Kvant. Прыжок

Стасенко А.Л. Как подпрыгнуть выше крыши //Квант. — 1999. — № 5. — С. 30-31.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Выше носа не прыгнешь.

Устаревший экспериментальный факт

Что значит подпрыгнуть? Это сложнейший процесс, сопровождающийся приседанием, распрямлением, отталкиванием носками... и в конце концов приземлением - по возможности «мягким». О прыгании написаны, вероятно, сотни или даже тысячи диссертаций учеными медицинских и физкультурных наук. А сколько рекордов!

У нас более скромная цель: всего лишь подпрыгнуть выше крыши; поэтому нужна простая физическая модель.

Слово «подпрыгнуть» означает, очевидно, отсутствие разбега. Предположим, мы можем в прыжке поднять свой центр масс на высоту y_m ~ 1 м над обычным положением (стоя). Поскольку движение происходит в постоянном поле тяготения Земли, легко найти начальную скорость (в момент отрыва):

\(~\upsilon_0 = \sqrt{2gy_m}\) ~ 4,5 м/с ,

и время полета (от отрыва до касания земли):

\(~t_0 = 2\sqrt{\frac{2y_m}{g}}\) ~ 1 с .

Здесь мы применили хорошо известные законы для движения точечной массы с постоянным ускорением и, конечно, воспользовались очень приятным упрощающим предположением: «сопротивлением воздуха пренебречь».

Но как наш центр масс приобретает скорость υ₀? Присев, мы затем распрямляемся в течение некоторого времени τ за счет энергетических затрат собственного организма, так что к моменту отрыва от земли наше тело массой m₀ приобретает кинетическую энергию \(~\frac{m_0 \upsilon^2_0}{2}\). Этот процесс можно изобразить качественно в виде штриховых кривых на рисунке 1.

Рис. 1

Но этак слишком высоко не прыгнешь. И тут приходит мысль о Винни-Пухе, который догадался использовать воздушный шарик, чтобы добраться до меда на дереве. Последуем его примеру.

Наполним шар легким газом - водородом плотностью \(~\rho_v = \frac{2}{29} \rho_0\), где ρ₀ - плотность воздуха. Масса газа в объеме шара равна \(~m_v = V \rho_v = \frac 43 \pi r^3 \rho_v\), где r — радиус шара. Но и оболочка шара обладает какой-то массой, а именно \(~m_s = 4 \pi r^2 \sigma\), где σ - поверхностная плотность оболочки. Поэтому теперь при распрямлении придется разгонять не только собственную массу, но еще и массу оболочки m_s, и массу водорода в оболочке m_v. И это еще не все. Оказывается, при ускорении любого тела в воздухе (любом другом газе или жидкости) приходится приводить в ускоренное движение и определенную массу окружающей среды - так называемую присоединенную массу. Этот факт качественно отражен на рисунке 2: при перемещении шара вверх закрашенный вверху объем воздуха должен как-то очутиться внизу. Если предположить, что наш шарик не деформируется, эта присоединенная масса оказывается в точности равной половине массы воздуха в объеме шарика\[~m_* = \frac{\rho_0 V}{2}\].

Рис. 2

Таким образом, желающему подпрыгнуть вместе со всем этим устройством нужно будет ускорить суммарную массу m = m₀ + m_v + m_s + m_*. Это явно не легче. Да еще придется преодолевать силу сопротивления воздуха шарику, которой теперь уже никак пренебречь нельзя. Эта сила сопротивления пропорциональна площади поперечного сечения шарика, плотности воздуха и квадрату скорости движения. Это легко устанавливается из соображений размерности, а безразмерный коэффициент пропорциональности можно измерить экспериментально. В результате получим

\(~F_c \approx \frac{\pi}{4} \rho_0 r^2 \upsilon^2\)

(проверьте, по крайней мере, размерность). И конечно, надо добавить еще подъемную силу Архимеда, равную ρ₀Vg.

Итак, запишем закон движения (второй закон Ньютона) прыгуна в воздухе:

\(~ma = - (m_0 + m_v + m_s)g + \rho_0 Vg - \frac{\pi}{4} \rho_0 r^2 \upsilon^2\) . (1)

Но, подобно ситуации с Винни-Пухом, в состоянии покоя, когда скорость и ускорение равны нулю, сила Архимеда должна уравновешивать силу притяжения Земли, так что уравнение (1) примет вид

\(~\frac 43 \pi r^3 (\rho_0 - \rho_v) = m_0 + 4 \pi r^2 \sigma\)

(любопытно, что при этом условии суммарная инертная масса, которая будет играть роль при ускоренном движении, становится равной 3m_*).

Если заданы m₀ и σ, получаем кубическое уравнение для определения радиуса шара (желающий да решит его). В частности, отсюда легко найти наименьшее значение этого радиуса. Предположим, что оболочка невесома: σ = 0. Тогда

\(~r_{min} = \sqrt[3]{\frac{3m_0}{4 \pi (\rho_0 - \rho_v)}}\) .

Принимая массу школьника или студента (перед обедом) m₀ = 50 кг, а плотность воздуха ρ₀ = 1 кг/м³ , получим

r_min ≈ 2,3 м .

Очевидно, что для подъема весомой оболочки придется увеличить объем шара, добавив еще легкого газа.

Если предположить, что в любом случае прыгун располагает одним и тем же запасом энергии

\(~\frac{m_0 \upsilon^2_0}{2} = \frac{m \upsilon^2_1}{2}\) ,

то в момент отрыва от земли будет достигнута явно меньшая скорость (см. рис.1,а):

\(~\upsilon_1 = \upsilon_0 \sqrt{\frac{m_0}{m}} < \upsilon_0\) .

И даже меньшая этой, если учесть еще и затраты энергии на преодоление сопротивления воздуха в процессе распрямления. И вот мы оттолкнулись от земли и движемся вверх. В уравнении движения осталась только сила сопротивления воздуха:

\(~ma = -\frac{\pi}{4} \rho_0 r^2 \upsilon^2\) . (2)

Но что такое ускорение? Это изменение скорости со временем\[~a = \frac{\Delta \upsilon}{\Delta t}\]. А что такое скорость? Это изменение перемещения со временем\[~\upsilon = \frac{\Delta y}{\Delta t}\]. Отсюда для ускорения получим выражение

\(~a = \upsilon \frac{\Delta \upsilon}{\Delta y}\) .

Подставим его в уравнение (2) и сократим на υ:

\(~\frac{\Delta \upsilon}{\Delta y} = -\frac{\pi}{4} \frac{\rho_0 r^2}{m} \upsilon\) .

Можно переписать это уравнение так, чтобы обе его части стали безразмерными:

\(~\frac{\Delta \upsilon}{\upsilon} = -\frac{\Delta y}{y_*}\) , (3)

где величина \(~y_* = \frac{4m}{\pi \rho_0 r^2}\) имеет, очевидно, размерность длины. И очевидно, что это не случайный масштаб: он характеризует темп изменения скорости с расстоянием. На этом расстоянии скорость заметно изменяется - например, в два раза; точнее, в три раза; еще точнее, в 2,7 раза. Но сейчас это не столь важно. Можно проанализировать уравнение (3) и не решая его.

Прежде всего видно, что скорость убывает с высотой: об этом говорит знак «минус». Далее видно, что эта убыль скорости тем меньше, чем меньше сама скорость. Когда же скорость стремится к нулю, то и ее «приращение» (отрицательное) тоже стремится к нулю. Значит, график υ(y) подходит к оси у все ближе, никогда не достигая ее при любом конечном значении y (см. сплошную кривую на рисунке 1,а). Получается, что мы все время будем двигаться вверх, правда все медленнее, но нигде не останавливаясь. В итоге зависимость высоты от времени будет иметь вид сплошной кривой на рисунке 1,б.

Вспомним, однако, что плотность атмосферы уменьшается с высотой; значит, будет уменьшаться и сила Архимеда, так что рано или поздно мы вернемся на землю. Кроме того, при очень малых скоростях изменится закон сопротивления воздуха. Сила станет пропорциональной уже первой степени скорости и так называемой вязкости воздуха, которой мы до сих пор пренебрегали. Но это произойдет при скоростях движения порядка микрометров в секунду. Эта численная оценка получается в предположении абсолютно спокойной атмосферы, а так не бывает. Воздух постоянно находится в движении (горизонтальный ветер, вертикальные перемещения теплого воздуха вверх и холодного вниз - так называемая конвекция). Эти крупномасштабные движения сопровождаются мелкими завихрениями (турбулентностью), в результате чего вязкость движущегося воздуха гораздо больше, чем спокойного, и к тому же непостоянна в пространстве и во времени. Все эти явления наши вдумчивые читатели смогут учесть в дальнейшем - в своих научных работах.

А сейчас, чтобы нам уверенно вернуться вниз, надо отказаться от точного уравновешивания силой Архимеда суммарной силы тяжести своего тела и шара и положить в карман хотя бы спичечный коробок или лучше бутерброд (водород горюч!). Этот небольшой перегрузок позволит кривой υ(y) пересечь ось y на некоторой высоте H, превосходящей заданную высоту (например, здания МГУ на Воробьевых горах); значит, начнется движение вниз (штрих-пунктирные линии на рисунке 1). А легкий ветерок перенесет нас через дом, реку, лес... Это уже похоже на приятный прыжок во сне. Так что прыгайте на здоровье!