Kvant. Откуда берутся облака?

Айзенкрафт А., Кирпатрик Л. Откуда берутся облака? //Квант. — 1996. — № 5. — С. 40-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

О вечные Тучи, о дочери Моря!

Поднимемся ввысь от бушующих хлябей

И к горным вершинам полет наш направим,

Омоем дождями цветущие склоны...

Аристофан

Как проще всего подвесить в воздухе сто тысяч литров воды? Сделайте облако! То, что влажный воздух легче сухого и должен подниматься вверх, звучит очень странно. Тем не менее так и есть — и каждое кучевое или перистое облако подтверждает это лишний раз всем разнообразием своих форм. «Разобравшись» с облаками, мы многое узнаем и о свойствах газов, и об атмосферных явлениях. Например, прочитав, что на западных склонах Скалистых Гор обилие влаги, а на восточных — засушливо, мы сразу сможем сделать вывод, что ветра в тех краях дуют с запада, т.е. с Тихого Океана.

Как-то в прошлом году я зашел в магазинчик, чтобы купить надувной шарик из блестящей пленки. (Такие шарики, в отличие от привычных нам резиновых, — нерастяжимы, как будто сделаны из тонкой бумаги. — Прим. перев.) Меня спросили, что написать на шарике. Я вывел на листе бумаги:

\(~pV = \nu RT\) .

Продавщица недоуменно спросила, что это означает. Выяснилось, что в школе она все же изучала химию, и я решил, что она способна понять, как формула идеального газа связана с ее нынешней работой. Я спросил, не бывало ли зимой такого, чтобы покупатели шариков через несколько минут возвращались с жалобой на то, что шарик «спускает». Продавщица ответила, что такое действительно случалось, и ей приходилось каждый раз объяснять, что шарик снова раздуется, когда его внесут в дом. Обычно за время объяснения шарик как раз успевал раздуться до прежних размеров. Загадочное уравнение на моем шарике прекрасно объясняет, что же при этом происходило.

Закон идеального газа \(~pV = \nu RT\) описывает поведение такого газа в закрытом сосуде. Здесь p — давление, V — объем, Т — температура газа (обязательно в Кельвинах), ν — количество газа (в молях) и R — газовая постоянная. Например, в моем шарике давление постоянно и равно атмосферному. (В отличие от резинового шарика! — Прим. перев.) Внутри магазина шарик полностью надут, а температура газа такая же, как в магазине. Когда покупатель выходит с шариком на холодную улицу, газ начинает остывать. Поскольку давление остается тем же, снижение температуры приводит к уменьшению объема, и шарик съеживается. Когда покупатель возвращается в магазин, газ начинает согреваться, и шарик чудесным образом надувается опять.

Другой пример действия нашего закона - накачивание велосипедной шины. В этом случае объем шины почти не меняется. При накачивании растет давление — и соответственно растет температура воздуха в шине. Если потрогать шину, она окажется теплой. (Реально это можно почувствовать только у гоночного велосипеда — у дорожного шины слишком толстые. — Прим. перев.) Зимой автомобильные шины могут быть слегка недокачаны в начале поездки, но при езде они согреются, и давление станет нормальным.

Закон идеального газа может также объяснить, как работает скороварка, почему при движении мышцы диафрагмы наши легкие делают вдох и почему шар, заполненный нагретым воздухом, может летать.

Физики и инженеры часто изображают процессы, происходящие с газами, линиями на р—V-диаграмме, т.е. на графике, где по вертикали отложено давление, а по горизонтали — объем. Например, процесс, идущий при постоянной температуре, изображается гиперболой — поскольку \(~pV = \nu RT\), a νRT — постоянная величина.

Особый интерес представляют четыре типа процессов. Первые три происходят, соответственно, при постоянной температуре, постоянном объеме и постоянном давлении. В четвертом же нет никакой передачи тепла — ни газу, ни от газа. Такой процесс называется адиабатическим и происходит, в частности, при очень быстрых изменениях — например, когда в воздухе распространяется звуковая волна. Если данная система теплоизолирована — процессы в ней также адиабатические. Так, газ в теплоизолирующем цилиндре с поршнем будет расширяться адиабатически, если медленно выдвигать поршень.

При адиабатическом расширении, очевидно, изменяются и температура, и объем, и давление газа. К счастью, между давлением и объемом в таком процессе есть простая связь:

\(~pV^{\gamma} = \operatorname{const}\) ,

где γ — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Так, для двухатомных газов \(~\gamma = \frac 75 = 1,4\).

Сказанного здесь вполне достаточно для участия в конкурсе этого месяца. Задача, в которой рассматривается образование облака на склоне горы, предлагалась на XVIII Международной физической олимпиады (1987 г.).

Задача

Поток влажного воздуха адиабатически переваливает через горный хребет (см. рисунок). На метеостанциях M₀ и M₃ атмосферное давление одно и то же и равно 100 кПа, а на M₂ оно 70 кПа. Температура воздуха на станции M₀ составляет 20 °С. Когда воздух поднимается по склону до уровня станции M₁, где давление 84,5 кПа, возникают облака и начинает идти дождь. Влажный воздух, масса которого равна 2000 кг/м², поднимается по склону горы до гребня за 1500 с. За это время из каждого килограмма воздуха выпадает 2,45 г дождя.

1. Найдите температуру воздуха на станции M₁, где появляются облака.
2. Считая, что плотность воздуха линейно падаете высотой, найдите высоту станции M₁.
3. Какова температура на гребне горы ?
4. Сколько миллиметров осадков выпадет на склоне за три часа дождя, если между пунктами M₁ и M₂ дождь идет с одинаковой интенсивностью?
5. Какова температура воздуха на метеостанции M₃? Сравните свойства воздуха в точках M₀ и M₃.

Замечания. Воздух можно считать идеальным газом. Влиянием водяного пара на плотность воздуха можно пренебречь. Плотность воздуха на станции M₀ равна ρ₀ = 1,189 кг/м³. Удельная теплота испарения воды в туче r = 2500 кДж/кг.

АлексЛи, ученик Хот Розмари Холл, хорошо разобрался с облаками. Мы приводим его решение задачи нашего конкурса.

Решение

1. Поскольку воздух поднимается адиабатически,

\(~pV^{\gamma} = \operatorname{const}\) .

Кроме того,

\(~\frac{pV}{T} = \operatorname{const}\) .

Отсюда

\(~\frac{T_1}{T_0} = \left(\frac{p_1}{p_0} \right)^{1 - \frac{1}{\gamma}} \), и T₁ = 279,4 К = 6,4 °C.

2. Найдем разность давлений в пунктах M₁ и M₀. Ясно, что она создается весом «дополнительного» воздуха. Рассмотрим воображаемый цилиндр площадью S и высотой h₁. Тогда

\(~-p_1S + p_0S = mg\) ,

где m — масса воздуха в цилиндре. Поскольку по условию плотность воздуха меняется линейно, можно записать

\(~m = h_1S \frac{\rho_0 + \rho_1}{2}\) ,

где ρ — плотность воздуха. Значение плотности ρ₁, найдем из уравнения

\(~\frac{p_0}{\rho_0 T_0} = \frac{p_1}{\rho_1 T_1}\) ,

откуда

ρ₁ = 1,054 кг/м³ .

Таким образом,

\(~h_1 = \frac{p_0 - p_1}{g \frac{\rho_0 + \rho_1}{2}}\) = 1400 м.

3. Для расчета температуры на гребне горы заменим реальный процесс двумя последовательными и будем считать, что сначала воздух адиабатически поднимается до гребня горы, а затем, на вершине, сразу выпадает весь дождь — при постоянном давлении. Тогда

\(~T_2 = T_x + \Delta T\) .

Температура воздуха у вершины до выпадения дождя будет

\(~T_x = T_1 \left(\frac{p_2}{p_1} \right)^{1 - \frac{1}{\gamma}}\) = 264,8 К.

После выпадения дождя в каждом килограмме воздуха вьшелится количество теплоты Q = rm (здесь m = 2,45 г/кг). Процесс нагрева воздуха этим теплом — изобарический, и удельная теплоемкость воздуха составляет \(~c_p = \frac 72 \frac RM\) = 1000 Дж/(кг·К), где М = 29 г/моль — молярная масса воздуха. Отсюда

\(~\Delta T = \frac{Q}{c_p} = \frac{rm}{c_p}\) = 6,1 К.

В итоге получаем

\(~T_2 = T_x + \Delta T\) = 270,9 К.

4. Из поднимающегося по склону столба воздуха каждую секунду выделяется

(2000 кг/м²) · (2,45 г/кг) / 1500 с = 3,3·10^-3 кг/(м²·с)

осадков, или, поскольку плотность воды составляет 1000 кг/м³,

3,3·10^-3 кг/(м²·с) / (10³ кг/м³) = 3,3·10^-6 м/с .

За три часа, или за 3 · 3600 с, выпадает осадков соответственно

35,3·10^-3 м = 35,3 мм.

5. Переваливший через гребень воздух будет опускаться адиабатически. Поэтому

\(~T_3 = T_2 \left(\frac{p_3}{p_2} \right)^{1 - \frac{1}{\gamma}}\) = 300 К = 27 °С.

Если бы не было дождя, T₃ было бы равно T₀, т.е. 20 °С. Из-за дождя на склоне воздух приходит на станцию M₃ теплее и суше, чем он был на станции M₀.

Примечание редакции

В условии задачи было задано то количество воды, которое выпадает из облака в виде дождя. Однако его можно легко оценить, зная относительную влажность воздуха у подножия горы. При этом можно также оценить, при какой температуре и на какой высоте начнется выпадение дождя. Попробуйте проделать такие расчеты самостоятельно (приняв, например, что относительная влажность у подножия горы составляет 80%) и сравните с данными в условии задачи.