Kvant. Сложение колебаний

Кикоин А.К. Гармонические колебания. Сложение колебаний //Квант. — 1984. — № 9. — С. 21-23.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Колебательное движение — это периодическое движение, то есть такое, при котором координата тела через определенные промежутки времени (минимальный промежуток называют периодом колебаний) повторяется. Типичный пример колебаний — движение тела, прикрепленного к пружине («Физика 10», §§2 и 4). Вызывает такое движение сила упругости F_x = —kx, изменяющаяся от точки к точке, поэтому изменяющимся оказывается и ускорение тела. При движении колеблющееся тело проходит и через такое положение, в котором действующая на него сила обращается в нуль. Это — положение равновесия, оно служит центром колебаний. Максимальное отклонение тела от положения равновесия называется амплитудой колебаний.

Так как сила упругости — сила переменная, то решить уравнение второго закона Ньютона

\(~-kx = ma_x\) ,

и найти, как координата х изменяется со временем, средствами обычной алгебры нельзя. Поэтому мы заменим на время физику геометрией и рассмотрим движение совсем другое, но «как две капли воды» похожее на движение тела, скрепленного с пружиной.

Рис. 1

Пусть некоторое тело (материальная точка) движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса А (рис. 1). Движение по окружности — это тоже периодическое движение, поскольку через определенные промежутки времени \(~T = \frac{2 \pi}{\omega}\) (период обращения) тело оказывается в одном и том же месте на окружности. Рассмотрим, однако, движение не самой точки, а ее проекции на диаметр XX окружности. Сразу видно, что при движении точки по окружности ее проекция движется вдоль диаметра XX и это движение действительно похоже на движение тела, скрепленного с пружиной. Двигаясь вдоль диаметра, проекция удаляется от центра окружности на расстояние, не большее, чем радиус А. Можно, значит, сказать, что проекция совершает колебания с амплитудой А. Центр окружности О играет здесь такую же роль, как положение равновесия в опыте с пружиной. Период обращения точки по окружности — это в то же время и период колебаний ее проекции. Но если для точки, движущейся по окружности, ω — это угловая скорость, то для проекции ω — это так называемая циклическая частота, то есть число колебаний за 2π секунд:

\(~\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \nu\) .

Здесь ν — частота колебаний, то есть число колебаний за одну секунду.

Рис. 2

Предположим, что в некоторый момент времени, который мы примем за начальный (t = 0), движущаяся по окружности точка находится в положении M₀ (рис. 2). Проведем из центра окружности как из начала координат вектор \(~\overrightarrow{OM_0}\). Его называют радиус-вектором (модуль этого вектора равен А). Радиус-вектор определяет положение точки на окружности, а проекция его конца иа диаметр XX определяет положение проекции M’₀, точки, то есть координату x₀ этой проекции, отсчитываемую от центра окружности О. Движение точки по окружности означает в то же время вращение радиус-вектора вокруг центра О с той же угловой скоростью ω). Из рисунка 2 видно, что начальная координата x₀ проекции равна A cos φ₀,

где φ₀ — угол, отсчитанный от оси X против часовой стрелки до вектора \(~\overrightarrow{OM_0}\).

Пусть через промежуток времени t движущаяся по окружности точка оказалась в М, а ее проекция — в М’. Угол поворота радиус-вектора увеличился на Δφ = ωt и стал равным Δφ + φ₀. Координата x проекции точки теперь равна

\(~x = A \cos (\Delta \varphi + \varphi_0) = A \cos (\omega t + \varphi_0)\) .

Формула

\(~x = A \cos (\omega t + \varphi_0)\) . (*)

и показывает, как координата x проекции движущейся по окружности точки, то есть координата точки, совершающей колебания, зависит от времени. Колебания, при которых координата колеблющегося тела (точки) зависит от времени по закону (*), называются гармоническими. Величина φ = ωt + φ₀ называется фазой колебания, а φ₀ — начальной фазой.

Рис. 3

Как мы уже говорили, движение проекции конца радиус-вектора на диаметр окружности во всем похоже на движение тела, скрепленного с пружиной. Верно и обратное: движение тела, прикрепленного к пружине, совершенно подобно движению проекции точки, движущейся по окружности, иа диаметр этой окружности. Поэтому каждому колеблющемуся телу можно сопоставить вращающийся радиус-вектор, проекция конца которого есть колеблющееся тело (точка). Это и показано на рисунке 3 для случая тела, прикрепленного к горизонтальной пружине.

Только что высказанное соображение позволяет решить важную задачу о сложении колебаний, происходящих вдоль одной прямой и с одинаковыми частотами. Например, когда положение равновесия, около которого тело совершает колебания, само совершает колебания с такой же частотой и вдоль той же прямой. Скажем, тело, скрепленное с пружиной, совершает колебания на платформе, которая сама колеблется относительно неподвижной системы отсчета.

Предположим, что нужно сложить такие два колебания:

\(~\begin{matrix} x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi_{01}), \\ x_2 = A_2 \cos (\omega t + \varphi_{02}) \end{matrix}\) .

Рис. 4

Как видно из написанных формул, колебания могут различаться амплитудами (A₁ и A₂) и начальными фазами (φ₀₁ и φ₀₂). Чтобы узнать, что получится в результате сложения, изобразим соответствующие складываемым колебаниям вращающиеся радиус-векторы \(~\vec A_1\) и \(~\vec A_2\) как бы застывшими в начальный момент времени и покажем окружности, по которым движутся их концы (рис. 4; для упрощения на рисунке приведены не полные окружности). Очевидно, что результирующее колебание будет происходить с той же частотой ω, но с другой амплитудой и другой начальной фазой:

\(~x = A \cos (\omega t + \varphi_0)\) .

Значения А и φ₀ мы получим, если сложим векторы \(~\vec A_1\) и \(~\vec A_2\) по правилу параллелограмма. Диагональ параллелограмма \(~A = |\vec A|\) есть амплитуда суммарного колебания, а угол φ₀, который вектор \(~\vec A\) образует с осью X, — начальная фаза этого колебания.

Согласно известной теореме косинусов, мы можем написать

\(~A^2 = A^2_1 + A^2_2 - 2 A_1 A_2 \cos \angle OA_1A\) .

где \(~\angle OA_1A = 180^\circ - \angle A_2OA_1 = 180^\circ - (\varphi_{02} - \varphi_{01})\) . Так как \(~\cos (180^\circ - (\varphi_{02} - \varphi_{01})) = -\cos (\varphi_{02} - \varphi_{01})\) , то

\(~A^2 = A^2_1 + A^2_2 + 2 A_1 A_2 \cos (\varphi_{02} - \varphi_{01})\) .

Результат сложения двух колебаний зависит, таким образом, от разности фаз колебаний-слагаемых. Поскольку колебания происходят с одной и той же частотой, разность фаз φ₂ — φ₁ колебаний в любой момент времени равна разности φ₀₂ — φ₀₁ начальных фаз.

Представляют особый интерес два крайних случая:

1. Разность фаз φ₂ — φ₁ = 0 (или 2π, 4π и т. д.). Колебания, фазы которых в любой момент времени одинаковы, называются синфазными. В таком случае \(~\cos (\varphi_{02} - \varphi_{01}) = \cos (\varphi_2 - \varphi_1) = 1\), и \(~A^2 = A^2_1 + A^2_2 + 2 A_1 A_2\), или \(~A = A_1 + A_2\) — амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Другими словами, колебания в результате сложения усиливаются.
2. Разность фаз φ₂ — φ₁ = π (или Зπ, 5π и т. д.). О таких колебаниях говорят, что их фазы противоположны (колебания антифазные). В этом случае \(~\cos (\varphi_{02} - \varphi_{01}) = \cos (\varphi_2 - \varphi_1) = -1\), и \(~A^2 = A^2_1 + A^2_2 - 2 A_1 A_2\), или \(~A = A_1 - A_2\) — результирующее колебание оказывается ослабленным: амплитуда равна разности амплитуд колебаний-слагаемых. Если A₁ = A₂, to амплитуда результирующего колебания равна нулю, то есть колебаний вовсе нет: одно колебание «погасило» другое.

В этом состоит одно из самых важных свойств колебаний — при сложении они могут усиливаться или ослабляться. Это свойство играет важную роль в волновых процессах («Физика 10», § 36).

Из рисунка 4 легко получить и значение начальной фазы φ₀ результирующего колебания:

\(~\operatorname{tg} \varphi_0 = \frac{A_1 \sin \varphi_{01} + A_2 \sin \varphi_{02}}{A_1 \cos \varphi_{01} + A_2 \cos \varphi_{02}}\) .