Kvant. Такие простые качели

Хаджи П., Глазова Л., Личман В. Такие простые качели //Квант. — 1999. — № 1. — С. 30-31.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Кто же не знает с детства качелей?! Самое простое - качаться, ухватившись за веревку (в физике это называется: грузик массой m на невесомой нерастяжимой нити длиной l совершает колебания). Но одному скучно. А вот если у вас есть друг, легкая доска и бревно,..

Рассмотрим такую модель качелей. Пусть жесткий невесомый стержень (легкая доска) длиной 2L расположен на полуцилиндре (бревне) с радиусом R перпендикулярно его образующей. К обоим концам стрежня прикреплены точечные грузики массой тп каждый (изобретательные, но очень маленькие мальчики). Стержень с грузиками может совершать малые колебания в вертикальной плоскости, перекатываясь без проскальзывания по поверхности полуцилиндра (см. рисунок). Определим частоту этих колебаний.

В положении равновесия, когда стержень располагается горизонтально, моменты сил тяжести грузиков относительно оси вращения А уравновешены. При отклонении от положения равновесия плечо силы тяжести правого грузика относительно новой оси вращения В увеличивается, а левого - уменьшается. В результате вращающие моменты этих сил не уравновешивают друг друга, и возникает нескомпенсированный вращающий момент, закручивающий стержень по часовой стрелке. Пройдя по инерции положение равновесия, стержень начинает вращаться в обратную сторону, т.е. против часовой стрелки, перекатываясь без проскальзывания по поверхности полуцилиндра, снова возвращается в положение равновесия, затем отклоняется в другую сторону и т.д. Возникают периодические колебания стержня с грузиками, которые характеризуются конкретной частотой (периодом) колебаний. Для определения этой частоты воспользуемся законом сохранения энергии.

Отклоним стержень от положения равновесия на небольшой угол φ, перекатывая его по поверхности полуцилиндра от точки А до точки В. Перпендикуляр ОВ к стержню в этом случае также поворачивается относительно своего первоначальнрго положения на угол φ. Будем говорить о малых колебаниях. Критерием малости здесь является неравенство φ << 1 (разумеется, если угол выражать в радианах).

Найдем потенциальную энергию грузиков относительно равновесного положения.

При показанном на рисунке отклонении стержня левый грузик опускается на высоту h_M, а правый поднимается на высоту h_N, где

\(~\begin{matrix} h_M = BM \sin \varphi + AC \\ h_N = BN \sin \varphi - AC \end{matrix}\) .

Из рисунка видно, что

\(~AC = R - R \cos \varphi = 2R sin^2 \frac{\varphi}{2} = \frac{R \varphi^2}{2}\) .

Длина участка стержня от точки В до точки N равна первоначальной длине L плюс длина дуги окружности АВ, вдоль которой перекатывается стержень при колебаниях:

\(~BN = L + R \varphi\) .

Соответственно,

\(~BM = L - R \varphi\) .

Тогда высоты h_N и h_M можно выразить формулами

\(~\begin{matrix} h_N = (L + R \varphi) \varphi - \frac{R \varphi^2}{2} = (L + \frac{R \varphi}{2}) \varphi \\ h_M = (L - R \varphi) \varphi + \frac{R \varphi^2}{2} = (L - \frac{R \varphi}{2}) \varphi \end{matrix}\) .

Следовательно, потенциальная энергия обоих грузиков при повороте стержня на угол φ относительно положения равновесия равна

\(~E_p = mgh_N - mgh_M = mgR \varphi^2\) .

Если отклоненный от положения равновесия стержень предоставить самому себе, то благодаря возвращающему моменту сил он снова придет в положение равновесия, при этом грузики будут иметь некоторую скорость. Определим кинетическую энергию системы при прохождении ею положения равновесия.

Пусть стержень в этот момент вращается вокруг точки А с угловой скоростью Ω. Поскольку стержень относительно оси вращения располагается симметрично, линейные скорости υ грузиков одинаковы и равны \(~\upsilon = \Omega L\), а кинетическая энергия обоих грузиков определяется выражением

\(~E_k = 2 \cdot \frac{m \upsilon^2}{2} = m \Omega^2 L^2\) .

При качаниях стержня, имеющих гармонический характер, максимальная угловая скорость стержня Ω выражается формулой \(~\Omega = \omega \varphi\), где ω — частота колебаний стержня. Поэтому

\(~E_k = m \omega^2 L^2 \varphi^2\) .

Полагая, что потенциальная энергия, запасенная стержнем при отклонении от положения равновесия, превращается полностью в кинетическую энергию, которую имеют грузики при прохождении ими положения равновесия (закон сохранения энергии) , для частоты колебаний стержня с грузиками получаем следующее выражение:

\(~\omega = \frac{\sqrt{gR}}{L}\) .

Отсюда следует, что частота колебаний наших качелей пропорциональна корню квадратному из радиуса полуцилиндра и обратно пропорциональна длине стержня.

В частности, если радиус полуцилиндра равен нулю, частота колебаний также равна нулю. Действительно, в этом случае полуцилиндр представляет собой просто ось, на которую насажен стержень с грузиками одной и той же массы. Такая система находится в состоянии безразличного равновесия — поворот стержня в этих условиях на любой угол не приводит к изменению потенциальной энергии системы, и колебания возникнуть не могут.