Kvant. Сила тяги

Черноуцан А.И. Кое-что о силе тяги //Квант. — 1992. — № 5. — С. 42-44.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В задачах по механике, особенно из раздела «Механическая мощность», часто встречается величина, называемая силой тяги — поезда, автомобиля, самолета, велосипеда и т. п. Что это за сила? Какова ее природа?

Иногда можно услышать ответ, что, поскольку автомобиль, например, приводится в движение двигателем, то и сила тяги действует со стороны двигателя. Это, конечно, не так. Внутренние силы, действующие со стороны одной части системы на другую, не могут изменить скорость системы как целого — это противоречило бы закону сохранения импульса. Тогда становится ясно, что надо рассматривать силы, действующие на транспортное средство извне, со стороны внешнего мира. Так, в случае автомобиля или поезда сила тяги — это сила трения покоя, действующая на ведущие колеса со стороны дороги, в случае самолета — сила реакции отбрасываемого назад воздуха. Правда, для того чтобы сила трения покоя была направлена вперед, двигатель должен вращать колеса в нужном направлении, заставляя их как бы цепляться за дорогу и создавать силу тяги. Так что без двигателя действительно далеко не уедешь...

Зачем же вводить некую силу тяги, а не писать прямо «сила трения покоя» или «сила реакции воздуха»? Оказывается, удобно все силы, действующие на транспортное средство со стороны окружающих тел, разделить на две части: одну часть назвать силой тяги F_T, а другую — силой сопротивления F_C. В этом случае, во-первых, приобретают универсальный вид уравнения движения. Так, для автомобиля, поднимающегося в гору с уклоном α, запишем

\(~F_T - F_C - mg \sin \alpha = ma\) . (1)

Во-вторых, через силу тяги весьма просто выражается полезная механическая мощность:

\(~P_0 = F_T \upsilon\) , (2)

где υ — скорость транспортного средства. (Как будет показано дальше, эту формулу можно считать в каком- то смысле определением полезной мощности транспортного средства.) Формулы (1) и (2) вместе позволяют понять многие процессы, происходящие при разгоне или движении транспортных средств.

Например, автомобилисты знают, что при разгоне автомобиля по горизонтальной дороге невыгодно включать большую мощность на малых скоростях. И действительно — когда сила тяги, равная \(~\frac{P_0}{\upsilon}\), достигнет максимальной силы трения покоя μN, начнется пробуксовка колес, что является крайне нежелательным. А максимальную мощность P_max можно использовать только при достижении скорости \(~\upsilon_0 = \frac{P_{max}}{\mu N}\), а до этого мощность надо плавно наращивать. Наверное, большинство из вас все это хорошо понимают и так, и взяться за написание этой заметки меня заставило совсем другое. Дело в том, что формула для полезной мощности (2), соответствуя внешне определению механической мощности и поэтому не привлекая особого внимания, содержит в себе неожиданный парадокс. Должен признаться, что сам я долгое время не обращал на него никакого внимания. В чем же он заключается?

Как уже говорилось, сила тяги автомобиля, например, есть не что иное, как сила трения покоя, приложенная со стороны дороги к нижним точкам ведущих колес. Но эти точки (разумеется, если колеса не проскальзывают) касаются дороги, т. е. имеют скорость, равную нулю. Значит, работа силы трения покоя, а следовательно, и работа силы тяги, равна нулю!

В первый момент, когда я это понял, у меня возникло ощущение легкого испуга. Нет, я не испугался за закон сохранения энергии — энергия совсем не обязательно должна поступать в систему извне. Хотя внутренние силы, возникающие при работе двигателя, не способны изменить импульс системы, они вполне могут изменить ее энергию. Например, если в двигателе используется энергия сгорания топлива, то часть этой энергии при работе двигателя теряется, а часть превращается в полезную механическую энергию. А вот при отсутствии в системе двигателя, поставляющего необходимую энергию, внешняя сила тяги должна быть «устроена» так, чтобы самой совершать работу. (Пример: при буксировке автомобиля с выключенным двигателем роль силы тяги играет сила натяжения троса.)

Неприятность заключалась в другом — универсальная формула (2) потеряла свою очевидность. Стало неясно, можно ли ее в таком простом виде использовать для решения различных задач или придется в каждом случае специально вычислять полезную мощность, опираясь на конкретное устройство двигателя.

Рассмотрим, например, игрушечный автомобиль, где источником энергии является энергия упругой деформации пружины. Для упрощения пренебрежем массой колес и пружины. Полезную работу в этом случае совершает сила, приложенная к корпусу автомобиля, которая равна сумме силы \(~\vec F_0\), действующей на ось колеса, и силы натяжения \(~\vec F_n\) действующей на стенку корпуса; следовательно,

\(~P_0 = (F_0 - F_n) \upsilon\) .

Так как масса колеса равна нулю, сумма всех действующих на него сил равна нулю, т. е.

\(~F_0 = F_T + F_n\) .

Поэтому P₀, как и в формуле (2), оказывается равной произведению F_Tυ. В чем же дело? Может быть, это случайность?

Чтобы понять причину такого совпадения, задумаемся о том, что мы называем полезной механической работой при движении транспортного средства любой природы в общем случае. Во-первых, это работа против сил сопротивления \(~A_1 = F_C \Delta l\), во-вторых, работа по увеличению кинетической энергии поступательного движения \(~A_2 = \frac{m \upsilon^2_2}{2} - \frac{m \upsilon^2_1}{2}\) и, в-третьих, работа по изменению потенциальной энергии \(~A_3 = mg \Delta h\). К потерянной энергии относят тепловые потери в механизме, кинетическую энергию вращения колес, движения шатунов, поршней и т. д., другими словами — все, что не входит в энергию поступательного движения транспортного средства как целого.

Теперь — немного математики. Умножим обе части формулы (1) на Δl. Учитывая, что \(~ma \Delta l = \frac{m \upsilon^2_2}{2} - \frac{m \upsilon^2_1}{2}\), a \(~mg \Delta l \sin \alpha = mg \Delta h\), запишем

\(~F_T \Delta l = F_C \Delta l + \left(\frac{m \upsilon^2_2}{2} - \frac{m \upsilon^2_1}{2} \right) + mg \Delta h\) .

Получается, что величина, формально составленная как работа силы тяги F_T на пути Δl (на самом деле сила тяги работы не совершает), в точности равна полезной работе A₁ + A₂ + A₃. Следовательно, полезную мощность можно смело вычислять по формуле (2)!

Итак, мы выяснили, что сила тяги, определенная как внешняя сила, входящая в уравнение движения (1), работы не совершает, так как она приложена к неподвижной точке колеса. Кроме того, та часть работы двигателя, которую называют полезной, равна работе силы тяги, как если бы она была приложена не к неподвижной точке, а к движущемуся корпусу транспортного средства. Но самое главное — мы еще раз убедились в том, что за привычными и обыкновенными, на первый взгляд, понятиями часто скрываются неожиданные вопросы и парадоксы, над которыми полезно и интересно поразмышлять.