Kvant. Средняя скорость

Шапиро А.И. Поговорим о средней скорости //Квант. — 1986. — № 9. — С. 25-27.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Когда мы говорим о скорости движения различных тел в окружающем нас мире, то чаще всего подразумеваем среднюю скорость. Именно она позволяет оценить пройденное расстояние, зная время движения, или, наоборот, помогает найти время движения по пройденному пути. Так, например, отправляясь на вокзал с другого конца города, вы рассчитываете свое время, исходя из известной по опыту средней скорости передвижения городского транспорта. При этом для вас совсем неважно, как меняется мгновенная скорость автобуса или троллейбуса от одной остановки до другой.

Для определения средней скорости мы истинное сложное неравномерное движение мысленно заменяем некоторым простым равномерным движением, при котором тело проходит тот же путь (или совершает то же перемещение) за то же время, что и в процессе истинного движения.

Обратим внимание на то, что в «Физике 8» (§ 11) введены два различных понятия средней скорости: векторная средняя скорость, вычисляемая по вектору перемещения \(~\vec s\) тела за определенное время t, и скалярная средняя скорость, определяемая по пути l, пройденному телом вдоль траектории:

\(~\vec \upsilon_{cp} = \frac{\vec s}{t} ; \upsilon_{cp} = \frac{l}{t}\) .

Средняя скалярная скорость, вообще говоря, не совпадает с модулем векторной средней скорости. Так, υ_cp для Земли при ее орбитальном движении вокруг Солнца составляет примерно 30 км/с, в то время как средняя векторная скорость, взятая за промежуток времени, равный одному году, очевидно, равна нулю. Равенство средних скоростей выполняется только в случае прямолинейного движения тела в одном направлении. Ниже мы будем говорить только о скалярной средней скорости. Начнем с такого примера.

Представьте себе, что вы едете в автомобиле по пустынному загородному шоссе, устроившись рядом с водителем. В руках у вас секундомер, за окном отчетливо видны встречающиеся километровые столбики, и вы проводите небольшой эксперимент. В первом опыте водитель по вашей команде «скачком» меняет скорость каждую минуту: υ₁ =40 км/ч, υ₂ = 60 км/ч, υ₃ = 80 км/ч, υ₄ = 20 км/ч. Затем опыт ставится иначе: водитель последовательно проходит тот же набор скоростей, но команды вы даете ему не по секундомеру, а в те моменты, когда автомобиль проезжает мимо очередного километрового столбика. Одинаковы ли средние скорости в этих двух опытах?

В первом случае движение построено так, что на каждом участке, где скорость была постоянна, автомобиль двигался в течение одного и того же промежутка времени Δt (рис. 1). Поэтому

\(~\upsilon_{cp1} = \frac{l}{t} = \frac{\upsilon_1 \Delta t + \upsilon_2 \Delta t + \upsilon_3 \Delta t + \upsilon_4 \Delta t}{4 \Delta t} = \frac{1}{4} (\upsilon_1 + \upsilon_2 + \upsilon_3 + \upsilon_4) = 50\) км/ч.

Рис. 1

Во втором случае одинаковы не времена движения на каждом участке, а пройденные пути Δl (рис. 2). Таким образом,

\(~\upsilon_{cp2} = \frac{l}{t} = \frac{4 \Delta l}{\Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3 + \Delta t_4} = \frac{4 \Delta l}{\frac{\Delta l}{\upsilon_1} + \frac{\Delta l}{\upsilon_2} + \frac{\Delta l}{\upsilon_3} + \frac{\Delta l}{\upsilon_4}} = \frac{4}{\frac{1}{\upsilon_1} + \frac{1}{\upsilon_2} + \frac{1}{\upsilon_3} + \frac{1}{\upsilon_4}} = 38\) км/ч.

Рис. 2

Как видно, в первом случае средняя скорость определяется средним арифметическим от скоростей на каждом участке движения. К сожалению, многие учащиеся ошибочно полагают, что среднюю скорость так можно вычислять всегда, для любого типа движения. Это неверно. Уже во втором из рассмотренных примеров мы убедились, что при движении, в котором на каждом участке тело проходит одинаковый путь (но с различными скоростями), средняя скорость выражается гораздо более сложно:

\(~\frac{1}{\upsilon_{cp}} = \frac{l}{n} \left(\frac{1}{\upsilon_1} + \frac{1}{\upsilon_2} + \frac{1}{\upsilon_3} + \frac{1}{\upsilon_4} \right)\) .

Поэтому при вычислении средней скорости лучше всего пользоваться общим определением, которое справедливо всегда.

Часто среднюю скорость находят по графику зависимости модуля мгновенной скорости от времени (рис. 3). Площадь под кривой υ(t) определяет пройденный телом путь, поэтому в соответствии с определением средней скорости по графику можно подобрать такое значение неизменной скорости, которое позволит пройти то же расстояние и за то же время, что и при истинном движении с меняющейся скоростью.

Рис. 3

Среднюю скорость можно определять и по графику зависимости пути от времени (l(t)). Поскольку \(~\upsilon_{cp} = \frac{l}{t}\), то на этом графике средняя скорость определяется тангенсом угла наклона прямой, соединяющей начальную и конечную точки рассматриваемого участка движения, к оси времени (рис. 4). По этому графику легко судить и об изменении средней скорости в зависимости от выбора промежутка времени, на котором проводится усреднение. Достаточно изобразить соответствующие отрезки прямых и сравнить углы их наклона к оси времени. Такой графический анализ наглядно убеждает, что понятие средней скорости имеет смысл только на определенном отрезке пути (или времени).

Рис. 4

Зависимость пути от времени при прямолинейном неравномерном движении позволяет, например, легко отыскать тот момент времени, в который модуль мгновенной скорости совпадает с величиной средней скорости на рассматриваемом участке движения. Для этого нужно соединить отрезком прямой начальную и конечную точки графика l(t) на рассматриваемом участке и параллельным переносом полученного отрезка до касания с графиком найти искомую точку (или точки).

Величина средней скорости иногда позволяет оценить предельно возможные значения скоростей тела на отдельных участках его движения. Так, зная, что средняя скорость движения на двух одинаковых участках пути равна 12 м/с, мы сразу же можем сказать, что значение скорости равномерного движения ни на одном из них не может быть меньше 6 м/с (убедитесь в этом самостоятельно).