Kvant. Печаль или радость

Блиох К. Печаль или радость //Квант. — 2001. — № 3. — С. 37-40.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Если можно о чем скорбеть.

Значит, можно чему улыбаться.

С.Есенин

Что свойственно человеку: грустить или радоваться, скорбеть или улыбаться, быть оптимистом или пессимистом? Этот философский вопрос на протяжении многих веков обсуждали лучшие умы человечества и, естественно, давали разные ответы. И, как всегда в таких «глубоких» вопросах, каждый был по-своему прав. Я не знаю, на какую чашу весов выпало большее число ответов, но мне почему-то кажется, что на чашу радости.

Попробуем ответишь на поставленный вопрос, опираясь только на элементарную физическую основу явлений, на известные нам экспериментальные данные и на... музыку. Воспользуемся тем, что практически все люди, слушая музыку, испытывают похожие (конечно, в грубом приближении) эмоциональные переживания. В основе этого лежит музыкальный мажоро-минорный дуализм. Согласно классической теории музыки, музыкальные лады делятся на мажорные и минорные. При этом мажорные лады воспринимаются человеком как носители бодрой, радостной, светлой окраски, а минорные - унылой, печальной, сумрачной. Чем же отличаются мажорные и минорные лады с физической точки зрения?

Ноты

Музыкальные звуки записываются, в большинстве своем, нотами. Нота определяет высоту звучания данного звука, т.е. физически - основную частоту колебаний в его спектре. Шкала нот соответствует логарифму частотной шкалы. Музыкальный интервал между нотами, частота которых отличается в 2 раза, всегда равен октаве. Чтобы получить все ноты в пределах одной октавы, нужно октаву разделить на 12 равных музыкальных интервалов - полутонов. Итак, если исходная нота (положим, до) имеет основную частоту ω₀, то основные частоты остальных нот определяются по формуле

\(~\log_2 \omega_n = \log_2 \omega_0 + n \frac{\log_2 2\omega_0 - \log_2 \omega_0}{12} = \log_2 \omega_0 + \frac{n}{12}\) ,

или

\(~\omega_n = \omega_0 \cdot 2^{\frac{n}{12}}\) ,

где n - целое число. При n = 0 формула определяет основную частоту исходной ноты, при n = 1 — ноты на полтона выше, при n = — 1 — ноты на полтона ниже и т.д. При n = ±12 мы получаем основные частоты нот на октаву выше и ниже исходной.

Музыкальная шкала звуков имеет циклическую структуру. Ноты, отличающиеся на октаву друг от друга, в определенном смысле тождественны друг другу. А именно, добавление к данному созвучию (аккорду) ноты, звучащей на октаву выше уже имеющейся в нем ноты, не изменяет его эмоциональную окраску, а затрагивает только тембральную сторону его звучания. (Это связано с тем, что в спектре каждого звука присутствует, кроме основной его частоты, частота звука на октаву выше и все его обертоны - см. Дополнение). Поэтому ноты получили собственные названия только в пределах одной октавы, дальше они циклически повторяются с добавлением только номера октавы, в которой они расположены.

Таблица 1

n	Название ноты	Величина музыкального интервала	Название музыкального интервала
…	…	…	…
-2	ля-диез (си-бемоль)	-1 тон	-октава+малая септима (-большая секунда)
-1	си	-0,5 тона	-октава+большая септима (-малая секунда)
0	до	0 тонов	прима (унисон)
1	до-диез (ре-бемоль)	0,5 тона	малая секунда
2	ре	1 тон	большая секунда
3	ре-диез (ми-бемоль)	1,5 тона	малая терция
4	ми	2 тона	большая терция
5	фа	2,5 тона	кварта
6	фа-диез (соль-бемоль)	3 тона	тритон
7	соль	3,5 тона	квинта
8	соль-диез (ля-бемоль)	4 тона	малая секста
9	ля	4,5 тона	большая секста
10	ля-диез (си-бемоль)	5 тонов	малая септима
11	си	5,5 тонов	большая септима
12	до	6 тонов	октава
13	до-диез (ре-бемоль)	6,5 тонов	октава+малая секунда (малая нона)

В таблице 1 приведены названия нот, соответствующие им числа n, величина и название музыкальных интервалов, которые они составляют с исходной нотой. Пунктирные линии разделяют ноты разных октав. Знаки «плюс» и «минус» перед названием и величиной интервала означают, что интервал откладывается, соответственно, вверх и вниз от начальной ноты. При сложении интервалов конечная нота первого интервала является начальной для второго.

Мажор и минор

Теперь мы можем определить понятия мажорного и минорного ладов. Мажорным (минорным) ладом называется лад, опорные звуки которого образуют мажорное (минорное) трезвучие. Мажорное (минорное) трезвучие состоит из трех звуков: первого - основного, второго - на большую (малую) терцию выше основного, третьего — на квинту выше основного. Таким образом, разница между мажором и минором заключается в положении среднего звука (терции) соответствующего трезвучия. Согласно таблице 1, до-мажорное и до-минорное трезвучия составляют ноты

до - ми - соль (n = 0, 4, 7)

и

до — ми-бемоль — соль (n = 0, 3, 7).

Поистине удивительно, что минимальное отличие в положении одной ноты определяет две основополагающие противоположности: мажор и минор, радость и печаль в нашем настроении!

Рис. 1. Мажорное (а)и минорное (б) трезвучия на нотной шкале n. При инверсии (отражении) оси n мажор и минор переходят друг в друга

Любопытно, что мажорное и минорное трезвучия являются обратными друг другу не только в эмоциональном, но и в математическом смысле. Действительно, мажорное трезвучие состоит из последовательно отложенных большой, а затем малой терции (4 + 3; рис.1,а). Минорное трезвучие состоит из этих же интервалов, но в обратном порядке: малая терция, затем большая (3 + 4; рис.1,б). Если мы зеркально отразим ноты трезвучия относительно произвольной точки нотной шкалы, то интервалы будут следовать в обратном порядке: мажорное трезвучие переходит в минорное и наоборот. А вспомнив, что нотная шкала соответствует логарифму частотной шкалы, мы получим следующий факт: если три звука с частотами a, b, c образуют мажорное (минорное) трезвучие, то звуки с частотами a^-1, b^-1, c^-1 будут образовывать минорное (мажорное) трезвучие.

Обертоны звуков

Каждый природный звук представим в виде суммы бесконечного числа гармоник - синусоидальных колебаний определенной частоты и амплитуды. Чем больше амплитуда, тем более существенна данная гармоника в общем звучании. Наибольшую амплитуду имеет гармоника основной частоты — основной тон. Следующие за ней (по убыванию амплитуды) гармоники называются обертонами. Частоты обертонов находятся, как правило, в одних и тех же соотношениях с частотой основного тона для любого природного звука. Связано это вот с чем.

Все звуки, которые мы слышим в природе, рождаются и усиливаются колебаниями различных физических тел. В основе этого лежит явление резонанса. Пусть тело, издающее в результате какого-то внешнего воздействия звук, имеет характерный линейный размер L. Тогда, как известно из физики колебаний, в первую очередь возбуждаются волны, для которых выполнено условие резонанса

\(~L = m \frac{\lambda}{2}\) ,

где λ - длина звуковой волны, a m — любое натуральное число. Это условие требует, чтобы внутри тела укладывалось целое число полуволн. Например, в колеблющейся струне действительно должно укладываться целое число полуволн, так как ее концы закреплены жестко и должны приходиться на узловые точки соответствующих синусоид (рис. 2).

Рис. 2. Колебания струны, отвечающие: а) основному тону. б) первому обертону, в) второму обертону

Поскольку длина звуковой волны однозначно связана с ее частотой:

\(~\omega = \frac{2 \pi c}{\lambda}\) ,

где c - скорость звука, то условие резонанса можно записать в виде

\(~\omega = m \frac{\pi c}{L}\) .

При m = 1 эта формула описывает частоту основного тона звука:

\(~\omega_0 = \frac{\pi c}{L}\) ,

при m > 1 - частоты его обертонов. Число m - 1 является номером обертона. Чем выше обертон, тем слабее он возбуждается.

Музыка природы

Определим теперь, каким нотам соответствуют природные обертоны звука. Выразим частоты обертонов через частоту основного тона:

\(~\omega_{m-1} = m \omega_0\)

и воспользуемся формулой для основных частот нот октавы:

\(~\omega_n = \omega_0 \cdot 2^{\frac{n}{12}}\) .

Приравняем правые части этих выражений, решим получившееся равенство относительно n и узнаем, каким нотам соответствуют обертоны звука:

\(~n = 12 \log_2 m\) ,

где n — уже нецелое число, поскольку, обертоны не в точности соответствуют определенным нотам. В таблице 2 приведены вычисленные приближенные значения я для первых четырех обертонов и соответствующие им ноты, определенные по таблице 1.

Таблица 2

m	n	Название ноты	Музыкальный интервал относительно основного тона
1	0	до	прима
2	12	до	октава
3	19,02	соль	октава + квинта
4	24	до	две октавы
5	27,9	ми	две октавы + большая терция

Мы видим, что первые четыре обертона приближенно соответствуют нотам до, ми, соль, составляющим аккорд мажорного трезвучия. (Напомним, что отличие в нотах на октаву не играет роли при определении эмоционального характера аккорда.) Более того, в первых пятнадцати обертонах ноты до, учитываемых в музыкальной акустике, нет ноты ми-бемоль, которая соответствует минорному трезвучию. Заметим также, что ноты не в точности соответствуют природным обертонам звуков — мы получили нецелые значения n. Это показывает приближенность введенного европейской цивилизацией нотного строя. (Эта приближенность называется темперацией, и она необходима, чтобы построить столь удобную циклическую нотную систему (см. Дополнение).) Тем не менее, с хорошей точностью (которая удовлетворяет слушателей уже четыре столетия) можно утверждать, что в любом природном звуке, будь то звон капли дождя, скрип дерева, птичий свист или звучание музыкального инструмента, мы всегда слышим мажорный аккорд.

Итак, каждый человек (в том числе и тот, который не знает ни нотной грамоты, ни физических основ акустики) однозначно воспринимает мажорную музыку как носителя разнообразных эмоций радости, а минорную - как носителя печальных эмоций. Иными словами, человек инстинктивно или подсознательно воспринимает свойственную природе музыку как радостную и несвойственную - как печальную. А если учесть, что человек также есть часть природы, то можно предположить , что эмоции радости более свойственны человеку, нежели эмоции печали.

В заключение отметим, что приведенные рассуждения следует воспринимать лишь как любопытный факт, демонстрирующий тесную взаимосвязь (даже на элементарном уровне) физических, культурных и духовных сфер бытия. Однако отсюда не следует делать каких-либо однозначных практических выводов. Во-первых, потому что природа устроена гораздо сложнее и богаче, а во-вторых, потому что в других сферах законы физики могут и не действовать - как известно, всякий закон имеет свою область применимости.

Дополнение. Как строится нотная система

До сих пор мы говорили о существующем нотном строе и природных обертонах звуков как о независимых явлениях. На самом деле взаимосвязь между ними не случайна, и первичными являются обертоны звуков (они существовали в природе задолго до появления человека). Представления же о музыке как об определенных гармонично звучащих созвучиях появились именно из-за взаимодействия обертонов разных звуков.

Нота первого обертона. Октава

Чтобы ввести нотную шкалу, нужна какая- то условная точка отсчета. Пусть ею будет нота с основной частотой ω₀, частоты обертонов которой описываются формулой

\(~\omega_{m-1} = m \omega_0\) .

Рассмотрим теперь ноту, построенную на первом обертоне исходной ноты: ω₁ = 2ω₀. Частоты ее обертонов будут вычисляться по формуле

\(~\omega_{m-1} = m \omega_1 = 2m \omega_0\) .

Видно, что основной тон и все обертоны ноты первого обертона содержатся в обертонах исходной ноты: (m - 1)-й обертон первой является (2(m - 1))-м обертоном второй (рис. 3,а и б). Это определяет гармонию в созвучии таких нот и объясняет то, что мы воспринимаем их как эмоционально эквивалентные. Таким образом мы приходим к октаве, главному естественно введенному нотному интервалу.

Рис.3. Частоты, соответствующие основному тону и обертонам: а) исходной ноты, 6) ноты первого обертона, в) ноты второго обертона

Далее мы будем исходить из эквивалентности нот, частоты которых отличаются в 2 раза. Поэтому нотная последовательность будет обладать определенной цикличностью — достаточно определить все ноты в интервале частот [ω₀, 2ω₀), а потом повторить подобным образом в интервалах [2ω₀, 4ω₀), [4ω₀, 8ω₀) и т.д. Для этого удобно изображать частоты нот в виде точек на окружности, согласно формуле

\(~\alpha = 2\pi \log_2 \frac{\omega}{\omega_0}\) ,

где α — угловая координата, соответствующая данной частоте ω и откладываемая по часовой стрелке от нулевого значения, связанного с исходной частотой ω₀. Из формулы видно, что увеличение частоты в 2 раза соответствует прибавлению угла 2π и оставляет точку на прежнем месте. При таком подходе октава эквивалентна нулевому элементу множества интервалов — приме, и ее недостаточно для построения нетривиальной нотной системы.

Нота второго обертона. Квинта.

Чтобы получить нетривиальный интервал, рассмотрим ноту, построенную на втором обертоне исходной ноты: ω₂ = 3ω₀. Все ее обертоны ω_m-1 = mω₂ = 3mω₀ также содержатся в обертонах исходной ноты, но расположены они более редко и соответствуют более слабым (высоким) обертонам исходной ноты по сравнению с нотой первого обертона (см. рис. 3,а и в). А главное, что среди обертонов ноты второго обертона есть такие, которые не содержатся в обертонах ноты первого обертона (см. рис. 3, б и в). Поэтому можно считать, что мы имеем дело с новой, вполне самостоятельной нотой. Интервал между нотами первого н второго обертонов есть квинта. Квинте соответствует угловой интервал

\(~\alpha_q = 2\pi \log_2 \frac{\omega_2}{\omega_1} = 2\pi (\log_2 3 - 1) \approx 2\pi \cdot 0,585\) ,

откладываемый от точки исходной ноты на окружности. (Мы учли эквивалентность положения на окружности исходной ноты и ноты первого обертона.)

Построение нотной системы на квинтах

Рис.4, а) Последовательно откладываемые на окружности «чистые» квинты. Нулевая точка соответствует исходной ноте. б) Последовательно отложенные «исправленные» квинты. Двенадцатая точка попадает в начальную, и круг замыкается, в) Основной тон и первые 75 обертонов исходной ноты (точки) на фоне построенной нотной системы (черточки). Точкам, возле которых написано несколько чисел через запятую, отвечают все соответствующие обертоны

С помощью квинты уже можно построить всю нотную систему. Действительно, введенная нами начальная нота условна, нотная система не должна зависеть от ее выбора. Построив одну квинту относительно исходной ноты, мы должны отложить квинту и от полученной ноты и от всех последующих, потому что любая из них может быть выбрана в качестве начальной (рис.4,а). Так будет продолжаться до тех пор, пока очередная из откладываемых последовательно квинт не попадет в начальную точку и процесс замкнется. Сколько же квинт (сколько точек и различных нот на окружности) мы отложим, пока не вернемся в исходную точку (т.е. совершим целое число оборотов)? Запишем для этого условие возвращения k-й квинты в начальную точку после l оборотов:

\(~l \alpha_q = 2\pi l\) ,

или

\(~\frac{k + l}{k} = \log_2 3\) .

Но log₂ 3 — иррациональное число, которое не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Поэтому желаемое равенство никогда не будет достигнуто, и бесконечное число точек последовательно откладываемых нами квинт заполнит в конце концов всю окружность (см. рис 4,а) Значит, нужно вводить бесконечное число нот либо жертвовать цикличностью или симметрией нашей нотной системы?

Темперация

Выход из этого сложного положения оказался удивительно простым, но человечеству понадобилось более 20 веков, пока в середине XVII века он не был найден органистом Андреем Веркмейстером. (Заметим, что до него этой задачей занимались такие ученые, как Кеплер и Эйлер.) Он предложил следующее решение: раз на целом числе окружностей не укладывается целое число квинт, значит, нужно подправить квинту так, чтобы укладывалось. Оказывается, что двенадцать квинт примерно равны семи октавам, и, отложив двенадцать точек, мы совершаем примерно семь оборотов по окружности и почти попадаем в исходную точку (см. рис.4,а). Изменим величину квинты так, чтобы это попадание было точным. Тогда исправленная квинта будет соответствовать углу

\(~\alpha'_q = 2\pi \cdot \frac{7}{12} \approx 2\pi \cdot 0,583\) .

Двенадцать последовательно отложенных квинт точно разбивают окружность на 12 равных частей (см. рис.4,б). Полученные точки соответствуют нотам таблицы 1, а угловой интервал \(~\frac{\pi}{6}\) между соседними точками соответствует минимальному музыкальному интервалу (полтона). Замена натуральных природных квинт искусственными и введение соответствующего приближенного строя называется темперацией (от латинского temperatio - соразмерность).

Остальные обертоны

Следующие, более высокие, обертоны звука довольно хорошо укладываются в нотную систему, построенную нами только на первых двух обертонах. Рисунок 4,в показывает положение основного тона и первых его пятнадцати обертонов на фоне введенной нотной системы. Видно, что большинство обертонов с хорошей точностью соответствуют определенным нотам. Благодаря этому, предложенный нотный строй кажется нам естественным и гармоничным в звучании. С помощью рисунка 4,в можно также объяснить, почему одни музыкальные интервалы: прима, малая и большая терции, малая и большая сексты и октава (n = 0, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12) считаются консонансами, т.е. более благозвучными, а другие интервалы: малая и большая секунды, тритон, малая и большая септимы (n = 1, 2, 6, 10, 11) - диссонансами, т.е. менее благозвучными. Поворачивая построенную картину обертонов на окружности на угол \(~\frac{n \pi}{6}\), можно увидеть, что для n, соответствующим консонансам, повернутые обертоны согласуются с исходными лучшим образом, чем для n, соответствующим диссонансам.