Kvant. Принцип неопределенности

Стасенко А.Л. Бог что-то скрывает от нас, или О принципах неопределенности //Квант. — 1993. — № 9. — С. 63-66.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Боги людям открыли не все.

В поиск пустившись, люди сами познали немало.

Ксенофан

Я погружаюсь в глубину и становлюсь перед

тайной мира, тайной всего, что существует.

И каждый раз с проникающей меня остротой

я ощущаю, что существование мира не может

быть самодостаточным, не может не иметь за

собой в еще большей глубине Тайны,

таинственного смысла.

Николай Бердяев

Казалось бы, что может быть проще квадрата с диагональю или окружности с диаметром — любой ребенок начертит их от руки (рис. 1). Однако же, обо всем этом написано столько, что можно составить отдельную энциклопедию, например, об иррациональности чисел π и \(~\sqrt 2\). Ну, что стоило Создателю устроить природу так, чтобы отношение длины окружности к ее диаметру было равно точно трем; ну, пусть точно 3,14 или даже 3 с сотней (или пусть миллионом!) знаков после запятой — но чтобы точно!? Ан нет ученые доказали, что число π содержит бесконечное число знаков после запятой (и назвали это свойство несоизмеримостью длины окружности и диаметра); придумали стихи, чтобы запомнить хотя бы десяток этих знаков; указали процедуры, при помощи которых можно найти любое заданное число знаков, научили этим процедурам современные вычислительные машины, а некоторые подвижники еще до появления машин потратили всю свою жизнь, чтобы найти несколько сотен знаков, — столь жгуче было их желание узнать, что же там дальше. Но сколько ни вычисляй — хоть в течение всего времени, отпущенного на существование человечества, — все равно конца у числа π не будет.

Рис. 1

Для чего же так устроен мир? Какая тайна спрятана в круглом сечении соснового бревна или коринфской колонны? И разве не возмутительно, что при всей мощи современной науки мы так и не можем точно сказать, во сколько же раз окружность длиннее своего диаметра? (Удивительно, что математики при этом могут спокойно спать.)

Но может быть, в физике все точно? Конечно, теперь все понимают, что физика — всегда приближенная модель мира. Конечно, любое измерение делается с ошибкой, но проходят годы, столетия, и измерения становятся все более точными. Так, может быть, есть надежда, что пусть не скора, но хотя бы когда-то в принципе можно будет точно сказать, например, где в данный момент на оси X находится материальная точка и какова ее скорость υ? Ведь это же самые азы кинематики.

Оказалась, именно принципиально это и невозможно — и тут запрет!, о чем говорит принцип неопределенности Гейзенберга:

\(~\Delta x \cdot \Delta p \ge h\) . (1)

Здесь Δx — неопределенность координаты (в м), Δp — неопределенность импульса (в Н·м), h ~ 10^-34 Дж·с - постоянная Планка.

Рис. 2

Таким образом, согласно принципу неопределенности, нельзя абсолютно точно указать в плоскости р, х (импульс, координата) положение центра масс С тела, движение которого мы исследуем. Чем точнее вы хотите измерить координату х точки (т.е. \(~\Delta x \to 0\)), тем хуже вы знаете ее импульс (\(~\Delta p \to \infty\)), и наоборот. Можно лишь сказать, что р и х для точки С находятся где-то внутри фигуры с площадью не меньшей чем постоянная Планка h (рис. 2). Да, эта площадь мала, что «не мешает нам жить», когда речь идет о самолетах, снарядах, метательных дисках и шариках для пинг-понга. Но разве не настораживает, не волнует вас то, что такое ограничение существует принципиально? Кто-то сказал как-то: «Я, по-видимому, никогда не побываю в Австралии; но если вы мне запретите бывать там, я немедленно почувствую себя несчастным».

Давайте перепишем неравенство (1) для фотона в другом виде. Поскольку для него \(~p = \frac{h \nu}{c}\), где c — скорость света, а ν — частота, характеризующая «цвет» фотона, то \(~\Delta p = \frac{h \Delta \nu}{c}\) (ведь h и c — постоянные, так что неопределенность импульса фотона может быть связана только с неопределенностью его частоты). Теперь сократим обе части на h и получим

\(~\frac{\Delta x}{c} \cdot \Delta \nu \ge 1\), или \(~\Delta t \cdot \Delta \nu \ge 1\). (2)

Здесь мы учли еще, что Δx = cΔt.

Итак, получается, что чем меньше время излучения фотона (\(~\Delta t \to 0\)), тем больше неопределенность его частоты (\(~\Delta \nu \to \infty\)}. Например, мы видим красный свет рекламы, получающийся в результате излучения возбужденных атомов неона. Частота его квантов ν₀ ~ 5·10¹⁴ Гц, а время излучения каждого атома Δt ~ 10^-9 с, поэтому неопределенность частоты не меньше чем \(~\Delta \nu \sim \frac{1}{\Delta t}\) ~ 10⁹Гц — миллиарды герц! Это, конечно, не так много — всего порядка миллионных долей от самой частоты\[~\frac{\Delta \nu}{\nu_0} \sim 10^{-6}\]. И все же оказывается, что этот свет не совсем красный, а содержит бесконечный набор других частот, в основном из найденного интервала Δν (рис. 3).

Рис. 3

То же самое соотношение (2) верно и для музыкальных нот (только теперь под с нужна понимать скорость звука в воздухе): как бы музыкант ни старался получить совершенно чистый звук, например ноту «ля», все равно выйдет нечто не совсем совершенное — в принципе получится целый набор частот, даже если музыканту удастся заставить струну звучать целые сутки или год.

А геометрия Евклида? Казалось бы, вот где классически непорочный, почти мраморный образец строгости! Так нет же — и тут оказалась своеобразная неопределенность. И дело даже не в том, что люди, строившие эту геометрию, сформулировали пятый постулат (о параллельности прямых) как-то раздражающе неуклюже, что и привело к появлению неевклидовых геометрий (Лобачевского, Римана,...). Тут дело в том, что по образцу евклидовой геометрии стали пытаться строить и другие дедуктивные науки, стараясь придать им ту же «строгость».

Казалось, что можно сформулировать такой набор нескольких высказываний (систему аксиом), что все остальные высказывания (в тех же терминах, в которых сформулированы сами аксиомы) можно или подтвердить или опровергнуть. Тогда такая хорошая система аксиом называлась бы полной и непротиворечивой (два качества «хорошести»).

Чтобы пояснить эти качества, прибегнем к простенькой аналогии. Известно, чта на плоскости любой вектор \(~\vec a\) можно представить в виде двух составляющих по осям координат:

\(~\vec a = a_1 \vec e_1 + a_2 \vec e_2\) . (3)

где векторы \(~\vec e_1\), \(~\vec e_2\) взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Если вы попытаетесь расширить эту систему векторов, именуемую базисом, добавив к ним еще один вектор \(~\vec e_3\), то вам скажут: извините, в двухмерном пространстве это невозможно (рис. 4). Предлагаемый вами вектор \(~\vec e_3\) можно разложить по уже заданному правилу (3), и в этом смысле набор векторов \(~\vec e_1\), \(~\vec e_2\) является полным. Если же вы будете очень настаивать, то, пожалуйста, добавляйте ваш \(~\vec e_3\), но это будет означать, что вы переходите уже в другое, трехмерное, пространство (или, аналогично, строите другую систему аксиом).

Рис. 4

Итак, что же оказалось в пространстве высказываний (если можете, вообразите себе такое пространство)? В 1931 году была доказана теорема Гёделя, смысл которой (очень неточно, но, возможно, понятно) можно передать так: не существует одновременно полной и непротиворечивой системы аксиом. (Не напоминает ли это принцип неопределенности (1) — только не в пространстве р, х, а в пространстве «полнота — непротиворечивость»?!) Если вы зафиксируете число аксиом, то рано или поздно в этой системе придете к утверждению, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть. И уж если очень захотите справиться с этим высказыванием, то придется расширить первоначальную систему аксиом.

Чтобы развлечься, можно вспомнить старый анекдот. Иван привел Романа к мировому судье с жалобой на то, что Роман увел у него единственную корову. «Ты помнишь, г-н Судья, эту корову, — ты еще пил от нее молоко», — сказал Иван. «Да, ты прав, корова твоя», — сказал Судья. «Но, г-н Судья, ты знаешь, у меня четырнадцать детей, им нужно молоко, корова моя», — сказал Роман. «И ты прав», — сказал, подумав, судья. Присутствовавший при этом Секретарь возразил: «Но, господин Судья, они не могут быть правы оба — ведь корова одна». Судья крепко подумал и сказал Секретарю: «И ты прав».

Это иллюстрация того, как Судья допустил выход в другое пространство (построил вектор \(~\vec e_3\), или расширил систему аксиом), уйдя от привычной формальной логики, где действует закон исключенного третьего (или—или; кто не с нами, тот против нас), от диалектики в триалектику, где нет противопоставления черное—белое, друг—враг и, следовательно, не нужны судьи, «революционная непримиримость», концлагеря, — туда, где торжестует древневедическая Троица (Агни, Вайю, Сурья), индуистская Тримурти (Кришна, Шива, Вишну) или христианская святая Троица.

Но при чем здесь число п, принцип неопределенности и теорема Гёделя? А при том, что в них (и, конечно, во многое другое) вложен, кажется, какой-то сокровенный смысл, освобождающий от железной необходимости, но освобождающий не совсем (при полной неопределенности был бы, по-видимому, хаос), а чуть-чуть, в виде какого-то намека. Что-то вроде того «оконца», через которое П.Флоренский пытался заглянуть по ту сторону ношего мира. Или тех же обещаний у святого Апостола Павла: «Теперь мы видим как бы сквозь тусклое стекло, гадательно, тогда же лицом к лицу; теперь я знаю отчасти, а тогда познаю...» (Первое послание к коринфянам, 13:12).

«Расчеты теоретиков говорят о том, что Вселенная, возможно, состоит из двух наложенных один на другой, очень слабо связанных, почти прозрачных друг для друга миров... вполне возможно, что по соседству с нами, в том же пространстве — времени, существует «параллельный» мир- невидимка, в точности такой же, как наш, а может быть, и совсем не похожий...» (В.А.Барашенков — см. А.С.Кузовкин. «Взгляд ниоткуда». МНПП «Янга-центр», 1991,с.31).

«... мир то и дело расщепляется на громадное число копий его самого.... Соглосно теории Эверетта, наблюдаемая Вселенная — это лишь один пример бесконечного мно- гооброзия реально существующих вселенных» (П.Девис. «Случайная Вселенная». М.: Мир, 1985, с. 149).

Итак, что же получается — теперь всякий способный школьник, опираясь на принципы неопределенности, имеет право изучать предметы весьма приблизительно, дескать, сам Бог велел? «Отнюдь!», — как сказал один литературный герой. Наоборот, нашему способному читателю нужно попытаться узнать что-либо как можно более точно — и тогда будет достигнут некий Порог, перед которым возникает ощущение таинственного чуда. И вдуматься — зачем поставлен этот Порог и что скрыто за ним: возможность дальнейшего шага или непреодолимый принцип запрета.