Kvant. Новая галактика

Стасенко А.Л. Новая галактика и все ее поля //Квант. — 2004. — № 1. — С. 27-29.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Сколько моделей вселенной создано на сегодняшний день! Вселенная Эйнштейна и вселенная Фридмана, вселенная Леметра и вселенная Эддингтона - целый набор вселенных! Все эти модели отражали определенный уровень физических представлений, достигнутый к моменту их построения.

Попробуем и мы «создать» если не вселенную, то хотя бы галактику. И пусть эта Новая галактика состоит из звезд одинаковой массы, несущих одинаковый электрический заряд. И, как всякая приличная галактика, пусть она вращается — конечно, вокруг оси и, конечно, с постоянной угловой скоростью. А вот отличается она от всех других галактик тем, что представляет собою бесконечно длинный цилиндр, вращающийся вокруг своей оси. Можно приписать ей и другие свойства. Например, пусть концентрация звезд (т.е. их количество в единице объема) постоянна.

Как видим, «создать» галактику не так уж сложно. Но чтобы разобраться в том, что в ней происходит, придется подумать.

Рис. 1

Прежде всего, ясно, что каждая звезда будет находиться в поле тяготения других звезд. «Напряженность» этого поля тяготения (или силу, действующую на единицу массы, или локальное ускорение тяготения) обозначим по привычке буквой \(~\vec g\). Тогда гравитационная сила, действующая на выделенную звезду массой m, равна \(~m \vec g\). Кроме того, обладая электрическим зарядом q, каждая звезда испытывает на себе действие электрической силы \(~q \vec E\), где \(~\vec E\) - напряженность электрического поля, созданного всеми другими звездами, кроме нее самой. Далее, находясь во вращающейся системе, каждая звезда обладает центростремительным ускорением, равным ω²r, где \(~\vec r\) — радиус-вектор данной звезды, начало которого находится на оси, а ω - угловая скорость вращения. Все эти силы и ускорения изображены на рисунке 1. Но почему там поля \(~\vec g\) и \(~\vec E\) строго перпендикулярны оси вращения? Это потому, что «по построению» наша Новая галактика бесконечна в осевом направлении; значит, в любом ее поперечном сечении осевые компоненты полей взаимно уничтожаются: сколько звезд находится «над» этим сечением, столько же имеется и «под» ним.

Итак, электрическое поле, созданное всеми заряженными звездами внутри цилиндра радиусом r, «торчит», наружу во все стороны. Но говорить о поле, что оно «торчит», как-то неблагозвучно, поэтому физики придумали другие слова: поток поля через поверхность цилиндра радиусом r и длиной х (и, значит, площадью 2πrx) равен 2πrxE. Оказывается, этот поток создается всеми зарядами внутри этого цилиндра, т.е. в объеме πr²x. И если концентрация звезд n, а заряд каждой из них q, то суммарный электрический заряд внутри этого цилиндра равен πr²xnq. Так вот, поток электрического поля через поверхность цилиндра равен суммарному заряду внутри, деленному на электрическую постоянную ε₀:

\(~2 \pi rxE = \frac{\pi r^2xnq}{\varepsilon_0}\) .

(Этот факт можно проверить на примере точечного заряда q, окружив его сферой радиусом r\[~4 \pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}\], откуда следует известное выражение для напряженности поля, непосредственно вытекающее из закон Кулона\[~E = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\].) Значит, величина напряженности электрического поля на расстоянии r от оси равна

\(~E = \frac{nqr}{2 \varepsilon_0}\),

а вектор напряженности направлен наружу вдоль радиуса-вектора \(~\vec r\).

Точно так же поток напряженности \(~\vec g\) гравитационного поля через поверхность цилиндра внутрь его связан с суммарной массой внутри цилиндра πr²xnm аналогичным законом:

\(~2 \pi rxg = -\pi r^2xnm \cdot 4\pi G \) .

где G - постоянная тяготения. (Отсюда для точечной массы m₀ можно получить закон Ньютона\[~m_0g = -G\frac{m_0m}{r^2}\]). Значит, напряженность поля тяготения на расстоянии r от оси цилиндра равна

\(~g = -2G nm \pi r\) .

А теперь запишем уравнение движения звезды массой m, находящейся на расстоянии r от оси вращения Новой галактики (см. рис.1):

\(~m \vec g + q \vec E = m \omega^2 \vec r\) ,

или в проекции на направление вдоль радиуса:

\(~-2mG nm \pi r + \frac{qnqr}{2 \varepsilon_0} = -m \omega^2 r\) .

Отсюда найдем угловую скорость вращения:

\(~\omega = \sqrt{\frac{mn}{2} \left( 4 \pi G - \left( \frac qm \right)^2 \frac{1}{\varepsilon_0}\right)}\) .

Так как мы предположили, что звезды равномерно распределены в пространстве, т.е. n постоянно внутри нашей цилиндрической галактики, то угловая скорость тоже одинакова во всех ее точках. Следовательно, наша галактика вращается как твердый стержень.

Далее, линейная (окружная) скорость звезд равна ωr. Но поскольку каждая звезда несет электрический заряд, ее перемещение создает электрический ток, плотность которого равна

\(~j = qn \omega r\) .

Видно, что в наших предположениях плотность тока линейно растет от центра к периферии галактики: j ~ r . И так как все заряды движутся по окружностям, то и токи будут кольцевыми.

Рис. 2

Выделим внутри нашей галактики колечко, содержащее большое количество звезд, но достаточно малого поперечного сечения - так называемое элементарное колечко. На рисунке 2,а показано направление движения звезд, т.е. направление элемента тока \(~I \Delta \vec l\) внутри этого колечка, а также структура магнитного поля, порожденного элементарным током.

Возьмем теперь целый набор таких токов, имеющих одинаковый радиус r. И пусть их много, так что длина этого набора вдоль оси вращения галактики много больше радиуса, т.е. x >> r. Очевидно, мы получим нечто похожее на соленоид (рис.2,б). Как известно, магнитное поле \(~\vec B\) внутри соленоида постоянно, а снаружи равно нулю. Это не значит, что снаружи его вовсе нет. Просто, поскольку все линии поля \(~\vec B\) замкнуты, т.е. нигде_не начинаются и нигде не кончаются, то весь пучок линий \(~\vec B\), прошедших через поперечное сечение соленоида πr², должен пройти и через бесконечную площадь поперечного сечения вне соленоида. А так как напряженность любого поля пропорциональна, в частности, числу его линий, пронизывающих единичную площадку (или плотности потока поля), то эта напряженность и стремится к нулю всюду вне соленоида при условии \(~\frac xr \to \infty\).

Рассмотрим еще один кольцевой слой токов, радиусом r + Δr. Можно представить, что внутренний соленоид окружили внешним соленоидом (рис.2,в). Тогда магнитные поля обоих соленоидов сложатся внутри внутреннего соленоида, а вне внешнего соленоида поле по-прежнему останется равным нулю.

Из этих рассуждений ясно, что в нашей галактике магнитное поле будет наибольшим на оси и нулевым снаружи. Но как найти зависимость напряженности поля от радиуса?

Обратимся снова к рисунку 2,в. Поскольку наше осевое магнитное поле порождается кольцевыми токами, то очевидно, что его приращение связано с приращением тока при перемещении по радиусу: ΔB_{r + Δr} ~ jΔr. Подставив сюда выражение для плотности тока, получим ΔB ~ qnωrΔr . Мы опустили здесь индекс r + Δr, потому что и без него теперь понятно, что речь идет о приращении поля с изменением радиуса. Далее, поскольку в нашей галактике, по предположению, qnω есть постоянная величина, полученную пропорциональную зависимость можно записать в виде

\(~\Delta B \sim r \Delta r\) .

Теперь нужно сложить все элементарные поля, порожденные элементарными соленоидами, т.е. проинтегрировать последнее выражение. Но кто же не знает, что при интегрировании линейной функции получается квадратичная. Поскольку, как мы уже выяснили, магнитное поле должно быть наибольшим на оси и нулевым на окраине галактики (при r = a), эта квадратичная зависимость должна выглядеть так:

\(~B \sim \frac 12 \left(1 - \left( \frac ra \right)^2 \right)\) .

Графиком этой функции является парабола (рис.2,г). А вот точный результат:

\(~B = \mu_0 \frac{qn \omega a^2}{2} \left(1 - \left( \frac ra \right)^2 \right)\) ,

где μ₀ - магнитная постоянная.

Итак, мы нашли все поля в Новой галактике, вращающейся с постоянной угловой скоростью и состоящей из электрически заряженных звезд. И чтобы еще раз напомнить, как направлены векторные линии этих полей, введем индексы, соответствующие координатам цилиндрической системы: х - осевая, r - радиальная координаты. Тогда полученные напряженности полей лучше обозначить так: B_x, E_r, g_r.

Все это хорошо, поскольку на примере нашей Новой галактики мы смогли еще раз показать, как «работают» законы электромагнитостатики. Но как насчет устойчивости такой галактики? Ведь стоит где-то образоваться сгустку или разрежению звезд, как вся система начнет разваливаться. Случайно ли, что такие «галактики» не обнаружены?

Однако, это уже другой вопрос, тоже тонкий и не менее интересный.