Kvant. Нулевые линзы

Дроздов В. «Нулевые» линзы //Квант. — 2009. — № 3. — С. 41

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Линзой называют прозрачное тело, ограниченое двумя поверхностями, преломляющими световые лучи, которое способно создавать оптические изображения предметов. Наиболее просты в изготовлении линзы со сферическими поверхностями. Если толщина линзы значительно меньше радиусов кривизны ее поверхностей, линза называется тонкой. Как известно, оптическая сила такой линзы D находится по формуле

\(~D = (n-1)\left( \pm\frac{1}{R_1} \pm\frac{1}{R_2} \right),\)

где n - относительный показатель преломления материала линзы, R₁ и R₂ - радиусы кривизны сферических поверхностей. Перед слагаемыми в скобке знаки выбираются так: для выпуклой поверхности - «плюс», для вогнутой - «минус».

Приведенному определению линзы удовлетворяет, например, прозрачное тело, изображенное на рисунке 1. Одна его поверхность выпуклая, другая - вогнутая, радиусы кривизны поверхностей равны\[~R_1 = R_2 = R,\] а толщина мала\[~1 \ll R.\] (Разумеется, при этом центры кривизны обеих поверхностей не совпадают, а смещены на l.) Значит, в соответствии с приведенной формулой, оптическая сила этой линзы равна нулю. Поскольку данная линза не будет ни собирающей, ни рассеивающей, назовем ее «нулевой».

Рис. 1

Очевидно, что двояковыпуклая тонкая линза «нулевой» быть не может. Если, конечно, не поместить ее в жидкость с показателем преломления, равным показателю преломления стекла. Но здесь мы молчаливо предполагаем, что наша линза находится в воздухе.

Интересно, а не существует ли двояковыпуклая «нулевая» линза среди толстых линз? Допустим, что существует, и изобразим ее такой, как показано на рисунке 2. Возьмем радиусы кривизны сферических поверхностей одинаковыми\[~R_1 = R_2 = R,\] а толщину линзы обозначим l. Очевидно, что линза симметрична относительно плоскости, проходящей перпендикулярно ее главной оптической оси через точку О - середину отрезка АВ.

Рис. 2

Пустим на линзу луч, параллельный главной оптической оси и находящийся на расстоянии \(~h \ll R\) от нее (параксиальный луч). Если после преломления луч пройдет через точку О, то, по соображениям симметрии, из линзы он выйдет параллельно входящему лучу. Это означает, что при таком условии толстая линза фокусировать лучи не будет, т.е. ее оптическая сила будет равна нулю.

Рассчитаем толщину нашей толстой «нулевой» линзы, т.е. выразим l через R и n. При этом синусы и тангенсы малых углов заменим значениями этих углов в радианной мере. По закону преломления луча, в точке С имеем \(~\alpha = n\beta .\) Из треугольников АОС' и ADC находим

\(~\alpha - \beta = \frac{h}{(l / 2)} = \frac{2h}{l}, \alpha = \frac{h}{R}.\)

Делим почленно левые и правые части этих равенств:

\(~1 - \frac{\beta}{\alpha} = \frac{2R}{l}.\)

Из закона преломления выражаем отношение углов \(~\beta\) и \(~\alpha\) :

\(~\frac{\beta}{\alpha} = \frac{1}{n}\)

Дальнейшее ясно:

\(~1 - \frac{1}{n} = \frac{2R}{l},\) и \(~l = \frac{2Rn}{n-1}\)

Если взять, например, значение \(~n = 1,5 ,\) то окажется, что \(~l = 6R,\) т.е. «нулевая» линза будет весьма толстой.

Оказывается, линзы с нулевой оптической силой (афокальные линзы) находят свое практическое применение. Такие линзы хотя и не рассеивают и не собирают световые пучки, но создают аберрации, т.е. искажения оптических изображений предметов по сравнению с самыми предметами. Поэтому их используют в сложных объективах в качестве компенсаторов аберраций.