Kvant. Ужасы резонанса

Стасенко А.Л. Ужасы резонанса //Квант. — 1997. — № 3. — С. 37-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

«Глас вопиющего в пустыне: приготовьте путь Господу, прямым сделайте в степи стези Богу нашему; всякий дол да наполнится, и всякая гора и холм да понизятся, кривизны выпрямятся, и неровные пути сделаются гладкими» (Исаия 40:3,4). Ну разве не похоже это на призыв сделать грандиозный аэродром для горизонтального приземления летательного аппарата? И все-таки, как бы ни старались строители, абсолютно ровной взлетно-посадочной полосы сделать не удается. Она всегда получается слегка волнистой. Значит, при быстром движении по ней летательный аппарат может «подпрыгивать». Вот эту ситуацию и рассмотрим.

Рис. 1

Пусть летательный аппарат массой m (и, значит, силой тяжести mg) движется с постоянной скоростью υ на двух колесах, которые не отрываются от твердого покрытия (рис.1). Пусть каждое колесо снабжено пружиной жесткостью k, которая в недеформированном состоянии имеет длину Н. Если в данный момент времени положение центра масс системы над горизонталью OX определяется ординатой y, а высота неровности дороги h, то деформация пружины равна Δу = y — Н - h. Тогда вдоль пружины возникает упругая сила

\(~F = -k \Delta y = -k(y - H - h)\) .

Здесь знак «минус» указывает на то, что направление силы упругости, действующей на летательный аппарат, противоположно знаку деформации пружины Δу: если пружина растянута, сила направлена вниз, если сжата — вверх; поэтому она является возвращающей (в положение равновесия) силой. Запишем уравнение второго закона Ньютона, описывающего движение экипажа в вертикальном направлении (в проекциях на это направление):

\(~ma_y = -mg + 2F\) .

(Двойка в правой части учитывает, что колеса-то два.) Подставим сюда выражение для упругой силы:

\(~ma_y = -mg -2k(y - H - h)\) .

Тут сразу виден частный случай равновесия, когда экипаж стоит себе без движения на дороге (пусть, для простоты, в этой точке h = 0). Тогда его ускорение a_y = 0, и из последнего уравнения получаем статическую деформацию пружины:

\(~y_0 - H = -\frac{mg}{2k}\) .

Вполне понятно, почему она отрицательна: пружина ведь сжата.

Далее удобно будет отсчитывать вертикальное перемещение центра масс аппарата относительно найденного положения равновесия \(~y_0 = H - \frac{mg}{2k}\). Для этого введем смещение относительно положения равновесия:

\(~Y = y - y_0\) .

Тогда уравнение движения упростится (мы заодно разделим обе части на массу m) и примет вид

\(~a_y = -\frac{2k}{m} (Y - h)\) .

Сделаем еще несколько преобразований.

1. Учтем, что ускорение является второй производной от перемещения по времени:

   \(~a_y = Y''\) .

2. Примем, что неровность посадочной полосы есть гармоническая функция с пространственным (вдоль X) периодом λ (длиной волны) и амплитудой h₀:

   \(~h = h_0 \sin \left( 2 \pi \frac{x}{\lambda}\right)\) .

3. Вспомним, что при постоянной горизонтальной скорости

   \(~x = \upsilon t\) .

4. Обозначим набор положительных величин так:

   \(~\frac{2k}{m} = \omega^2_0\) .

Теперь уравнение движения можно записать в виде

\(~Y'' + \omega^2_0 Y = \omega^2_0 h_0 \sin \left( 2 \pi \frac{\upsilon}{\lambda} t\right)\) .

Если бы в правой части последнего уравнения стоял ноль, то всякий здравомыслящий читатель узнал бы в нем уравнение свободных гармонических колебаний с частотой \(~\omega_0 = \sqrt{\frac{2k}{m}}\). Но у нас справа не ноль, а гармоническая функция с амплитудой ω²₀h₀ и периодом \(~T = \frac{\lambda}{\upsilon}\) или частотой \(~\Omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi \upsilon}{\lambda}\), которые задаются внешними условиями — длиной волны λ и максимальным «размахом» неровностей h₀. Поэтому возникающие колебания называются вынужденными.

Найдем отклик колебательной системы (движущегося аппарата с двумя пружинами) на внешнее возмущение, вызванное неровностями дороги. Будем искать решение в виде тоже гармонических колебаний с частотой вынуждающей силы Ω:

\(~Y = Y_0 \sin \Omega t\) .

После двукратного дифференцирования (\(~Y'' = -\Omega^2 Y_0 \sin \Omega t\)), подстановки в уравнение движения и сокращения на sin Ωt получим уравнение для искомой амплитуды Y₀:

\(~Y_0(-\Omega^2 + \omega^2_0) = \omega^2_0 h\) .

Рис. 2

На рисунке 2,с качественно изображена зависимость амплитуды колебаний Y₀ от частоты внешнего возбуждения Ω. Видно, что если Ω стремится к нулю (когда скорость движения мала или аэродром ровен, \(~\lambda \to \infty\)), Y₀ стремится к h₀. Это понятно: при малой скорости движения или очень большой длине волны неровностей движущийся аппарат просто отслеживает их профиль. Но если длина волны неровностей аэродрома и скорость движения окажутся такими, что вынужденная частота \(~\Omega = \frac{2 \pi \upsilon}{\lambda}\) совпадет с собственной частотой \(~\omega_0 = \sqrt{\frac{2k}{m}}\), произойдет нечто ужасное: амплитуда колебаний станет неограниченно большой (\(~Y_0 \to \infty\)) и может произойти разрушение системы. Это так называемый случай резонанса. Далее, если Ω > ω₀, значение Y₀ становится отрицательным (см. штриховую кривую на рисунке 2,а), но знак «минус» можно спрятать в аргумент синуса:

\(~-|Y_0| \sin \Omega t = |Y_0| \sin (\Omega t + \pi)\) .

Иными словами можно сказать, что фаза колебаний φ изменяется на π в окрестности частоты вынуждающей силы Ω = ω₀ (рис.2,б).

Конечно, инженеры и ученые делают все, чтобы избежать ужасов резонанса (т.е. \(~|Y_0| \to \infty\)). Прежде всего, можно ввести в колебательную систему так называемое демпфирование (если не хватает всегда присутствующего стока энергии — трения) — например, цилиндр с маслом и поршнем, соединенным с пружиной. Тогда в уравнение движения нужно будет ввести соответствующую диссипативную силу (приводящую к диссипации механической энергии, т.е. ее рассеянию, переходу в тепло), и |Y₀| не будет уходить в бесконечность (см. точечную кривую на рисунке 2). Далее, волнистость аэродрома совсем не обязательно описывается единственной гармонической функцией (с постоянной длиной волны λ). Наконец, кто же ездит по аэродрому с постоянной скоростью? Любой летательный аппарат стремится поскорее или разогнаться перед взлетом, или затормозиться при посадке.

А вот для наземных экипажей (например, железнодорожного вагона) и λ (длина рельса), и υ (скорость движения) постоянны, и вы можете почувствовать наступление резонанса: вагон начинает галопировать, либо прыгая строго вертикально, либо совершая вращательные («клюющие») движения вокруг поперечной горизонтальной оси (дифферент) или вокруг продольной горизонтальной оси (боковая качка). Но у вагона много колес и пружин, так что его движение описывается гораздо сложнее, чем рассмотренный нами случай.