Kvant. Параллельные силы

Кикоин А.К. Когда к телу приложены параллельные силы //Квант. — 1985. — № 2. — С. 23-25.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Хорошо известно, как найти равнодействующую двух сил, приложенных к материальной точке (рис. 1). На векторах, изображающих эти силы, как на сторонах строят параллелограмм; диагональ со стрелкой на конце, проведенная из точки, к которой приложены силы, и есть вектор равнодействующей.

Рис. 1

Когда две силы приложены не к материальной точке, а к телу, но так, как показано на рисунке 2, то равнодействующая определяется таким же образом. Пользуясь тем, что точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия («Физика 8», § 46), находят точку С, в которой пересекаются линии действия обеих сил.

Рис. 2

Полагая, что силы \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) приложены именно к этой точке, строят параллелограмм и проводят диагональ. Правда, точка С может оказаться и вне тела, но тогда точку приложения равнодействующей можно выбрать в любом месте на линии ее действия. Действительно, какую бы точку мы не выбрали, равнодействующая сила \(~\vec F\) сообщит телу такое же ускорение или вызовет такой же вращающий момент, как и силы \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\), вместе взятые.

Если силы параллельны и направлены в одну сторону

Пусть к телу приложены две параллельные сонаправленные силы (рис. 3). Линии действия таких сил нигде не пересекаются, и параллелограмм на них построить нельзя. Тем не менее сложить эти силы и найти их равнодействующую можно.

Рис. 3

Нетрудно понять, что равнодействующая направлена параллельно обеим силам и ее модуль равен арифметической сумме модулей складываемых сил. А в какой точке она приложена? Или, другими словами, к какой точке тела надо приложить силу, равную по модулю, но противоположную по направлению равнодействующей, чтобы тело находилось в равновесии?

Чтобы найти точку приложения равнодействующей двух параллельных и одинаково направленных сил, можно воспользоваться правилом моментов («Физика 8», § 48). Проведем прямую, соединяющую точки А и В (см. рис. 3). Где-то на этой прямой должна, очевидно, находиться и точка приложения равнодействующей. Пусть это будет точка О. Допустим, что через эту точку проходит закрепленная ось, перпендикулярная плоскости, содержащей обе складываемые силы (то есть перпендикулярная плоскости рисунка). Если О действительно есть точка приложения равнодействующей, то тело будет находиться в равновесии — равнодействующая уравновешивается силой реакции со стороны оси. С другой стороны, если тело с закрепленной осью находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов сил относительно этой оси должна быть равна нулю. Из рисунка 3 видно, что сила \(~\vec F_2\), будь она единственной, поворачивала бы тело вокруг О по часовой стрелке, то есть ее момент F₂d₂ положительный, а сила \(~\vec F_1\) если бы она была единственной, поворачивала бы тело против часовой стрелки — ее моменту F₁d₁ надо приписать отрицательный знак (здесь d₁ и d₂ — плечи сил \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\)).

Следовательно,

\(~F_2 d_2 - F_1 d_1 = 0\), или \(~\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}\) .

Из подобия треугольников АОС и BOD находим, что \(~\frac{d_1}{d_2} = \frac{r_1}{r_2}\) . Поэтому окончательно получаем

\(~\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1}\) .

Это значит, что равнодействующая двух параллельных, одинаково направленных сил приложена к точке, делящей отрезок, соединяющий точки приложения складываемых сил, в отношении, обратном отношению модулей сил. Ясно, что эта точка лежит ближе к большей из сил.

Если направления параллельных сил противоположны

Приложенные к телу параллельные силы могут быть направлены и в противоположные стороны (рис. 4). Теперь точка приложения равнодействующей \(~\vec F\) не может находиться где-то между точками приложения сил \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\). Ведь вокруг любой точки, лежащей между ними, каждая сила поворачивает тело против часовой стрелки, знаки моментов этих сил одинаковы, и их сумма не может быть равна нулю, как это требуется для равновесия.

Рис. 4

Легко догадаться, что точка приложения равнодействующей лежит за точкой приложения большей силы, как это и показано на рисунке 4. Модуль же равнодействующей равен модулю разности модулей сил \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\). В какой же именно точке приложена равнодействующая? На каком расстоянии r₂ от точки приложения большей силы? Воспользуемся опять правилом моментов:

\(~\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1}\), или \(~F_2 = F_1 \frac{r_1}{r_2}\) .

Вычтем из правой и левой частей последнего равенства величину F₁:

\(~F_2 - F_1 = F_1 \frac{r_1}{r_2} - F_1 = F_1 \left( \frac{r_1}{r_2} - 1 \right) = F_1 \frac{r_1 - r_2}{r_2}\) ,

откуда

\(~r_2 = \frac{F_1(r_1 - r_2)}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 r}{F_2 - F_1}\) . (*)

Таким образом, точка приложения равнодействующей двух противоположно направленных параллельных сил расположена тем дальше от точки приложения большей из них, чем меньше разность модулей этих сил.

Пара сил

Мы видели, что если к телу приложены параллельные силы, одинаково или противоположно направленные, то всегда можно найти модуль и направление равнодействующей этих сил и определить точку ее приложения. Если к этой точке приложить силу, равную равнодействующей по модулю, но противоположную ей по направлению, то тело будет находиться в равновесии — оно не будет двигаться поступательно и не будет вращаться.

Но, оказывается, есть один случай, когда равнодействующую найти нельзя. Так бывает, если к телу приложены две параллельные, противоположно направленные силы, по модулю равные друг другу. Про такие силы говорят, что они образуют пару сил. Модуль их равнодействующей равен, конечно, нулю, а из формулы (*) видно, что при F₂ — F₁ =0 расстояние r₂ до точки приложения равнодействующей равно бесконечности, то есть что такой точки попросту не существует. И в самом деле, какая же может быть точка приложения равнодействующей, которой нет?

Достаточно, однако, взглянуть на рисунок 5, чтобы понять, что под действием пары сил тело не будет находиться в равновесии — оно будет вращаться. Значит, у пары сил есть некоторый вращающий момент. Но относительно какой оси?

Рис. 5

Нетрудно показать, что суммарный момент сил, составляющих пару, одинаков для любой оси, перпендикулярной плоскости, в которой лежат обе эти силы (перпендикулярной плоскости рисунка). Действительно, возьмем любую точку О и проведем через нее ось вращения. Момент M₁ силы \(~\vec F_1\) относительно этой оси равен F₁d₁, момент M₂ силы \(~\vec F_2\) относительно этой же оси равен F₂d₂. Суммарный момент М обеих сил равен M₁ + M₂ :

\(~M = F_1 d_1 + F_2 d_2\) .

Так как F₁ = F₂ = F, то

\(~M = F (d_1 + d_2) = Fd\) ,

где d — расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, называемое плечом пары сил. Значит, момент пары сил равен произведению модуля одной из сил на плечо пары. Так и говорят — момент пары сил — и не указывают относительно какой оси.

Как же все-таки «ведет» себя тело, к которому приложена пара сил? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что центр масс тела (о нем говорится в § 44 «Физики 8») движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса тела и к нему приложены все действующие на тело силы (это утверждение называется в физике теоремой о движении центра масс). Но если сумма сил равна нулю, то центр масс не может тронуться с места (если, конечно, он покоился до приложения сил). Когда на тело действует пара сил, сумма сил как раз и равна нулю, и она не может привести в движение центр масс. Тело, однако, вращается. Значит, вращается оно вокруг оси, проходящей через центр масс (ведь все точки на оси вращения находятся в покое). Оси вращения, проходящие через центры масс тел, тем и замечательны, что на них не действуют никакие силы.