Kvant. Относительность движения

Черноуцан А. И. Относительность движения //Квант. — 1989. — № 9. — С. 46-48.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как известно, движение любого тела относительно, т. е. его перемещение, скорость, вид траектории зависят от того, в какой системе отсчета (с. о.) рассматривается это движение. При описании движения можно использовать различные системы отсчета, покоящиеся или движущиеся.

Для перехода из одной системы в другую часто достаточно записать закон сложения перемещений или закон сложения скоростей:

\(~\begin{matrix} \vec s_1 = \vec s_{12} + \vec s_2 \\ \vec \upsilon_1 = \vec \upsilon_{12} + \vec \upsilon_2 \end{matrix}\) . (1)

Здесь \(~\vec s_1 (\vec \upsilon_1)\) — перемещение (скорость) тела относительно первой с. о., например покоящейся, \(~\vec s_{12} (\vec \upsilon_{12})\) — перемещение (скорость) тела относительно второй с. о., например движущейся, \(~\vec s_2 (\vec \upsilon_2)\) — перемещение (скорость) второй с. о. относительно первой. Так, скорость самолета относительно земли есть скорость самолета относительно воздуха плюс скорость самого воздуха (скорость ветра)\[~\upsilon_s = \upsilon_{sv} + \upsilon_v\] .

В случае неравномерного движения действует также закон сложения ускорений:

\(~\vec a_1 = \vec a_{12} + \vec a_2\) , (2)

где \(~\vec a_1\) — ускорение тела относительно покоящейся с. о., \(~\vec a_{12}\) — ускорение тела относительно движущейся с. о., \(~\vec a_2\) — ускорение этой с. о.

Формулы (1) и (2) можно переписать в более симметричном и удобном для запоминания виде, прямо выразив относительное перемещение (скорость, ускорение) двух тел:

\(~\begin{matrix} \vec s_{12} = \vec s_1 - \vec s_2 \\ \vec \upsilon_{12} = \vec \upsilon_1 - \vec \upsilon_2 \\ \vec a_{12} = \vec a_1 - \vec a_2 \end{matrix}\) . (3)

Например, скорость лодки относительно воды есть скорость лодки минус скорость воды (скорость течения)\[~\upsilon_{lv} = \upsilon_l - \upsilon_v\] .

Заметим, что все сказанное справедливо для поступательного движения одной с. о. относительно другой (координатные оси движущейся с. о. все время параллельны координатным осям неподвижной с. о.). Кроме того, скорости всех тел должны быть малы по сравнению со скоростью света с = 300 000 км/с, иначе вступают в силу закономерности теории относительности Эйнштейна, которые отличаются от вышеприведенных.

Поставим теперь перед собой такой вопрос: а зачем вообще нужно менять систему отсчета? Разве не удобнее, во избежание путаницы, раз и навсегда выбрать какую-нибудь одну? Оказывается, это не так, и можно назвать несколько причин тому.

Во-первых, во многих ситуациях мы просто вынуждены привлекать вторую с. о. — без этого , нельзя решить поставленную задачу. Рассмотрим для примера полет самолета в ветреную погоду. Приборы, регистрирующие выбранный летчиком курс, показывают, как расположена ось корпуса самолета по отношению к магнитной стрелке компаса, а скорость самолета измеряется по обтеканию самолета потоком воздуха. Смысл этих измерений становится понятным и однозначным, если перейти в систему отсчета, связанную с воздухом: они определяют направление и величину скорости самолета в этой с. о. Но обойтись только этой с. о. мы не можем — нам ведь надо управлять движением самолета относительно земных ориентиров (аэродромы взлета и посадки). Запишем закон сложения скоростей

\(~\upsilon_s = \upsilon_{sv} + \upsilon_v\)

и представим его графически (рис. 1).

Рис. 1

Обычно задаются направление и скорость ветра (данные метеослужбы); направление на цель (т. е. направление вектора \(~\upsilon_s\)); величина скорости самолета относительно ветра (при оптимальном режиме работы двигателей) или величина скорости самолета относительно земли (диспетчер требует прилететь минута в минуту!). Этих данных достаточно, чтобы по двум сторонам и углу найти все остальные элементы треугольника скоростей (например, угол θ — поправку к курсу при наличии ветра).

Рис. 2

Во-вторых, часто переход в другую систему отсчета, хотя и не является обязательным, может существенно упростить решение задачи, сделать ситуацию более наглядной. Обсудим, например, движение пушечных ядер после одновременного выстрела из двух пушек (рис. 2). Как узнать, на каком расстоянии друг от друга пролетят ядра? Оказывается, проще всего это сделать, «оседлав», наподобие барона Мюнхгаузена, одно из ядер. Относительное ускорение ядер \(~\vec a_{12} = \vec a_1 - \vec a_2 = \vec g - \vec g = 0\) (сопротивление воздуха мы не учитываем). Это означает, что с точки зрения Мюнхгаузена второе ядро летит равномерно и прямолинейно со скоростью \(~\upsilon_{21} = \upsilon_2 - \upsilon_1\) . Определив графически направление этой скорости, легко находим, на каком наименьшем расстоянии от барона пролетит второе ядро (надо только убедиться в том, что до этого момента ни одно из ядер не упадет на землю).

Конечно, можно провести все расчеты, и не используя систему отсчета Мюнхгаузена, но они будут более громоздкими. Разобранный «принцип барона Мюнхгаузена» — относительное движение двух свободно летящих тел является равномерным — находит применение во многих задачах. Попробуйте, например, объяснить, почему во время салюта после разрыва снаряда образуется светящийся шар, увеличивающийся в размерах и падающий вниз.

Интересно вспомнить, что один из драматических эпизодов истории человеческой мысли касался не чего иного, как... выбора «правильной» системы отсчета. Казнь Джордано Бруно, борьба и отречение Галилея... Очень было трудно человечеству согласиться с тем, что Земля — не центр мироздания, а всего лишь одна из планет, обращающихся вокруг Солнца. Что же дал человечеству переход от геоцентрической (связанной с Землей) к гелиоцентрической (связанной с Солнцем) системе? В свете нашего разговора, одно из преимуществ перехода в том, что в солнечной системе отсчета движение планет выглядит гораздо проще. Очевидно, благодаря и этому тоже, Кеплеру впоследствии удалось открыть законы движения планет, что, в свою очередь, помогло Ньютону открыть закон всемирного тяготения.

В чем же заключается основное преимущество солнечной с. о. перед земной? Чуть позже вы узнаете, что с точки зрения динамики не все с. о. равноправны — есть так называемые инерциальные с. о., в которых законы механики приобретают особенно простой вид. Так вот, солнечную с. о., в отличие от земной, можно считать инерциальной. Но с точки зрения кинематики все с. о. равноправны, можно использовать любые, в том числе движущиеся с ускорением и даже вращающиеся. Впрочем, вращающиеся с. о. обладают некоторыми необычными особенностями, требующими отдельного внимательного обсуждения, которое не предусмотрено рамками этой заметки.