Kvant. Размышления о массе

Смородинский Я. Размышления о массе //Квант. — 1990. — № 2. — С. 27-30.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Вы читали учебник физики и, конечно, знаете, как можно сравнивать массы двух тел. Пусть вы проделали нужные операции и убедились, что два тела А и В имеют одинаковые массы. Обозначив массы тел через m(А) и m(В), мы можем записать этот результат в форме равенства

\(~m(A) = m(B). \qquad (*)\)

Теперь представим себе, что мы сравнили массу одного из этих тел — например, тела В — с массой третьего тела — тела С — и нашли, что у тела С такая же масса, как у тела В. Иными словами, мы убедились на опыте, что

\(~m(B) = m(C). \qquad (**)\)

Спросим теперь: можно ли из равенств (*) и (**) заключить, что тело С имеет такую же массу, что и тело А, т. е. что

\(~m(C) = m(A)? \qquad (?)\)

Казалось бы, это очевидно. Достаточно сослаться на основной закон логики или даже просто закон арифметики, согласно которым из утверждений (*) и (**) следует справедливость утверждения (?). Но попробуем все же доказать, что если m(А) = m(B) и m(B) = m(C), то m(C) = m(А).

А что значит в физике «доказать»? Это убедиться на опыте в том, что данное утверждение (предположение) не противоречит никаким известным (доказанным, проверенным опытом) законам. При этом надо соблюдать определенные «правила игры». И первое правило — нельзя пользоваться словом «очевидно».

Итак, приступим к доказательству. Произведем мысленно такой опыт (его обсуждал еще Э. Мах). Согнем колечко из проволоки и насадим на него три шарика А, В и С. Массы этих шариков удовлетворяют равенствам (*) и (**). Толкнем теперь шарик А, сообщив ему скорость \(~\vec u\). Если трение отсутствует, то шарик будет двигаться по колечку, не изменяя величины скорости (по модулю), пока он не столкнется с шариком В. После столкновения шарик А остановится, а В начнет двигаться с той же скоростью u (опять же по модулю), с которой до столкновения двигался шарик А. (Если бы мы не знали заранее, что массы А и В одинаковые, то можно было бы об этом узнать, сравнив скорости А и В до и после столкновения — это вполне хороший способ, или же проверив, что шарик А остановился.)

Двигаясь, шарик В через некоторое время столкнется с шариком С. Результат столкновения также предсказуем: В остановится, а С начнет двигаться со скоростью u (ведь m(B) = m(C)).

Следующим событием будет столкновение шарика С с шариком А. Мы не проверили опытом, что m(C) = m(A), а потому не можем утверждать заранее, что А начнет двигаться с той же скоростью u, с которой он двигался сначала. Для такого заключения мы должны привлечь на помощь закон сохранения энергии.

Если бы скорость шарика А после столкновения оказалась больше u, то эту большую скорость А сообщил бы при соударении шарику В и таким способом можно было бы получать энергию из ничего: после каждого столкновения с шариком С шарик А двигался бы все быстрее и быстрее!

Если бы скорость А оказалась меньше u, то шарики со временем остановились бы и их кинетическая энергия бесследно исчезла (напомним, что шарики двигаются без трения). Оба вывода ложны, а следовательно, утверждение о том, что после столкновения с С шарик А будет двигаться со скоростью u, истинно.

Теперь все стало на свои места. Чтобы выполнялся закон сохранения энергии, скорость шарика А после столкновений А → В, В → С, С → А вернулась к своему исходному значению.

Мы видим, что для строгого доказательства почти очевидного равенства масс одной логики не хватает, необходимо привлечь на помощь физический закон — закон сохранения энергии. Без этого нельзя заключить, что m(C) = m(А)!

Но для практических целей строгое определение нужно не везде. В обыденной жизни нам достаточно не столь строгое, но более понятное определение.

Ньютон на первых страницах своей великой книги «Математические начала натуральной философии» объяснял, что такое масса, так: «Количество материи есть мера таковой, пропорциональная плотности и объему ее». Если, не задумываясь, считать, что количество материи обозначает у Ньютона массу, то такое определение представляется лишенным содержания: для того чтобы узнать плотность ρ, надо разделить массу m на объем V, и потому формула \(~m = \rho V\) есть следствие формулы \(~\rho = \frac mV\)! Надо сказать, что многие так и воспринимали сказанное Ньютоном. И это было ошибкой. Надо понять смысл того, что писал Ньютон, а не обвинять его в тривиальной нелогичности. Определяя массу до введения понятия импульса, не зная о существовании закона сохранения энергии (само понятие «энергия» появилось спустя сто с лишним лет), Ньютон оказался в трудном положении. И он нашел единственный выход, придумав свое Definitio.

Сам Ньютон слово масса не употреблял и вкладывал в свое определение другой смысл. В 17-18 веках считалось, что все тела состоят из одинаковых очень маленьких частиц — их называли монадами. Монады все были одинаковыми, а разные тела отличались друг от друга только тем, что монады в них упакованы с разной плотностью. Как выглядят монады, какие у них свойства — узнать из опытов нельзя; но ученых в то время не очень волновали опыты, они считали, что законы природы можно открыть одними рассуждениями. Теорией монад занимались Лейбниц, Эйлер и другие ученые.

Крупным специалистом по монадам считался немецкий философ Христиан Вольф, популяризатор идей Лейбница. По учебникам Вольфа училась почти вся Европа. Ломоносов перевел один из учебников Вольфа, и это был первый учебник физики в России. Тогда о монадах все знали и, говорят, даже придворные дамы при Прусском дворе любили о них рассуждать. Поэтому для читателя 18 века определение Ньютона было исполнено смысла.

Теория монад, конечно, давно ушла из науки. В 19 веке уже говорили об атомах с разными химическими и физическими свойствами, но, как это ни удивительно, в нашем 20 веке полезно вернуться к идее Ньютона и говорить, что масса тела пропорциональна количеству нуклонов — нейтронов и протонов, в нем содержащихся, — или даже пропорциональна объему тела и «нуклонной плотности» — среднему числу нуклонов в 1 см².

Какие возражения может вызывать такое определение? Масса нейтрона больше, чем масса протона, примерно на 0,2%. Можно, конечно, учесть это различие, считая нейтроны и протоны отдельно; но, с другой стороны, ошибка в десятые доли процента нас во многих случаях не беспокоит (по крайней мере, при решении школьных задач).

Более принципиальная ошибка связана с тем, что нуклоны в ядрах «легче» нуклонов в свободном состоянии. Дело в том, что энергия связанной системы частиц (ядра атома) меньше суммарной энергии этих частиц в свободном состоянии. Чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны, нужно затратить энергию, равную разности этих энергий (ее называют энергией связи). А поскольку между энергией и массой существует связь, выражаемая формулой Эйнштейна — \(~E = mc^2\), — разность энергий означает разность масс. Значит, масса атомного ядра меньше суммы масс составляющих его нуклонов. Это уменьшение массы достаточно велико и составляет почти 1% (точнее, 0,6—0,8 %).

Мы знаем, что атомная масса водорода равна 1,0078 атомных единиц массы, а масса атома основного изотопа урана равна 238 а. е. м., т. е. меньше, чем сумма масс 92 протонов и 146 нейтронов, из которых состоит ядро этого изотопа. Можно сделать поправку на «энергию связи», но не стоит усложнять задачу.

Итак, определение Ньютона — отнюдь не «пустое». Правильно понятое, оно определяет массу с ошибкой меньше процента.

Но мы еще не кончили наш рассказ.

Масса, о которой мы говорим, измеряется не в килограммах и не в граммах — единицей измерения служит атомная единица массы (напомню, что а. е. м. определяется как 1/12 массы атома углерода ¹²С). Перевести атомные единицы массы в килограммы оказалось не так легко, хотя никаких фундаментальных трудностей в этой части задачи, конечно, нет. Идея измерения самая простая — надо поделить массу (в килограммах) образца элемента на число атомов в этом образце. Трудности и состоят в том, что надо «поштучно» пересчитать атомы. Такая точность сегодня необходима и физикам, и химикам.

Мы не будем подробно рассказывать о хитроумных опытах, в которых производились подсчеты. Скажем только, что для этого изготовили очень хороший кристалл, измерили очень точно его размеры, потом с помощью рентгеновского анализа определили расстояние между атомами... Каждая операция потребовала большой изобретательности — ведь речь шла об очень большой точности.

В проблеме массы это была самая трудная часть.

Еще одно замечание в заключение.

В популярных книжках, да и в учебниках бытует понятие, от которого давно пора отказаться. От него пользы нет никакой, и живет оно только по старой привычке. Понятие это — масса движущегося тела, которая растет со скоростью. В действительности массу движущегося тела никто не измеряет, измеряют его энергию (например, энергию протона в ускорителе). Массу же вычисляют по формуле \(~m = \frac{E}{c^2}\). Физики давно такую массу не используют и ведут все вычисления только с энергией. Массой же теперь называют только «массу покоя» — массу покоящейся частицы. И в таблицах элементарных частиц собраны значения именно масс покоя (хотя слово «покоя» и опущено).

Постарайтесь забыть, что «масса растет со скоростью», — эта фраза сейчас имеет мало смысла. Со скоростью увеличивается энергия.