Kvant. Первый велосипед

Стасенко А.Л. Первый велосипед //Квант. — 1996. — № 3. — С. 38-40.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В прошлые годы я слышал заявления о том, что русские много делают в науке первыми...

С течением времени я осознал, что большинство их соответствует истине.

Х.Р.Кауфман. Тактика успеха и бизнес в науке

Старые люди помнят, как два миллиона лет назад великий инженер Нга-Нга изобрел первый велосипед, еще не зная, что колеса должны быть круглыми. Откуда ему было знать? Но с тех пор возникла потребность в теории велосипеда: нужно было узнать, какая мощность расходуется при его движении, каковы оптимальные режимы езды, как обеспечивается его устойчивость — короче, бездна вопросов. Здесь мы попробуем ответить лишь на их малую часть.

Рис. 1

Рассмотрим сначала одно «колесо» от первого велосипеда, изображенное на рисунке 1. При перемещении из состояния 1 в состояние 2 его «ось» опишет четверть окружности О₁О₂ с радиусом \(~R = \frac{2}{\sqrt 2}\) и центром в точке О (проскальзывание отсутствует). Будем отсчитывать угол поворота колеса от вертикальной оси OY вправо. Тогда положению 1 соответствует угол \(~\varphi_1 = - \frac{\pi}{4}\), положению 2 — угол \(~\varphi_1 = + \frac{\pi}{4}\). Если линейную (окружную) скорость обозначить через υ_φ, то горизонтальная и вертикальная составляющие скорости центра колеса будут равны

\(~\begin{matrix} \upsilon_x = \upsilon_{\varphi} \cos \varphi \\ \upsilon_y = -\upsilon_{\varphi} \sin \varphi \end{matrix}\) . (1)

Их зависимости от угла φ изображены на рисунке 2. Видно, что через каждую четверть оборота вертикальная составляющая «рвется»: ее модуль остается прежним, а направление изменяет знак.

Рис. 2

Если в процессе движения поддерживать постоянную линейную скорость υ_φ, то угол φ будет прямо пропорционален времени; в этом случае рисунок 2 описывает колебания проекций скорости во времени. Только, разумеется, эти колебания нельзя назвать гармоническими, хотя они и описываются тригонометрическими функциями (1).

После начала движения из состояния 1 через осьмушку оборота центр колеса окажется в самой высокой точке, на расстоянии R от земли. Следовательно, по отношению к точке О, он поднимется на высоту

\(~h_{max} = R - \frac a2 = \frac a2(\sqrt 2 - 1)\) .

Но одно колесо (тем более квадратное) — еще не велосипед. Взглянув на рисунок 3, великий Нга-Нга сразу сообразил, что возможны по крайней мере два режима езды:

Рис. 3

а) Если оба колеса в начальный момент установлены одинаково, то при отсутствии проскальзывания их «диаметры» будут во все время движения составлять один и тот же угол φ с вертикалью, а их центры будут всегда лежать на одной и той же высоте (зависящей, конечно, от времени). Как любил говаривать Нга-Нга, они будут колебаться синфазно. В этом случае и все остальные точки велосипеда, и все точки самого велосипедиста будут совершать так называемые плоско-параллельные перемещения. И центр масс всей системы будет подниматься на высоту h_max, найденную выше.

б) Если же в начальный момент времени колеса установлены не одинаково, а так, как изображено на рисунке 3,б, то их центры будут двигаться со сдвигом фаз 45°. Тогда, очевидно, позвоночник Нга-Нга будет совершать вращательное колебательное движение (ψ(t)), а вот центр масс при этом может двигаться строго горизонтально.

Рассмотрим режим а). Чтобы поднять центр масс всей системы на высоту h_max, нужно совершить работу

\(~A = mgh_{max} = mg \frac a2(\sqrt 2 - 1)\) .

Если поддерживать при этом υ_φ постоянной, то на этот процесс (осьмушку оборота колеса) уйдет время

\(~\tau_1 = \frac 18 \frac{2 \pi R}{\upsilon_{\varphi}} = \frac{\pi}{4 \sqrt 2} \frac{a}{\upsilon_{\varphi}}\) .

Значит, средняя мощность за это время будет порядка

\(~\frac{A}{\tau_1} = \frac{2 \sqrt 2}{\pi}(\sqrt 2 - 1) mg \upsilon_{\varphi}\) . (2)

Какую скорость υ_φ может при этом обеспечить велосипедист за счет собственных энергетических ресурсов? Из вестно, что для человека физического труда (Нга-Нга, понятно, не был белоручкой) требуется в сутки порядка 5000 килокалорий, а коэффициент полезного действия человека приблизительно 25%. Следовательно, мощность человека как машины имеет порядок

N_cp = 5000·10³ кал/сутки · 4,2 Дж/кал / (3600 с/ч · 24 ч/сутки) · 0,25 ≈ 60 Вт.

При массе велосипеда и седока m ~ 100 кг из выражения (2) получим для скорости оценку

\(~\upsilon_{\varphi} = \frac{N_{cp} \pi}{mg 2 \sqrt 2 (\sqrt 2 - 1)}\) ≈ 15 см/с.

Но это только первая осьмушка оборота колеса. А дальше, забравшись на h_max, седок может отдыхать. Тогда при отсутствии потерь энергии он «упадет» с высоты h_max за время

\(~\tau_1 = \sqrt{\frac{2 h_{max}}{g}}\)

с вертикальной скоростью

\(~\upsilon_{\varphi 2} = \sqrt{2g h_{max}}\).

А если его не устраивает эта скорость удара, он может сделать «реверс тяги» и опускаться более плавно — но это потребует дополнительной работы, увеличит период колебаний и снизит скорость движения. Не очень-то удобный режим движения.

Режим б) явно предпочтительнее с энергетической точки зрения: тут не нужно периодически приподнимать центр масс, а затем тормозить его падение. Но все равно — эти стуки квадратных колес, это сотрясение мозга... Поэтому уже Нго-Нго, сын Нга-Нга, догадался сделать «колесо» восьмиугольным, а внук Нги-Нги — шестнадцатиугольным, и так далее, пока, наконец, Архимед не доказал, что в пределе получится круг. ( Но это уже математика.) А для круглого колеса потребовались дороги. Между тем велосипед Нга-Нга мог «переезжать» через камни и стволы деревьев. Так что, может быть, он был не так прост, этот великий изобретатель?