Kvant. Принцип Ферма

Кикоин А.К. Принцип Ферма //Квант. — 1984. — № 1. — С. 36-38.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Основу геометрической оптики, которая оперирует понятием «световой луч», составляют три закона — законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. В давние времена, когда были сформулированы эти законы, вопрос о природе света еще не стоял, и за понятием «луч» не скрывалось ничего физически реального.

В 20-х годах XIX в. было выяснено, что свет — это волна. Луч света стал просто прямой, перпендикулярной волновой поверхности и указывающей направление распространения световой волны. На основе волновых представлений можно легко получить законы отражения и преломления света. Так это и сделано в учебнике «Физика 10» (§§ 37 и 65). Однако в конце XIX — начале XX вв. стало ясно, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами тоже. С точки зрения корпускулярной (квантовой) природы свет представляет собой поток элементарных световых частиц — фотонов. В однородной среде луч можно считать траекторией движения фотонов.

Но интересно, что задолго до этого был сформулирован удивительный принцип, из которого прямо следуют все основные законы распространения света. Принцип этот, найденный французским математиком Пьером Ферма (1601-1665) около 1660 года, гласит: из всех возможных путей между двумя точками свет проходит по тому, по которому время прохождения наименьшее.

Из принципа Ферма (так его обычно называют) следует, что в однородной среде (в такой среде скорость света всюду одинакова) свет должен распространяться прямолинейно: прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, следовательно, и время распространения — наименьшее.

Покажем теперь, что закон отражения света — тоже прямое следствие принципа Ферма.

Закон отражения света

Пусть ММ — плоское зеркало. В точке А находится источник света, и нас интересует, по какому пути свет, отразившись от зеркала, приходит из точки А в точку В (рис. 1).

Рис. 1

На рисунке 1 показаны некоторые из возможных путей — АА’В, АСВ, АВ’В. Таких «маршрутов» для света можно изобразить бесчисленное множество. Они различны по длине, так что на их прохождение требуется различное время. Оно зависит от того, в какую точку зеркала упадет луч и, отразившись, направится в В.

Из простых геометрических соображений легко выяснить, куда именно должен упасть луч, чтобы время его прохождения по «маршруту» точка А — зеркало — точка В было наименьшим. На рисунке 2 представлен один из возможных путей — АСВ.

Рис. 2

Опустим из точки В перпендикуляр на зеркало ММ и продолжим его по другую сторону зеркала до точки В’, отстоящую от зеркала на расстоянии |ОВ’| = |ОВ|. Проведем линию СВ’. Получившиеся треугольники СОВ и СОВ’ равны друг другу, так как они прямоугольные, сторона ОС у них общая и |ОВ| = |ОВ’|. Следовательно, |CВ| = |CВ’|, откуда следует, что длина пути луча АСВ равна сумме длин от А до точки С падения луча на зеркало и от этой точки до токи В. Ясно, что эта сумма будет наименьшей, если точка С будет лежать на прямой, соединяющей точки А и В’ (рис. 3).

Рис. 3

Тогда и сумма длин |АС| и |СВ|, то есть длина всего пути света, будет наименьшей, Наименьшим будет и время прохождения светом этого пути.

Из рисунка 3 видно, что ∠ ВСО = ∠ В’СО (треугольник ВСВ’ равнобедренный, поэтому СО — биссектриса угла при вершине), а ∠ В’СО = ∠ АСМ (как вертикальные). Это значит, что углы наклона падающего и отраженного лучей к зеркалу равны друг другу. В этом и состоит закон отражения света. Принято, однако, отсчитывать углы не от плоскости зеркала, а от нормали к ней в точке падения. Но ясно, что если равны углы i и i’, то равны и углы α и γ - Закон отражения обычно записывается в виде

\(~\alpha = \gamma\) .

Закон этот, как мы видим, — следствие того, что свет как бы «выбирает» путь, который проходится за наименьшее время. Нетрудно видеть, что из принципа Ферма следует и утверждение, что луч падающий, луч отраженный и нормаль к зеркалу в точке падения лежат в одной плоскости. Если бы это было не так, то путь был бы длиннее и требовал бы большего времени.

Отметим еще одну важную особенность, связанную с отражением света от зеркала. Если в точке А (см. рис. 3) находится источник света, а в точке В — глаз, то глаз воспримет свет так, как будто бы источник света находится не в А, а в А’, а зеркала вовсе нет. Если зеркало убрать, а источник перенести из А в А’, то глаз не заметит такой замены.

Закон преломления света

Из принципа Ферма можно получить и закон преломления света (точнее — световых лучей). Здесь речь идет о переходе света из одной среды (среда I на рисунке 4) в другую (среда II) через границу раздела между ними. Различие сред состоит в том, что в них различны скорости распространения света.

Рис. 4

Мы рассмотрим случай, когда среда I — это вакуум, в котором скорость света равна с, а вторая среда — какое-то прозрачное вещество (например, стекло, вода и т. д.), в котором скорость света υ меньше, чем с : с > υ.

Между точками А в среде I и В в среде II также мыслимы бесчисленное множество путей, но, согласно принципу Ферма, свет «выбирает» тот из них, для прохождения которого нужно наименьшее время. Ясно, например, что путь АА’В не есть такой путь, потому что здесь свет проходит короткое (кратчайшее) расстояние в среде с большой скоростью и большое расстояние в среде с малой скоростью. Быть может, выгоднее путь АВ’В? Здесь свет в среде с малой скоростью проходит минимальную часть пути, а наибольшая часть приходится на среду с большой скоростью. Но есть ли именно этот путь самый выгодный в смысле экономии времени? Может быть, выгоднее несколько удлинить путь в среде II с тем, чтобы сократить путь в среде I? Словом, нужно найти, в какой точке свету (лучу) нужно пересечь границу раздела двух сред, чтобы время прохождения от А к В было наименьшим. Ясно, что эта точка лежит где-то между А’ и В’ (включая, возможно, и самую точку В’).

Обозначим расстояние между А’ и В’ через d. Если нужная нам точка С пересечения границы раздела находится на расстоянии х от А’, то от В’ она отстоит на расстоянии d — х (см. рис. 4). Путь АС, проходимый светом в среде I, равен \(~\sqrt{y^2_1 + x^2}\), а время прохождения этого пути

\(~t_1 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c}\) .

Путь СВ, проходимый светом в среде II, равен \(~\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}\), а время, нужное для прохождения этого пути,

\(~t_2 = \frac{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}{\upsilon}\) .

Общее время t определяется равенством

\(~t = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{y^2_1 + x^2}}{c} + \frac{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}{\upsilon}\) . (1)

Время t зависит только от х — координаты точки падения луча, так как величины y₁, y₂, с, υ и d — постоянные, то есть одинаковые при всех значениях х. Вот нам и нужно найти, при каком значении х время t будет наименьшим. Средствами обычной алгебры эту задачу решить нельзя. Чтобы ее решить, нужно воспользоваться тем, что при том значении х, при котором t минимально, производная функции, стоящей в правой части уравнения (1), равна нулю.

Это приводит нас к такому условию для х:

\(~\frac{x}{c\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \frac{d - x}{\upsilon \sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}}\) . (2)

Из рисунка 4 видно, что

\(~\frac{x}{\sqrt{y^2_1 + x^2}} = \sin \angle A'AC = \sin \alpha ; \frac{d - x}{\sqrt{y^2_2 + (x - d)^2}} = \sin \angle CBB' = \sin \beta\) .

где α — угол между падающим лучом и нормалью к границе раздела в точке падения (угол падения) и β — угол между этой нормалью и преломленным лучом (угол преломления). Условие (2) принимает поэтому вид:

\(~\frac{\sin \alpha}{c} = \frac{\sin \beta}{\upsilon}\) или \(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{c}{\upsilon}\) .

В этом и заключается закон преломления для нашего случая: отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения света в вакууме и в среде, которая с ним граничит. Отношение \(~\frac{c}{\upsilon}\) — величина постоянная, характерная для данной среды. Она называется показателем преломления вещества и обозначается буквой n, так что

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n\) .

В общем случае, когда свет переходит из произвольной среды, в которой скорость света равна υ₁, в среду со скоростью света в ней υ₂, закон преломления имеет вид

\(~\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{\upsilon_1}{\upsilon_2} = n_{21}\) ,

где n₂₁ — относительный показатель преломления сред 2 и 1.

Принцип Ферма справедлив, конечно, не только для тех простейших примеров отражения и преломления света, которые мы здесь рассмотрели. С помощью этого принципа можно понять и точно рассчитать ход лучей и в призме, и в линзе и в любой самой сложной системе призм, линз, зеркал.