Kvant. Свист поезда

Стасенко А.Л. Свист поезда и свет галактик //Квант. — 2002. — № 1. — С. 35-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

...всегда до ушей достигают

Медленней звуки, чем то, что дает впечатления глазу.

В этом нетрудно тебе убедиться: коль издали смотрим,

Как дровосек топором двусторонним деревья срубает,

Видим мы раньше удар, а потом уже звук раздается

В наших ушах. Потому мы и молнию видим сначала,

Прежде чем слышится гром...

Лукреций

Итак, уже древние физики-философы, что звук движется медленнее света, во всяком случае, что скорость звука конечна (т.е. ограничена по величине). Но что любопытно: ни один ученый древности не отмечает еще одно явление, связанное с распространением волн, а именно изменение высоты звука при перемещении его источника относительно слушателя. В нашу эпоху этот факт, известный как эффект Доплера, регистрируется и используется в случае не только звуковых волн, но и электромагнитных тоже. Однако рассмотрим все по порядку: сначала акустику, затем оптику.

Рис. 1

Пусть источник звука неподвижен, а приемник движется к нему со скоростью υ (рис.1,а). Если в данный момент времени расстояние между источником и приемником х, то на нем уместилось бы число волн \(~N = \frac{x}{\lambda} = \frac{x \nu}{c}\), где λ - длина волны, излучаемой источником, ν - частота излучения, c - скорость звука. Но пока приемник доберется до источника, пройдет дополнительное время \(~\Delta t = \frac{x}{\upsilon}\), и за это время источник излучит еще \(~\Delta N = \nu \Delta t\) волн. Итого, приемник зарегистрирует N + ΔN колебаний, что равносильно частоте

\(~\nu' = \frac{N + \Delta N}{\Delta t} = \frac{\frac{x \nu}{c} + \nu \frac{x}{\upsilon}}{\frac{x}{\upsilon}} = \nu \left( 1 + \frac{\upsilon}{c} \right)\) .

Перепишем эту зависимость в безразмерном виде:

\(~\frac{\nu'}{\nu} = 1 + \frac{\upsilon}{c}\) . (1)

Теперь поменяем местами приемник и источник звука (рис.1,б). Пусть приемник звука неподвижен, а источник движется к нему со скоростью υ. При этом длина волны в неподвижном воздухе уменьшается:

\(~\lambda' = \lambda \frac{c - \upsilon}{c}\) ,

где λ - длина волны в случае неподвижного источника (при υ = 0). (Отсюда, видно, например, что при υ = с получим λ’ = 0: «хвост» волны догоняет ее «голову».) Тогда неподвижный приемник будет «слышать» звуковую волну λ’, которой соответствует частота

\(~\nu' = \frac{c}{\lambda'} = \nu \frac{c}{c - \upsilon}\) .

Или в безразмерном виде:

\(~\frac{\nu'}{\nu} = \frac{1}{1 - \frac{\upsilon}{c}}\) . (2)

На рисунке 2 изображены графики, соответствующие выражениям (2) и (1). Отметим характерные особенности кривых АВ и ED.

Рис. 2

При \(~\frac{\upsilon}{c} = 0\) (источник и приемник неподвижны относительно воздуха) частота звука не искажается: ν’ = ν. При \(~\frac{\upsilon}{c} \to 1\) (кривая 1B) источник все быстрее налетает на приемник, частота звука растет: бас, излучаемый источником, воспринимается как комариный писк, при еще больших скоростях становится ультразвуком, а при υ ≥ c уже не достигает источника - невозможно, например, услышать сверхзвуковой самолет, пока он не долетит до приемника лично. Если же \(~\frac{\upsilon}{c}\) становится отрицательной величиной, т.е. источник звука удаляется от приемника (кривая А1), воспринимаемый звук оказывается ниже испускаемого.

В случае приближения приемника к источнику звука частота принимаемого звука растет (участок 1D), в случае удаления - падает, причем в этом последнем случае улетающий приемник будет обгонять волны в обратном порядке (см. штриховой участок прямой 1E при \(~\frac{\upsilon}{c} < -1\)). Конечно, в окрестностях точек \(~\frac{\upsilon}{c} = \pm 1\) должно происходить еще что- то интересное - ведь в воздухе перед приемником может возникнуть скачок уплотнения, который должны будут преодолевать звуковые волны прежде чем попасть в регистрирующий их приемник, так что потребуется уточнение теории. Ибо в этом скачке все параметры газа (давление, температура и плотность) отличаются от атмосферных.

Рис. 3

Посмотрим, как на деле «работают» полученные формулы. Пусть по мосту через пропасть между двумя участками туннеля движется поезд (рис.3) со скоростью υ, а его свисток излучает звук частотой ν. Прежде всего, согласно формулам (1) и (2), неподвижные наблюдатели Антон (A) и Борис (Б) будут воспринимать звуки с частотами \(~\nu_A = \frac{\nu}{1 - \frac{\upsilon}{c}}\) и \(~\nu_B = \nu (1 - \frac{\upsilon}{c})\). Эти три частоты изображены на рисунке 3 вверху в виде отрезков, высота которых качественно характеризует интенсивность звука. Ясно, что для наблюдателей А и Б эта интенсивность меньше, чем для машинистки Маши (М) - просто оттого, что звуковые «лучи» расходятся во все стороны. Дойдя до стенок туннеля (предполагаем, что они вертикальны), звуковые волны отражаются, и их, в принципе, могут зарегистрировать все три наблюдателя. Волны, отраженные от правой стенки, придут к А, Б и М с частотами ν_A2 = ν_A1, ν_B2 = ν_A1 и \(~\nu_{M2} = \nu \frac{1 + \frac{\upsilon}{c}}{1 - \frac{\upsilon}{c}}\), потому что эта правая стенка служит как бы излучателем звука частотой \(~\nu_{A1} = \frac{\nu}{1 - \frac{\upsilon}{c}}\). Левая стенка служит излучателем звука частотой \(~\nu_{B1} = \nu (1 - \frac{\upsilon}{c})\) и снабжает неподвижных слушателей звуками той же частоты: ν_A3 = ν_B1 , ν_B3 = ν_B1, а удаляющийся от этой стенки наблюдатель М услышит звук частотой \(~\nu_{M3} = \nu \frac{1 - \frac{\upsilon}{c}}{1 + \frac{\upsilon}{c}}\).

Учитывая многократные отражения свистка паровоза от вертикальных стенок туннеля, вдумчивый читатель может самостоятельно обогатить палитру звуков, воспринимаемых тремя наблюдателями.

Выше уже было упомянуто, что частота принимаемого звука совпадает с частотой излучаемого (ν’ = ν), только если приемник и источник неподвижны относительно воздуха; подчеркнем здесь еще раз - именно относительно воздуха, а не относительно друг друга. Действительно, если, например, источник движется за приемником вправо и оба они движутся со скоростью звука (следовательно, их относительная скорость равна нулю), то излучаемый звук никогда не достигнет приемника - где уж тут говорить о неискаженной частоте! Это происходит потому, что звуковые волны распространяются в материальной среде, обладающей инертностью (и упругостью). В этом случае важно подчеркивать, что движется относительно среды - приемник или излучатель волн, поэтому выше и получились различные формулы для принимаемой частоты.

Другое дело - оптика. Тут определяющую роль играет именно относительная скорость V приемника и источника. Не вдаваясь в тонкости преобразований Лоренца, приведем окончательный результат:

\(~\frac{\nu'}{\nu} = \frac{1 \pm \frac{V}{c}}{\sqrt{1 - \frac{V^2}{c^2}}}\) . (3)

Здесь знак «плюс» соответствует случаю сближения приемника и излучателя электромагнитных волн, «минус» - удаления их друг от друга, c - теперь уже скорость света (а не звука), а для относительной скорости специально использована другая буква, а именно V (а не υ), чтобы еще раз подчеркнуть отличие оптики от акустики.

Соответствующая выражению (3) кривая изображена на рисунке 2 штрих-пунктиром (тут-то и видна польза безразмерных переменных: и оптика и акустика уместились на одном графике, хотя масштабы скоростей распространения световых и звуковых волн отличаются в миллион раз). Видно, в частности, что, если скорости υ или V малы (по сравнению со своим «масштабом» c), то формулы для относительного сдвига частот звуковых и электромагнитных волн одинаковы:

\(~\frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{\nu' - \nu}{\nu} \approx \frac{\upsilon}{c}\) или \(~\frac{V}{c}\). (4)

Эта приближенная формула является самой простой оценкой доплеровского сдвига частот, причем как в акустике, так и в оптике. Теперь ясно, например, что из-за вращения Солнца один край его диаметра (движущийся к нам) должен быть синее, а другой (уходящий от нас) - краснее, чем центр его диска. И если мы обладаем достаточно чувствительным измерителем разности частот, то при помощи формулы (4) мы найдем линейную (окружную) скорость и, следовательно, скорость вращения звезды.

Тут уместно вспомнить анекдотичный случай с одним Физиком, автомобиль которого остановил Полисмен за движение на красный свет. Физик объяснил, что при сближении со светофором красный свет кажется зеленым. Зная характерные длины волн для этих участков спектра (λ_кр ≈ 0,65 мкм, λ_зел ≈ 0,55 мкм), по формуле (3) можно рассчитать или по формуле (4) оценить эту скорость сближения - она более ста миллионов километров в час! Поэтому Полисмен все-таки оштрафовал Физика - за превышение скорости в городе. (Полисмен всегда прав.)

Эффект Доплера сыграл большую роль в космологии. Астрономические наблюдения показали, что чем дальше находится галактика, тем больше ее излучение сдвинуто в красную сторону спектра («красное смещение») назначит, тем быстрее она удаляется от нас: υ = Hr. Это выражение получило имя закона Хаббла, а коэффициент пропорциональности Н - постоянной Хаббла. Картина похожа на разлет осколков при сильном взрыве. Так появилось понятие Большого Взрыва - исходной точки нашей Вселенной. В настоящее время постоянная Хаббла принимается равной приблизительно 50 км/с на миллион парсеков. Поскольку 1 парсек ≈ 3·10¹³ км, то H ≈ 2·10^-18 с^-1. Обратная Н величина не случайна - это время\[~\frac 1H = \tau_H\] ≈ 5·10¹⁷ с ≈ 20 млрд. лет. И оно имеет определенное отношение к возрасту Вселенной, а будучи умноженным на скорость света, дает оценку современного размера Вселенной: R ~ τ_H c ~ 10²⁶ м.

Так эффект Доплера позволил добраться до самого начала Мира. Почему же древние физики умалчивают о нем (хотя они ближе к Большому Взрыву). Конечно, не только потому, что Доплер тогда еще не родился. По-видимому, это связано с тем, что в то время не было достаточно больших скоростей передвижения, которые позволили бы обнаружить этот эффект. А с лошади что возьмешь?..