Kvant. Пузырьковые системы

Скоробогатый М. Механика пузырьковых систем //Квант. — 1994. — № 5. — С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Многие частные задачи по физике допускают обобщения, что зачастую приводит к открытию интересных фактов и закономерностей. Вот — конкретный пример.

Рис. 1

Общеизвестна задача о поведении системы из двух мыльных пузырьков с разными радиусами, выдутых на концах соломинки (рис. 1). Ответ прост — меньший пузырек со временем уменьшается, а больший — увеличивается до тех пор, пока радиусы кривизны пузырьков не сравняются.

Обобщим задачу. Предположим, что имеется система из n пузырьков, выдутых на n соломинках и связанных между собой. Как будет вести себя такая система, предоставленная самой себе?

Сразу ответить на такой вопрос сложно, поэтому сначала конкретизируем ситуацию и рассмотрим трехпузырьковую систему, с диаметром трубок много меньшим начальных диаметров пузырьков. Будем считать трубки одинаковыми (по сечению и длине) и длинными, а вещество в трубках несжимаемым. Для полной ясности картины предположим, что течение в трубках ламинарное. Пусть r₁, r₂, r₃ — радиусы пузырьков, p₀ — внешнее давление, p₁, p₂, p₃ — давления в пузырьках, р — давление в узле, т.е. в месте соединения трубок (рис. 2).

Рис. 2

Не будем сразу бросаться в омут математических выкладок, а порассуждаем физически. Избыточное давление под изогнутой поверхностью жидкости, обусловленное силами поверхностного натяжения, тем больше, чем меньше радиус пузырька. Иными словами,

\(~p_1 - p_0 \sim \frac{1}{r_1}, p_2 - p_0 \sim \frac{1}{r_2} , p_3 - p_0 \sim \frac{1}{r_3}\) .

Тогда очевидно, что вещество будет переходить из пузырька, где давление больше, в пузырек, где оно меньше. При этом больший пузырек будет расти, а меньший — уменьшаться. А что же будет со средним пузырьком?

Теперь призовем на помощь математику. Известно, что если течение по трубе ламинарное, то количество переносимого вещества в единицу времени пропорционально разности давлений на концах трубы (закон Пуазейля). Учтем, что количество вещества, вошедшего в узел (см. рис.2), равно количеству вышедшего из него вещества, и получим:

\(~p - p_1 + p - p_2 + p - p_3 = 0\) .

откуда

\(~p = \frac{p_1 + p_2 + p_3}{3}\) .

Пойдем дальше. Объем первого пузырька \(~V_1 \sim r^3_1\), поэтому \(~\Delta V_1 \sim r^2_1 \cdot \Delta r_1\). С другой стороны, \(~\Delta V_1 \sim \Delta m_1\), где Δm₁, — масса ушедшего из первого пузырька (или пришедшего туда) вещества (предполагается, что плотность вещества неизменна). Но

\(~\frac{\Delta m_1}{\Delta t} \sim p - p_1 \sim p_2 + p_3 - 2p_1\) ,

или

\(~\frac{\Delta m_1}{\Delta t} \sim \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} - \frac{2}{r_1}\) .

Итак,

\(~r^2_1 \frac{\Delta r_1}{\Delta t} \sim \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} - \frac{2}{r_1}\) .

Переходя к производной, с точностью до коэффициента, можем записать:

\(~r^2_1 r'_1 \sim \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} - \frac{2}{r_1}\) .

Аналогично получим уравнения для двух других пузырьков и объединим все три уравнения в систему:

\(~\left\{\begin{matrix} r^2_1 r'_1 \sim \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} - \frac{2}{r_1} \\ r^2_2 r'_2 \sim \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3} - \frac{2}{r_2} \\ r^2_3 r'_3 \sim \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} - \frac{2}{r_3} \end{matrix}\right.\) .

Проверим, описывает ли эта система качественные предположения, сделанные раньше. Пусть для определенности r₁ > r₂ > r₃. Тогда из первого уравнения системы находим

\(~\frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} - \frac{2}{r_1} > 0\) , т.е. r’₁ > 0,

из третьего —

\(~\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} - \frac{2}{r_3} < 0\) , т.е. r’₃ < 0.

А это и означает, что больший пузырек растет, а меньший уменьшается.

Далее, из второго уравнения получаем, что

если \(~r_2 > \frac{2 r_1 r_3}{r_1 + r_3}\) , то r’₂ > 0,

т.е. r₂ увеличивается.

Если же \(~r_2 < \frac{2 r_1 r_3}{r_1 + r_3}\) , то r’₂ < 0,

т.е. r₂ уменьшается. Радиус

\(~r_2 = \frac{2 r_1 r_3}{r_1 + r_3}\),

называют радиусом инверсии и обозначают R_инв.

Рис. 3

Результаты компьютерного моделирования зависимости радиусов пузырьков от времени в трехпузырьковой системе изображены на рисунке 3.

Рис. 4

Интересно, что случай трехпузырьковой системы довольно просто проверить экспериментально, воспользовавшись системой «двумерных» пузырьков (рис. 4). Если на стекле выложить канавки из пластмассовых палочек и налить в них масло, а на стекло воду, то происходящие при этом механические изменения в пузырьковой системе полностью соответствуют изменениям, предсказанным теоретически.

Что же дальше — остановиться или продолжать исследования? Решать вам. Только имейте в виду, что неограниченное увеличение количества пузырьков в системе приводит к пене, а это уже совсем другая физика.