Kvant. Столкновение

Гросберг А. Повесть о том, как столкнулись два шара, или что такое малый параметр //Квант. — 1993. — № 9. — С. 12-19.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В этой статье мы будем обсуждать столкновение упругих шаров — вполне, казалось бы, классическую школьную задачу. Но цель наша — на этом знакомом примере показать, как рассуждают физики-теоретики, как они делают качественные оценки. В частности, мы познакомимся с очень важным инструментом для оценок, любимой игрушкой теоретиков — малым параметром.

Позвольте начать с примеров. Со времен Коперника все знают, что планеты Солнечной системы обращаются вокруг Солнца по замкнутым траекториям — орбитам. Однако само понятие траектории имеет определенный смысл только в той мере, в какой можно пренебречь размером планеты r по сравнению с характерным расстоянием от планеты до Солнца R. В Солнечной системе отношение \(~\frac rR\) действительно весьма мало: от примерно 10^-4 для Юпитера до 5·10^-7 для Плутона. Поэтому представление о планетах-точках полностью оправданно. Однако в других системах обращающихся небесных тел, например двойных звездах, отношение \(~\frac rR\) может быть и не мало, и в этом случае недостаточно говорить только о вращении пары тел (звезд) вокруг их общего центра масс, принципиально важное значение приобретают совсем новые явления (типа приливных деформаций тел и соответствующего трения).

Физик напишет, что в Солнечной системе имеет место неравенство \(~\frac rR \ll 1\). Значок \(~\ll\) читается как «гораздо меньше» или «много меньше»; соответственно, \(~\gg\) означает «много больше». Такие неравенства называют обычно сильными.

Второй пример — совсем простой, он относится к обыкновенной грозе. Известный способ определения расстояния от наблюдателя до очага грозы связан с качественно правильным представлением о том, что молния наблюдается одновременно с грозовым разрядом, а гром слышен с задержкой, пропорциональной искомому расстоянию. Само же это представление основано на неравенстве \(~c \gg s\), где c — скорость света, a, s — скорость звука в воздухе. Действительно, \(~\frac cs \sim 10^6 \gg 1\). (Значок ~ читается в таком контексте «того же порядка» и означает «не на-много больше и не намного меньше».)

Наш третий пример снова из астрономии. Известно, что Кеплеру было очень трудно обнаружить факт эллиптической формы планетных орбит, потому что они мало вытянуты, близки к круговым. Это значит, что отношение длинной оси эллипса a к короткой b близко к единице.

Во всех примерах качественная картина явления основана на специфических значениях параметров\[~\frac rR\] мало, \(~\frac cs\) велико, \(~\frac ab\) близко к единице. Для удобства и единообразия в таких случаях говорят обычно о малых параметрах ε. В наших примерах малые параметры такие\[~\frac rR \ll 1\], \(~\frac sc \ll 1\), \(~\frac ab - 1 \ll 1\) .

Важно понимать, что все упомянутые параметры — безразмерные. Малость численного значения размерной величины характеризует не столько Природу, сколько систему единиц. Например, размер атома в сантиметрах выражается очень маленьким числом 10^-8. Но это свидетельствует только о том, что сантиметры — не очень удобная единица для атомной физики; в более подходящих единицах — ангстремах — размер атома изображается числом порядка единицы. В то же время параметры \(~\frac rR\), \(~\frac sc\), \(~\frac ab\) и т.п. безразмерны, т.е. их численные значения не зависят от выбранной системы единиц. Поэтому малость безразмерного параметра всегда отражает важное внутреннее свойство изучаемого явления. Больше того, когда физик приступает к изучению какого-нибудь явления или процесса, он обычно начинает с поисков каких-то безразмерных малых параметров, характеризующих систему. Именно это позволяет найти разумные качественные модели изучаемого предмета.

Сказанное, конечно, слишком абстрактно и мало понятно. Нужно разобраться. Прежде всего: что все-таки значит, что \(~\varepsilon \ll 1\)? Наверное, можно сказать, что \(~10^{-6} \ll 1\). А \(~\frac{1}{10}\)? А \(~\frac 12\)? А \(~\frac 23\)? Позвольте оставить пока эти вопросы без ответов, я постараюсь ответить на них чуть позже.

Классическая теория абсолютно упругого удара

Рассмотрим лобовой удар двух одинаковых шаров, скажем бильярдных. Лобовой — это означает, что до и после соударения оба тела движутся вдоль одной и той же прямой. Классическая теория лобового удара известна, я думаю, каждому школьнику, и основана она на представлении об абсолютной упругости. (Сразу скажу, что всякие «абсолютные» и «идеальные» означают обычно, что какой-то параметр не просто мал, а предполагается равным нулю.) Напомню, что абсолютно упругим называют такой удар, в результате которого не меняются внутренние состояния сталкивающихся тел и, соответственно, их внутренние энергии. Тогда наряду с суммарным импульсом тел сохраняется также их суммарная кинетическая энергия. Эти два закона сохранения и позволяют однозначно определить скорости тел после лобового удара по известным значениям скоростей до него. В дальнейшем мы будем рассматривать одинаковые шары, налетающие друг на друга с одинаковыми скоростями υ. Если бы мы могли считать удар абсолютно упругим, то шары просто разлетелись бы с такими же точно скоростями. А как обстоит дело в действительности?

Отклонения от абсолютной упругости

Абсолютно упругий удар — идеал, в реальной жизни идеалы не встречаются. При реальном ударе некоторая часть δW начальной кинетической энергии \(~W = m \upsilon^2\) двух тел переходит в тепло и теряется. Следовательно, упругость удара можно было бы считать абсолютной при \(~\frac{\delta W}{W} = 0\), а при \(~\frac{\delta W}{W} \ll 1\) разумно надеяться, что удар можно считать абсолютно упругим приближенно.

Оценить потерю энергии при ударе δW — довольно хлопотное дело. Если теория абсолютно упругого удара была вполне ясна уже Ньютону (хотя в его время еще не сформировались четко понятия энергии и импульса), то более полную теорию удара построил только Генрих Герц (тот самый немецкий физик, который первым наблюдал электромагнитные волны и в честь которого названа единица измерения частоты).

Качественную картину удара представить себе несложно: при столкновении шары сначала приходят в соприкосновение в одной точке, затем, продолжая по инерции сближаться, они все больше деформируют друг друга, соответствующая упругая сила растет и сообщает каждому из шаров растущее по абсолютной величине отрицательное ускорение — и так до остановки; после этого скорости меняют знаки, т.е. шары начинают расходиться, упругие деформации их уменьшаются, и в конце концов тела разлетаются в разные стороны. А какова же причина потерь энергии? Если материал, из которого изготовлены шары, не является абсолютно упругим, то при его деформации происходит выделение тепла, т.е. уменьшается механическая энергия. Но оказывается, это еще не все. Даже если бы шары были сделаны из абсолютно упругого материала, удар все равно не был бы абсолютно упругим. Почему? Каким образом, если не в виде тепла, может еще теряться энергия? Оказывается, в виде колебаний, которые происходят внутри шаров после их разлета. Или, более точно, в виде звуковых волн, которые возбуждаются при ударе и продолжают бегать по каждому шару, отражаясь от его границ, даже когда сам удар закончится.

Разобраться в сложной картине нестационарной (меняющейся) упругой деформации очень трудно. На помощь нам придет то очевидное обстоятельство, что скорости шаров обычно гораздо меньше скорости звука s (имеется в виду, конечно, скорость звука в материале, из которого сделаны шары). Можно предположить, что параметр \(~\frac{\delta W}{W}\) как-то связан с отношением \(~\frac{\upsilon}{s}\). В частности, если мы хотим проанализировать предельный случай почти упругого удара с \(~\frac{\delta W}{W} \ll 1\), то должны считать, что \(~\frac{\upsilon}{s} \ll 1\). Это значит, что начать нужно со случая нулевой скорости, когда шары статически деформируют друг друга.

Статическая деформация упругого шара

Итак, допустим, что два шара одного и того же радиуса R сдавлены друг с другом некоторой постоянной силой F так, что их центры сближены до расстояния 2(R - h). Какова сдавливающая сила F(h)?

Картина сдавленных друг с другом шаров имеет очевидную плоскость симметрии (см. рисунок). Следовательно, шары контактируют друг с другом по некоторой плоской площадке — участку плоскости симметрии. Далее, система имеет и ось симметрии — прямую, соединяющую центры шаров. Поэтому площадка контакта представляет собой круг. Обозначим его радиус через а.

Поскольку речь идет о слабой деформации (сталкиваясь с маленькой скоростью, тела не деформируются сильно), можно сначала грубо предположить, что вся поверхность каждого из тел (в деформированном состоянии их шарами уже не назовешь) , за исключением плоской площадки контакта, остается сферической. Тогда применение теоремы Пифагора к треугольнику ОАВ дает \(~(R - h)^2 + a^2 = R^2\), или \(~a^2 - 2Rh + h^2 = 0\), т.е. для слабого сжатия, когда \(~h \ll R\) и членом h² можно пренебречь по сравнению с 2Rh, имеем \(~a = \sqrt{2Rh}\). На самом деле вблизи площадки контакта поверхности отклоняются от сферических, поэтому наш ответ для а несколько завышенный — расчет показывает, что ровно вдвое. Но поскольку нас все равно интересуют только оценки с точностью до численных коэффициентов, то можно написать:

\(~a \sim \sqrt{Rh}. \qquad (1)\)

Важно уже здесь запомнить, что для \(~h \ll R\) получается \(~a \gg h\).

Правдоподобно предположение, что вдали от площадки контакта материал остается недеформированным, а деформация проходит в глубь тела на расстояние ~ a (напоминаю: ~ значит не гораздо больше и не гораздо меньше). Область, где локализованы все деформации, не имеет, конечно, четкой границы, но она осесимметрична и зеркально-симмметрична, имеет площадь поперечного сечения ~ a² и длину ~ a. Следовательно, искомую силу можно оценить по закону Гука\[~F = k \frac{\Delta l}{l}\]. Абсолютная деформация Δl ~ h; недеформированный размер l ~ a; постоянная упругости пропорциональна поперечному сечению деформированного тела, т.е. k ~ Ea², где E — модуль упругости материала, из которого сделаны шары. Следовательно,

\(~F \sim Ea^2 \frac ha \sim Eh^{\frac 32}R^{\frac 12}. \qquad (2)\)

Эта формула (вместе с соответствующим численным коэффициентом \(~\frac{\sqrt 2}{3}\)) была найдена Герцем в 1887 году. Интересная особенность формулы Герца в том, что сила упругости не пропорциональна деформации. С ростом h сила растет как \(~h^{\frac 32}\), т.е. быстрее, чем по линейному закону. Это, конечно, вполне понятно — ведь с ростом h деформированию сопротивляется все более широкий участок каждого из шаров.

Зная выражение для силы F(h), легко оценить потенциальную энергию деформации U(h). Она равна в точности работе, которую сила F производит над телами, увеличивая деформацию от нуля до h, т.е.

\(~U(h) \sim F(h)h \sim Eh^{\frac 52}R^{\frac 12}. \qquad (3)\)

Умеющие могут проинтегрировать:

\(~U(h) = \int^h_0 F(x)dx.\)

Квазистатическое представление об ударе

От неподвижных сдавленных тел вернемся к сталкивающимся и рассмотрим момент максимальной деформации, когда тела остановились на мгновение перед тем, как начать разгон в обратную сторону. В этот момент вся кинетическая энергия двух шаров \(~m \upsilon^2\) превращена в потенциальную энергию деформации. Следовательно, максимальное сближение шаров при ударе можно оценить с помощью формулы (3): так как для одного шара \(~U(h_{max}) = \frac{m \upsilon^2}{2}\), то

\(~h_{max} \sim \upsilon^{\frac 45} m^{\frac 25} R^{-\frac 15} E^{-\frac 25}. \qquad (4)\)

Эту формулу можно записать в более красивом виде, если заметить, что величина

\(~s \sim E^{\frac 12} \left( \frac{m}{R^3} \right)^{-\frac 12} \qquad (5)\)

есть скорость звука в материале шаров. Подтвердим это простейшим способом, из соображений размерности. Подобно тому, как частота колебаний груза на пружине \(~\left( \frac km \right)^{\frac 12}\) зависит от жесткости k и массы m, скорость звука s должна зависеть от «жесткости» (модуля упругости) материала Е и его плотности ρ. Е имеет размерность давления — силы, деленной на площадь, или массы, деленной на длину и квадрат времени; плотность равна массе, деленной на объем. Размерность скорости можно «состряпать» из таких ингредиентов единственным способом\[~s \sim \left( \frac{E}{\rho} \right)^{\frac 12}\] . Но для шара \(~\rho = \frac{m}{\frac 43 \pi R^3} \sim \frac{m}{R^3}\), откуда и получается наша оценка (5). Используя эту оценку, можем теперь написать вместо (4)

\(~h_{max} \sim R \left( \frac{\upsilon}{s} \right)^{\frac 45}. \qquad (6)\)

Получившаяся простая формула хороша своим прозрачным физическим смыслом: мы видим, что при медленном столкновении, когда \(~\frac{\upsilon}{s} \ll 1\), т.е. скорости шаров малы по сравнению со скоростью звука, деформация, даже максимальная, остается маленькой во все время столкновения\[~h \le h_{max} \ll R\]. Это вполне отвечает упоминавшимся качественным соображениям о том, что удар может быть близок к абсолютно упругому при \(~\upsilon \ll s\).

Легко оценить и время столкновения τ: это время, в течение которого тела остаются в контакте, успевая пройти путь ~ h_max. Поскольку средняя скорость на пути от первого соприкосновения до остановки ~ υ, то получается

\(~\tau \sim \frac{h_{max}}{\upsilon} \sim R \upsilon^{-\frac 15} s^{-\frac 45}. \qquad (7)\)

Формулы (6) и (7), как и (2) и (3), принадлежат Герцу.

Внимательный читатель, я надеюсь, уже давно негодует: длинное вступление про то, что нестационарное деформирование связано со звуковыми волнами — и после этого применить результат статической формулы (3) для оценки динамических величин h_max и τ?! Куда это годится? Действительно, максимальная деформация h_max достигается за сравнительно короткое время τ. Быстрое деформирование создает в телах звуковые волны, и можно сказать, что эти волны несут каждой точке шара «сообщение» о том, какие деформации и напряжения должны в ней устанавливаться. В упругом теле с малым внутренним трением звуковые волны очень медленно затухают. Поэтому статическое распределение деформаций и напряжений в материале может установиться только после того, как звук успеет много раз обежать всю внутренность шара, отражаясь от поверхности; в частности, такое время должно пройти, чтобы упругая сила, действующая со стороны шара на партнера, приблизилась к своему статическому значению (2). Следовательно, наши оценки имеют шанс быть правильными только при условии \(~\tau \gg \frac Rs\), где \(~\frac Rs\) — время, необходимое звуку, чтобы пройти сквозь шар один раз. Вспоминая нашу оценку (7) величины τ, получаем из нее же условие ее применимости\[~\upsilon^{-\frac 15} s^{\frac 15} \gg 1\], или \(~\frac{\upsilon}{s} \ll 1\).

Нет ли здесь логического порока — из самой формулы выводить условия ее применимости? Нет, здесь все в порядке: если \(~\frac{\upsilon}{s} \ll 1\), то заложенное в основу формулы (7) предположение о многократном обе- гании шара звуком ей не противоречит и, значит, формула применима.

Вот теперь у нас все стало хорошо и красиво! Условие \(~\frac{\upsilon}{s} \ll 1\) — единственное условие применимости всех наших построений: оно гарантирует малость деформаций \(~h \ll R\) в течение всего процесса, и оно же обеспечивает применимость квазистатического подхода, т.е. использования статических формул для упругой силы или потенциальной энергии.

Какой же параметр можно считать малым?

Мы можем теперь вернуться ненадолго к общим рассуждениям и вспомнить оставленный без ответа вопрос — насколько мал должен быть параметр, чтобы считаться малым? Ответ кроется в том, какие изменения случаются при изменении величины нашего претендента на роль малого параметра. Посмотрите: чем меньше параметр \(~\frac{\upsilon}{s}\), тем меньше погрешность, связанная с отбрасыванием члена h² по сравнению с 2Rh при выводе формулы (1), и вместе с тем точнее применимость закона Гука для вывода формулы (2), и вместе с тем меньше отличие статической силы (2) или потенциальной энергии (3) от соответствующих нестационарных величин. Значит, чем меньшее значение имеет величина \(~\frac{\upsilon}{s}\), т.е. чем медленнее летят шары до удара или чем жестче их материал (больше скорость звука), тем точнее вся наша (правильнее сказать, не наша, а Герца) теория, т.е. тем меньше погрешность формул (6) и (7).

Итак, если вы в книге по физике или в физическом журнале встретите утверждения типа «данная формула (например, (6)) применима при условии \(~\varepsilon \ll 1\)» (в нашем примере \(~\varepsilon = \frac{\upsilon}{s}\)) или «формула справедлива в предельном случае малого ε», то понимать это надо так: погрешность данной формулы уменьшается с уменьшением ε и может стать сколь угодно малой, если взять достаточно маленькое значение ε. А уж какая вас устроит погрешность и, соответственно, до каких пор вы можете считать свой параметр малым — это зависит целиком и полностью от ваших целей. Одно дело, если вас интересует порядок величины — тогда формула (6) вам подойдет и при \(~\varepsilon = \frac 23\); но совсем иначе может обернуться дело, если вы инженер и конструируете какой-нибудь очень точный механизм...

Из сказанного, между прочим, вытекает, что если вы работаете с какой-либо формулой или теорией и исследуете ее применимость в некотором предельном случае, то очень полезно как-то, хотя бы грубо, оценить поправки к вашей теории. Если без знания поправок к формулам (6) и (7) мы можем сказать только, что эти формулы станут очень точными для достаточно медленного столкновения, то поправки позволили бы нам придать этому утверждению количественный характер. А в нашем случае поправки связаны как раз с оценкой потери энергии δW. К сожалению, оценка потери энергии требует более глубоких знаний о звуковых волнах и поэтому выходит за рамки нашего «школьного» рассмотрения.

Заключение

После рассмотрения конкретного примера мне бы хотелось вернуться к общему разговору о малых параметрах.

Здесь мы должны извлечь такие уроки. Во-первых, если бы мы стали искать поправки к теории Герца, т.е. оценивать потерю энергии δW, то это потребовало бы выхода в совсем новую область физики — колебания вместо простой статической упругости. Во-вторых, если бы речь зашла о противоположном предельном случае \(~\frac{\upsilon}{s} \gg 1\) (или \(~\frac{s}{\upsilon} \ll 1\)), то это была бы уж вовсе другая наука — разрушение, хрупкость, пластичность и пр. И вот эти то выводы совершенно общие.

Между прочим, надо иметь в виду, что малостью тех или иных параметров определяются не только качественные представления об отдельных явлениях, но и условия применимости великих физических теорий. Так, ньютонова механика применима при условии \(~\frac{\upsilon}{c} \ll 1\), где υ и c — соответственно характерная скорость изучаемых тел и скорость света; условие применимости геометрической оптики имеет вид \(~\frac{\lambda}{a} \ll 1\), где λ — длина волны света, а a — характерный размер тел (линз, диафрагм и пр.). Примеры можно привести еще, но всюду смысл знаков \(~\ll\) будет тот же самый: чем меньше \(~\frac{\upsilon}{c}\), тем меньше погрешности формул механики Ньютона, чем меньше \(~\frac{\lambda}{a}\), тем точнее представления геометрической оптики. И всякие поправки всегда приводят нас в новый физический мир: поправки по параметру \(~\frac{\upsilon}{c}\) — в мир релятивистской механики Эйнштейна с парадоксами близнецов и прочими, которые потому и парадоксальны, что отсутствуют при \(~\frac{\upsilon}{c} \to 0\); поправки по \(~\frac{\lambda}{a}\) — путь в мир волновой оптики с явлениями интерференции и дифракции, которых при \(~\frac{\lambda}{a} \to 0\) нет и в помине, и т.д.

Наконец, последнее. Параметры, о которых говорилось, могут меняться. При одном ударе \(~\frac{\upsilon}{s}\) достаточно мало, а ударим посильнее — будет велико; если электрон движется в проводе настольной лампы, то для него \(~\frac{\upsilon}{c}\) очень мало, а если в ускорителе — то вовсе не мало, и т.д. Но есть и такие параметры, которые от случая к случаю не меняются — мировые постоянные. Притом безразмерные мировые постоянные! Примеры? Пожалуйста: отношение длины окружности к диаметру — всем известное число π; так называемая постоянная тонкой структуры \(~\alpha = \frac{e^2}{hc}\), где е — заряд электрона, h — постоянная Планка и c — скорость света; наконец, отношение энергии гравитационного притяжения двух протонов к энергии их электростатического отталкивания \(~\delta = G\frac{m^2}{e^2}\), где m — масса протона и G — гравитационная постоянная. Число π порядка единицы (не мало и не велико), \(~\alpha = \frac{1}{137}\) — довольно мало, δ ~ 10^-42 — чрезвычайно мало. Такие параметры, как α и δ, играют очень важную роль в нашем понимании Природы. Мы ничего не знаем о том, как выглядел бы мир, в котором, например, число δ было бы порядка единицы; ведь чтобы это узнать, надо выйти к какой-то другой физике, а откуда нам знать, какова она? И мы ничего не знаем о том, почему в нашем мире δ так мало.

Построение безразмерных малых параметров — необходимый шаг в решении почти любой сколько-нибудь трудной задачи в любой области физики. Именно этот шаг позволяет плодотворно согласовать физическую интуицию и математическую технику, в единстве которых кроется львиная доля привлекательности теоретической физики. А вообще-то, возможно, самый маленький параметр в мире — это отношение числа, решенных задач к числу нерешенных и непонятных...