Kvant. Объем
А так ли хорошо знаком вам объем? // Квант. — 1993. — №1. — С. 40-41.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Измерение объемов с незапамятных времен вошло в человеческую практику. Уже в древнеегипетских папирусах содержатся правила определения вместимости житниц египетских фараонов. С тех пор прошло три с половиной тысячелетия, на протяжении которых способы вычисления объемов непрерывно совершенствовались. Правда, математические и практические приемы измерения объемов частенько расходились.
Причиной такого расхождения явились разные подходы к понятию объема. Математики ставили своей задачей выразить объем тела через его линейные размеры, о торговцы удовлетворялись мерами, полученными из веса продукта. Любопытно, что в основу меры веса (а следовательно, и объема) у многих народов: индусов, египтян, итальянцев, англичан и других, — был положен вес ячменного или пшеничного зерно. Следующей единицей веса был фунт.
Наиболее показательными являются английские меры. В 1266 году английский король Генрих III своим указом определил, что «с согласия всего английского государства, английский пенни, называемый стерлингом (самая малая монета), круглый и без обрезки, должен весить столько же, сколько 32 пшеничных зерна, взятых в середине колоса, 20 пенни должны составлять унцию, 12 унций — фунт». Нетрудно подсчитать, что здесь фунту соответствовало 7680 зерен. Так мы познакомились и с происхождением загадочной денежной единицы Великобритании — фунтом стерлингов. Стерлингом (вначале истерлингом — easterling — восточной монетой) называлась серебряная монета, которая чеканилась в восточных областях Германии. Мастера, изготовлявшие эту монету, были приглашены работать в Англию. Они и стали называть свои монеты стерлингами.
В Англии долго не существовало никакого соотношения между мерами длины и емкости. Лишь в 1701 году Вильгельм III Оранский издал указ, по которому бушель должен быть круглым, с плоским дном, ширина его должна быть повсюду 18 1/2 дюймов, а глубина — 8 дюймов.
В России применялись свои меры объема: ведро — 12 литров, насадка — 30 литров, бочка — 490 литров.
Конечно же, изготовлялись бочки разного объема и формы. Одна из самых замечательных математических робот, посвященных вычислению объемов, была написана выдающимся немецким математиком и астрономом И.Кеплером. Поводом для ее написания явился случай, так описываемый самим Кеплером.
«Ко мне пришел продавец с измерительной линейкой, с помощью которой промерил подряд все мои бочки, не обращая внимания но форму, без всяких соображений и вычислений».
Исследования Иоганна Кеплера явились продолжением работ знаменитого Архимеда, который умел находить объемы цилиндров, конусов и шаров. Его метод, в дальнейшем развитый итальянским математиком Кавальери (1598 — 1647), состоял в том, что тело представлялось в виде стопки пластинок. Поэтому, если у двух тел все сечения, проведенные на одинаковых высотах, имеют одинаковые площади, то заключалось, что они имеют и одинаковые объемы. Этим методом легко установить, что все пирамиды, имеющие одинаковые высоты и равные площади оснований, имеют и ровные объемы.
Определение объема аналогично определению площади плоской фигуры. Что значит найти площадь фигуры? Это значит найти, сколько раз в ней укладывается единичный квадратик. Соответственно, объем тело — это количество единичных кубиков, составляющих это тело. Ясно, что площадь прямоугольника равна произведению его ширины и высоты, а объем прямоугольного параллелепипеда — произведению его измерений. Следующий шаг — определение площади треугольники — совершается с помощью разрезания его на три части, из которых можно сложить прямоугольник, а любой многоугольник всегда можно разрезать на треугольники. Тем самым определяется площадь многоугольника. Любой многогранник также можно разрезать но простейшие фигуры — тетраэдры, но разрезать произвольный тетраэдр но части, из которых можно было бы сложить прямоугольный параллелепипед, никак не получалось. В 1900 году выдающийся немецкий математик Д. Гильберт на II Международном математическом конгрессе сформулировал 23 важнейшие проблемы, требующие разрешения. Среди них был и вопрос о возможности такого разрезания. Почти сразу на него был получен ответ. Оказалось, что такое разрезание возможно лишь в некоторых случаях. В частности, куб и равновеликий ему правильный тетраэдр нельзя разрезать на попарно равные части.
Материал подготовил Анатолий Савин.
