Kvant. Открытие линзы

Стасенко А.Л. Зачем закрывать отверстие, или Открытие линзы //Квант. — 1999. — № 5. — С. 35-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Рассмотрим такую ситуацию: на непрозрачный экран с круглым отверстием нормально падает параллельный пучок света, или, что то же самое, плоская световая волна. Теперь предлагается часть площади отверстия перекрыть непрозрачным препятствием — шариком, шайбой или кольцом. Вопрос: как изменится освещенность в некоторой точке за экраном, лежащей на оси отверстия? Скорее всего, любой прохожий ответит: конечно, уменьшится! И будет прав, но... не всегда и не совсем.

Конечно, бытовая практика убеждает в том, что уменьшение площади отверстия, пропускающего свет внутрь некоторого объема, уменьшает и освещенность этого объема: ведь для того и служат плотные шторы на окнах, для того и щурят глаза при ярком свете, а зрачки и помимо нашей воли уменьшают свой диаметр.

Рис. 1

Но принципиально важен и встречный вопрос: а каково соотношение между длиной волны λ, радиусом отверстия r и расстоянием до точки наблюдения х (рис.1)? Этот вопрос связан с пониманием роли интерференции, суть которой заключается во взаимодействии двух волн, пришедших в точку наблюдения (рис.2): если эти волны пришли в одной фазе (или со сдвигом фаз, кратным 2π, что соответствует разности хода волн, равной целому числу длин волн), то их «горбы» и «впадины» складываются; если же волны придут в противофазе (или с разностью хода, равной нечетному числу полуволн), то результатом их взаимодействия в данной точке может стать взаимное уничтожение.

Рис. 2

Чтобы понять суть дела, повторим геометрические построения, которые до нас догадался сделать Опостен Френель еще в начале прошлого века. Проведем из точки наблюдения Р (рис.3) несколько лучей: один из них пусть пройдет через центр отверстия, другой будет ровно на \(~\frac{\lambda}{2}\) длиннее, следующий на \(~\frac{\lambda}{2}\) длиннее предыдущего, ..., и опишем, как ножкой циркуля, каждым из этих лучей окружности в плоскости отверстия с радиусами r₁, r₂, ... Далее, разобьем первый круг на кольца (а₁, б₁, … , э₁, ю₁, я₁) одной и той же площади. Согласно Гюйгенсу и Френелю, каждое иэ этих колец посылает в точку Р вторичные волны (первичная волна пришла в плоскость самого отверстия), причем их амплитуды пропорциональны площадям колец (они, по построению, одинаковы), а сдвиг фаз нарастает с удалением от центра и достигает величины, соответствующей разности хода \(~\frac{\lambda}{2}\) у края зоны радиусом r₁ (так называемой первой зоны Френеля). Этот набор слов иллюстрируется на рисунке 3 справа в виде малых векторов а₁, б₁, … , ю₁, я₁, имеющих (почти) одинаковую длину, но повернутых друг относительно друга на упомянутую разность фаз, причем последний вектор я₁ по договору повернут относительно а₁ на 180° (или π), что и свидетельствует о разности хода \(~\frac{\lambda}{2}\) между соответствующими волнами. Сумма всех этих малых векторов равна \(~\vec A_1\). А почему упомянуто слово «почти»? Да потому что кольцо я₁ все-таки дальше от точки наблюдения, чем центральный диск а₁; следовательно, пришедший от него в точку Р сигнал будет чуть слабее.

Рис. 3

Проделаем аналогичные построения для кольца, лежащего между окружностями с радиусами r₁ и r₂ (вторая зона Френеля). В результате сумма возмущений а₂, б₂, … , ю₂, я₂, приходящих от элементов этого кольца, даст вектор \(~\vec A_2\), противоположно направленный по отношению к вектору \(~\vec A_1\) (и несколько меньший по модулю). Таким образом, вторичные волны, пришедшие от второй зоны Френеля, почти полностью погасят те, которые пришли от первой зоны.

Уже на этом этапе почти все понятно: из отверстия радиусом r₁ в точку Р придет света гораздо больше, чем из отверстия радиусом r₂ > r₁. Значит, уменьшив площадь отверстия, мы увеличили освещенность в точке наблюдения! Но продолжим увеличивать радиус отверстия. Достигнув трех зон Френеля, увидим, что вектор \(~\vec A_3\) будет почти равен вектору \(~\vec A_1\) , и, следовательно, освещенность в точке Р возрастет. Открыв четвертую зону, мы вновь почти погасим свет в точке наблюдения; пятая зона приведет опять к росту освещенности и т.д. Когда непрозрачное препятствие полностью исчезнет, спираль (так называемая спираль Френеля) свернется в центр окружности диаметром A₁, а в точке Р останется первичная волна с амплитудой A₀, приблизительно вдвое меньшей A₁.

Но пора бы сделать и численные оценки. Из прямоугольного треугольника Oя₁Р (см. рис.3) можно найти радиус первой зоны Френеля:

\(~r_1 = \sqrt{\left( x + \frac{\lambda}{2} \right)^2 - x^2} = \sqrt{\lambda x - \frac{\lambda^2}{4}} \approx \sqrt{\lambda x}\) (1)

(здесь мы пренебрегли малой величиной \(~\frac{\lambda^2}{4}\), считая, что расстояние от отверстия до точки наблюдения много больше длины волны, т.е. x >> λ)

Аналогично найдем

\(~r_2 = \sqrt{2\lambda x}, r_3 = \sqrt{3\lambda x}, \ldots, r_m = \sqrt{m\lambda x}\) (2)

(Отметим здесь замечательный факт: площадь круга, лежащего в плоскости отверстия, пропорциональна разности длин лучей, проведенных из точки Р к окружности и к центру. Причем это верно не только для дискретных значений этой разности (\(~\frac{\lambda}{2},2\frac{\lambda}{2},3\frac{\lambda}{2}, \ldots, m\frac{\lambda}{2}\)), но и для любых значений. Этот факт и был использован выше при построении элементарных возмущений а₁, б₁, … , я₁ : именно благодаря тому, что одинаковым приращениям площади соответствуют одинаковые приращения длины луча, векторы возмущений на рисунке 3 образуют полуокружность.)

Пусть отверстие в непрозрачном экране имеет, например, радиус r = 1 мм, а длина волны, падающей на него, равна λ = 0,5 мкм. Тогда, согласно формуле (1), заданное отверстие представляет собою одну первую зону Френеля (r₁ = r) для точки с координатой

\(~x_1 = \frac{r^2}{\lambda}\) = 2 м

- в этой точке будет наибольшая амплитуда (и интенсивность) волны. Теперь, отправившись от точки с координатой x₁, будем приближаться к отверстию вдоль оси. На некотором расстоянии

\(~x_2 = \frac{r^2}{2 \lambda} = \frac{x_1}{2}\) = 1 м

это фиксированное отверстие будет представлять собой уже две зоны Френеля; следовательно, в этой точке почти не будет света. Чем ближе к отверстию, тем большему числу зон Френеля оно будет соответствовать. Таким образом, для всех точек с координатой х < x₁ суммарная амплитуда всех вторичных волн будет изображаться вектором \(~\vec A\), начало которого закреплено, а конец движется по спирали Френеля против часовой стрелки (см. рис.3). Значит, свет и тьма будут сменять друг друга, а вблизи отверстия освещенность станет равной I₀ (соответствующей амплитуде A₀). Это изменение освещенности вдоль оси качественно изображено на рисунке 4.

Рис. 4

А что если мы отправимся в другую сторону? Для точек с координатой х > x₁, амплитуда волны будет изображаться вектором, конец которого скользит по спирали Френеля по часовой стрелке. Интенсивность света будет монотонно падать, причем можно сказать, по какому закону\[~I \sim \frac{1}{x^2}\] , так как с большого расстояния отверстие будет казаться точкой.

Только что мы рассмотрели случай отверстия фиксированного радиуса. А если, наоборот, зафиксировать точку на оси и открывать отверстие, увеличивая его радиус по некоторому временному закону r(t). Тогда, начиная от полной темноты (при r = 0), мы сначала откроем первую зону Френеля (при этом будет самый яркий свет с интенсивностью I₁ = 4I₀), затем вторую (тьма), третью (свет) и так далее, вплоть до полностью открытого фронта с интенсивностью первичной волны I₀. Иными словами, при открывании отверстия наблюдатель в фиксированной точке зарегистрирует целую последовательность вспышек.

Рис. 5

Но вернемся к самой спирали Френеля и обсудим, что будет, если как-то избавиться от всех четных зон, которые создают в точке Р возмущения, гасящие те, которые приходят от нечетных зон. Действительно, закроем четные зоны непрозрачными кольцами (рис.5). Тогда все векторы \(~\vec A_1, \vec A_3, \vec A_5, \ldots\) выстроятся друг другу «в затылок», и их сумма даст гораздо более сильный сигнал, чем одна зона.

Рис. 6

Но зачем же так просто терять свет от четных зон? Лучше прикроем их прозрачными (стеклянными) кольцами (рис.6), подобрав их толщину так, чтобы они «подтормаживали» свет, но не просто как-нибудь, а внося разность фаз, в точности равную нечетному числу π. А именно, пусть их толщина h такова, что

\(~h (n - 1) = (2m + 1) \frac{\lambda}{2}\) ,

где n - показатель преломления этих стеклышек, а m = 0, 1, … При этом векторы \(~\vec A_2, \vec A_4, \ldots\) «станут в строй», развернувшись в том же направлении, что и возмущения от нечетных зон. Очевидно, что суммарный сигнал в точке Р еще увеличится.

А нужно ли так грубо обращаться с фазой? Мы ведь можем так отшлифовать эти стеклянные кольца, чтобы в пределах каждой зоны они плавно изменяли фазы проходящего через них света, компенсируя геометрическое запаздывание (рис.7; сплошная ступенчатая линия слева). В результате полуокружность диаметром A₁ развернется в отрезок длиной \(~\frac{\pi}{2} A_1\). То же самое произойдет в каждой зоне Френеля, так что вся спираль развернется в один отрезок прямой - и в точке Р будет достигнута максимально возможная освещенность.

Рис. 7

Но зачем же изготавливать из стекла такое ступенчатое тело? Ведь это далее и неудобно. Поэтому добавим в каждой зоне такую толщину стекла, которая вносила бы разность хода в целое число длин волн, обеспечивая при этом плавные обводы (рис.7; штриховая линия слева). Ба! Да ведь это же линза! А точка Р, о которой мы так заботились, - ее фокус.

Так ради чего старались? А ради того, чтобы понять, что и просто круглое отверстие обладает свойствами линзы. Причем у этой «линзы» много «фокусов» (см. рис.4), между которыми расположены точки минимальной интенсивности. А куда же делась энергия из этих точек? Никуда, просто она перераспределилась в плоскости, перпендикулярной оси, так что каждая «темная» точка оказалась окруженной системой светлых колец.