. Чтобы волна в среде могла распространяться, точки среды должны быть связаны между собой силами, способными вызвать колебания, то есть силами упругости. На рисунке 1 показан ряд таких связанных между собой точек. Если одна из точек, например точка O, начинает колебаться, то ее колебания передаются в направлении r.

Рис. 1

Пусть точка O колеблется вдоль оси X по закону

\(~x = x_m \sin \omega \cdot t\) . (1)

Здесь время t отсчитывается от момента, когда точка О находилась в положении равновесия. Ее колебания передаются другим точкам не мгновенно, а с некоторой скоростью υ. Это значит, что за единицу времени колебание доходит до точки в ряду, расположенной от точки О на расстоянии, численно равном υ. Расстояние же, на которое колебание распространяется за время, равное одному периоду T колебаний, называется длиной волны λ («Физика 10», с. 81). Отсюда следует, что

\(~\lambda = \upsilon \cdot T\) или, так как \(~T = \frac{1}{\nu}\), то \(~\upsilon = \lambda \cdot \nu\). (1)

Любая точка в нашем ряду (см. рис. 1), как только до нее дойдет волна, начнет колебаться с той же частотой, что и точка О, то есть будет повторять эти колебания. Но повторять с некоторым запозданием — ведь до точки, находящейся от О на расстоянии r, колебание дойдет через промежуток времени, равный \(~\frac{r}{\upsilon}\). Поэтому для координаты х точки на расстоянии r мы должны написать

\(~x = x_m \sin \omega \cdot \left( t - \frac{r}{\upsilon} \right)\) . (2)

Уравнение (2) называется уравнением волны. Оно позволяет найти смещение х от положения равновесия любой точки (находящейся на любом расстоянии r) в любой момент времени. Для данного момента времени оно дает как бы фотографию положений всех точек ряда относительно оси X. Уравнение волны показывает, что все точки действительно совершают одинаковые колебания (все колеблются вдоль оси X, и у всех одинаковые амплитуда и частота колебаний). Неодинаковы только фазы колебаний — разность фаз колебаний двух точек, расстояние между которыми равно Δr, составляет \(~\frac{\omega \cdot \Delta r}{\upsilon}\).

Иногда уравнение волны удобнее представить несколько иначе. Перепишем уравнение (2) в виде

\(~x = x_m \sin \left( \omega \cdot t - \frac{\omega \cdot r}{\upsilon} \right)\) .

Подставим во второй член в скобках вместо скорости волны υ равную ей величину λν, а вместо ω напишем 2πν. Тогда получим

\(~x = x_m \sin \left( \omega \cdot t - \frac{2 \pi r}{\lambda} \right)\) . (3)

Из этого выражения видно, что координата х любой точки на расстоянии r от источника волны зависит от величины \(~\frac{r}{\lambda}\), то есть от числа длин волн, укладывающихся на расстоянии r. Если, например, r = λ, то отставание по фазе будет равно 2π, а это значит, что фаза колебаний этой точки будет такая же, как и точки О. Точно так же, если r = 2λ, 3λ и т. д., то сдвиг фазы будет равен 4π, 6π и т. д., то есть и в этом случае фазы будут одинаковыми. Таким образом, точки волны, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, двум длинам волн, вообще целому числу длин волн, колеблются в одинаковых фазах.

Уравнение волны (3) позволяет легко получить условия максимумов и минимумов при интерференции волн (о которых говорится в «Физике 10» на с. 94). Напомним, что вопрос об интерференции возникает тогда, когда в некоторую точку пространства приходят две волны, каждая из которых приносит в эту точку колебания. Поэтому точка, где «встретились» две волны, участвует в двух колебаниях. Результат же сложения двух колебаний зависит от разности фаз складывающихся колебаний.

Допустим, что в некоторую точку С пришли две волны, источники которых — точки А и В — отстоят от С на расстояния r₁ и r₂ (рис. 2). Тогда в точке С складываются два колебания, происходящие вдоль одной оси:

\(~\begin{matrix} x_1 = x_{m1} \sin \left( \omega \cdot t - \frac{2 \pi r_1}{\lambda} \right) \\ x_2 = x_{m2} \sin \left( \omega \cdot t - \frac{2 \pi r_2}{\lambda} \right)\end{matrix}\) .

Рис. 2

Разность фаз этих колебаний равна 2л

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot (r_1 - r_2)\) .

Поэтому условие усиления (максимумов) имеет вид

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot (r_1 - r_2) = 2 \pi k\) ,

где k = 0, 1, 2, ..., откуда

\(~r_1 - r_2 = k \cdot \lambda = 2k \cdot \frac{\lambda}{2}\)

— колебания будут усилены (то есть амплитуда сложного .колебания будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний), если разность хода r₁ — r₂ волн до места «встречи» равна четному числу полуволн. Соответственно условие минимумов —

\(~\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot (r_1 - r_2) = (2k + 1) \pi\) ,

или

\(~r_1 - r_2 = (2k + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}\)

— колебания будут ослаблены (результирующая амплитуда будет равна разности амплитуд колебаний в двух волнах), если разность хода волн равна нечетному числу полуволн.