Kvant. С полюса — на полюс

Стасенко А.Л. С полюса — на полюс //Квант. — 2007. — № 3. — С. 31,34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

— Her никаких сомнений! — воскликнул Гленарван.
— ...мы нашли ключ к решению почти всей загадки, и единственным неизвестным теперь является долгота...
Жюль Верн

Как известно, дети капитана Гранта решили пройти, проплыть, проскакать вокруг Земли вдоль тридцать седьмой параллели южной широты (θ = -37°). А вот был случай, когда Общество по распространению пингвинов (Penguin Distribution Society) распорядилось, наоборот, вдоль меридиана доставить партию своих любимых существ с южного полюса на северный «в течение сорока восьми часов» (как полагается при всяком серьезном распоряжении). Конечно, такое требование можно было выполнить только при помощи летательного аппарата. Кстати, требуемая при этом скорость полета υ_θ не так уж велика - разделим длину меридиана (или полуокружности Земли) на время, равное двум суткам:

\(~\upsilon_{\theta} = \frac{\pi R}{2T} = \frac{3,14 \cdot 6400 \cdot 10^3}{2 \cdot 24 \cdot 3600}\) = 116 м/с = 420 км/ч.

Заметим, что в сказанном выше уже содержится намек на систему координат (рис.1): географическая широта θ отсчитывается от экватора (где θ_e = 0) и достигает на полюсах значений θ_N = 90° и θ_S = -90°. А индекс «θ» у скорости указывает на то, что эта скорость направлена строго по меридиану, вдоль которого изменяется только угол θ, а долгота φ остается постоянной. Это значит, что нет составляющей скорости, направленной вдоль параллели, т.е. υ_θ = 0. Таким образом, первый самолет все время находится в плоскости, вращающейся вместе с Землей.

Рис. 1

Но почему «первый»? А дело в том, что потребовалось переместить и вторую партию пингвинов с южного на северный полюс за те же 48 часов, но в плоскости, неподвижной относительно звезд, — в качестве контрольного образца: мало ли что думают пингвины о звездах и о Солнце!

Поскольку Земля вращается «с запада на восток», относительно Земли второй самолет должен все время лететь на запад, так что по прибытии на другой полюс угол φ изменится на 2 · 360° = 720° (вспомним - за двое суток). Но это значит, что на второй самолет атмосфера (которая вращается вместе с Землей) будет «дуть» все сильнее по мере приближения к экватору, где линейная скорость достигает значения

\(~\upsilon_{\varphi} = \upsilon_e = \frac{2 \pi R}{T} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 6400 \cdot 10^3}{\cdot 24 \cdot 3600}\) ≈ 460 м/с

- в полтора раза больше скорости звука! Тут уж не обойтись без истребителя или сверхзвукового авиалайнера.

Итак, два самолета одновременно отправились с южного полюса на северный вдоль, например, нулевого меридиана, где φ = 0 (что может быть фундаментальнее нуля!). Взглянув на карту или глобус, можно сразу предсказать, границы каких стран пересечет первый самолет. А вот штурману второго самолета придется подумать о предстоящей траектории полета, чтобы сообщить об этом заранее наземным диспетчерам (во избежание международных конфликтов). Подумаем и мы.

Рис. 2

Если меридиональная скорость самолета υ_θ постоянна, то широта его местонахождения пропорциональна времени (рис. 2,а):

\(~\theta = -90^{\circ} + \frac{\upsilon_{\theta} t}{R} = 90^{\circ} \left( \frac{2t}{t_N} - 1 \right)\), (*)

где t_N = 2 суток - время прибытия на северный полюс. Можно убедиться, что при t = 0 имеем θ_S = -90° , а при t = t_N получаем θ_N = +90°. Естественно, что через сутки оба самолета должны одновременно пересечь экватор (θ_e = 0 ) в одной и той же точке (тут важно не столкнуться), но под разными углами: первый под углом 90°, а второй под углом \(~\operatorname{arctg} \frac{\upsilon_{\theta}}{\upsilon_e} = \operatorname{arctg} \frac 14 = 14^{\circ}\). Так что если стартовать с южного полюса вдоль нулевого меридиана, то указанное событие произойдет над Гвинейским заливом (см. карту или глобус). И при этом скорость второго самолета относительно Земли будет равна

\(~\sqrt{\upsilon^2_e + \upsilon^2_{\theta}} = \upsilon_e \sqrt{1 + \left(\frac{\upsilon_{\theta}}{\upsilon_e} \right)^2} = \upsilon_e \sqrt{1 + \frac{1}{16}}\).

А для любого значения широты, как легко показать, скорость второго самолета равна

\(~\upsilon = \upsilon_{\theta} \sqrt{1 + 16 \cos^2 \theta} = \upsilon_e \sqrt{\cos^2 \theta + \frac{1}{16}}\).

Но чтобы найти траекторию полета, нужно связать долготу с широтой, т.е. установить зависимость θ(φ), или, как говорят ученые, «исключить время» в формуле (*). В данном случае это очень просто: Земля вращается с постоянной угловой скоростью Ω, значит, угол φ должен быть пропорционален времени:

\(~\varphi = \Omega t = \frac{\pi}{T} t\) .

Найдем отсюда t и подставим в формулу (*):

\(~\theta = 90^{\circ} \left( \frac{2T}{t_N} \frac{\varphi}{2 \pi} - 1 \right) = 90^{\circ} \left( \frac{\varphi}{360^{\circ}} - 1 \right) = \frac{\varphi}{4} - 90^{\circ}\).

Мы учли здесь, что полное время полета равно двум суткам, т.е. t_N = 2T, а 2π = 180°. А можно, наоборот, φ выразить через θ (рис. 2,б) - кому что нравится:

\(~\varphi = 360^{\circ} + 4\theta\).

Осталось взять карту или глобус, нанести на них (карандашом, на всякий случай) траектории обоих самолетов и срочно сообщить в соответствующие диспетчерские службы о своих намерениях - не только о координатах θ и φ, но и о времени пролета t над их странами (из формулы (*)).

Таким образом, траектория второго самолета в системе координат, связанной с Землей, похожа на «спираль, навитую на сферу». Любопытно, что в прямоугольной картографической проекции Меркатора (об этом замечательном ученом рассказывалось в «Кванте» №6 за 2006 г.) эта прямая пропорциональность между широтой и долготой давала бы прямую линию, что очень удобно для навигации.

И тут штурман второго самолета подумал: интересно, над какими странами мы пролетели бы, если бы (в нарушение инструкции) все время держали постоянную скорость полета относительно Земли? Но решение этой задачи он предоставил бортовому компьютеру, а мы - читателю.