Kvant. Ракета на водяном паре

Стасенко А.Л. Ракета на водяном паре, или Как Студент с Луны улетал //Квант. — 2008. — № 3. — С. 38-39.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как-то раз, пия кофе и наблюдая за струйкой пара из чайника. Студент вдруг подумал: что если бы пришлось срочно взлетать с поверхности Луны, а топлива для ракеты уже нет, но остались еще тонна воды и некоторый запас энергии в аккумуляторах? Конечно, согласно закону сохранения импульса, разумно нагреть и испарить воду и ускорить полученный водяной нар до максимально возможной скорости. Но до какой?

И тут начались физические оценки.

Пусть пар воды нагрет до температуры T₀. Молекула воды - трехмерный объект; следовательно, она обладает шестью степенями свободы, Это означает, что положение в пространстве се центра масс можно описать тремя числами, например значениями декартовых координат x, y, z, а ее ориентацию - тремя углами относительно этих осей. Но, как известно, в условиях термодинамического равновесии на каждую степень свободы любого тела (и молекулы, и паровоза) приходится энергия \(~\frac{kT_0}{2}\), где k = 1,38·10^-23 Дж/К - постоянная Больцмана. Это утверждение называется в молекулярной физике и термодинамике теоремой о равнораспределении энергии по степеням свободы. Итак, на одну молекулу воды будет приходиться энергия \(~6 \frac{kT_0}{2} = 3kT_0\), а на целый моль, в котором содержится N_A молекул, - энергия \(~U = N_A \cdot 3kT_0 = 3RT_0\), где N_A = 6·10²³ моль^-1 - число Авогадро, a R = N_Ak = 8,31 Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная.

Предположим далее, что этот моль водяного пара можно как-то - конечно, через сопло ракеты - расширить так, что он охладится почти до абсолютного нуля. Ведь для того и нужно сопло, чтобы тепловую хаотическую энергию молекул превратить в направленное движение молекул, т.е. в кинетическую энергию. Более того, надо учесть еще и работу, которую может совершить расширяющийся газ. Если начальный объем моли равен V₀, то этот «запас работы» ранен \(~p_0V_0 = RT_0\), где p₀ - давление газа.

Термодинамика доказывает, что в процессе ускорения газа в сопле все время будет сохраняться сумма

\(~H = U_0 + p_0V_0 = 3RT_0 + RT_0 = 4RT_0\) .

Она даже имеет специальное название - энтальпия, или теплосодержание. Но по мере ускорения эта начальная энтальпия будет распределяться между растущей кинетической энергией и убывающим теплосодержанием:

\(~H_0 = H + \frac{M \upsilon^2_0}{2} = 4RT_0 + \frac{M \upsilon^2_0}{2}\) , (*)

где Μ - молярная масса (в случае воды М = 0,018 кг/моль). Таким образом, можно было бы ожидать, что при стремлении температуры газа к нулю его скорость должна стремиться к максимальному значению

\(~\upsilon^{(1)}_{max} = \sqrt{\frac{2H_0}{M}} = \sqrt{\frac{8RT_0}{M}}\) .

Если конструктивные ограничения позволяют нагреть пар, например, до температуры T₀ = 1000 К , то значение этой скорости составило бы

\(~\upsilon^{(1)}_{max} = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,31 \cdot 10^3}{0,0018}}\) м/с ≈ 2000 м/с.

Это неплохо. По почему же «бы»? А потому, что по мере расширения и охлаждения пар может оказаться пересыщенным и начнется его конденсация. Значит, нужно учесть и этот процесс.

Однако прежде всего посмотрим, как изменяется давление пара с температурой до точки насыщения (росы). Если тепло ниоткуда не подводится к расширяющемуся пару и никуда не отводится (т.е. стенки сопла теплоизолированы), то работа газа по его ускорению может производиться только за счет убыли его внутренней энергии. (Рассмотренный процесс называется адиабатическим.) Так и запишем:

\(~p \Delta V = -\Delta U\) .

Подставим сюда зависимость внутренней энергии от температуры \(~U = 3RT\) и учтем уравнение состояния \(~p = \frac{RT}{V}\). Получим

\(~\frac{\Delta V}{V} = -3\frac{\Delta T}{T}\) .

Но это значит, что относительное приращение объема в три раза больше относительной убыли температуры. Следовательно, полученное равенство есть дифференциальный аналог соотношения

\(~V \sim T^{-3}\) ,

или (если опять учесть уравнение состояния)

\(~p \sim T^4\) ,

В координатах p, Τ - это парабола четвертой степени (адиабата на рисунке 1), А вот температурная зависимость давления насыщенного пара (кривая насыщения па рисунке 1) - гораздо более резкая. В этом можно убедиться, скажем, при помощи таблиц или построив кривую \(~p_H(T) \sim e^{-\frac{r}{\frac{RT}{M}}}\), приближенно описывающую эту зависимость, где r - удельная теплота испарения (для воды r = 2,3·10⁶ Дж/кг). А это означает, что кривая \(~p_a \sim T^4\) с уменьшением температуры, начиная с Τ = T₀, может пересечь p_H(T) при некоторой температуре T_p, называемой точкой росы.

Рис. 1

Дальше возможны два сценария. Согласно первому из них (1), пар проскочит дальше по адиабате, так что его давление будет все больше и больше отличаться от давления насыщения. По при каком-то значении пересыщения \(~\frac{p_B}{p_H} > 1\) и температуре T_B ситуация станет невыносимой: произойдет бурная спонтанная (самопроизвольная ) конденсация, т.е. образуется множество капель (туман), будет выброшена в несущий газ теплота конденсации, ноток подогреется и вернется к кривой p_H(T). Эта температура T_B называется точкой Вильсона (вспомним о его «туманной камере», сыгравшей важную роль в исследовании ядерных процессов).

Итак, часть пара превратится в жидкие капельки, которые уже не будут участвовать в создании давления на стенки сопла; более того, расширяющемуся пару придется ускорять ату пассивную массу. Явные потери тяги двигателя!

Но возможен и другой сценарий (2). Если как-то заставить пар идти вдоль термодинамически равновесной кривой p_H(T), то «лишняя» теплота конденсации будет выделяться непрерывно, способствуя дальнейшему ускорению, так что в конце концов, при Τ → 0, в кинетическую энергию перейдет и энергия фазового превращения. Поэтому, добавив в правую часть уравнения (*) молярную теплоту конденсации Μr, получим следующую опенку для максимальной скорости;

\(~\upsilon^{(2)}_{max} = \sqrt{\frac{8RT_0}{M} + 2r}\) ≈ 2900 м/с.

Выходит, равновесная конденсация могла бы помочь получить дополнительный импульс тяги!

На рисунке 2 качественно изображено изменение температуры и скорости вдоль оси сопла x, которая для наглядности направлена вниз (ведь ракета стоит вертикально).

Рис. 2

Но как заставить пар идти по второму сценарию? Для этого можно бы «подсыпать» дополнительные (гетерогенные) ядра конденсации - например, микропылинки или ионы (всего этого и так много в реальной воде), на которых пар мог бы «оседать», не дожидаясь большого пересыщения. А еще можно учесть...

Однако, - заметил Студент, - кофе-то остыл. Придется снова повышать его энтальпию!