Kvant. Неравенство Коши

Гребень В. Неравенство Коши в задачах по физике //Квант. — 2010. — № 3. — С. 50 - 54

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Из школьного курса математики известно такое неравенство:

\(a + b \ge 2 \sqrt{ab}\) , или \(\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\)

- среднее арифметическое двух неотрицательных чисел a и b не меньше, чем их среднее геометрическое, причем равенство достигается при a = b. Это неравенство называют неравенством Коши. Полезно знать некоторые следствия из него. Во-первых, произведение двух неотрицательных переменных, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение тогда, когда эти переменные равны друг другу. Во-вторых, аналогично, наименьшее значение суммы двух неотрицательных переменных, произведение которых постоянно, достигается при равенстве переменных.

Рассмотрим применение неравенства Коши при решении конкретных задач по физике.

Задача 1. С какой минимальной начальной скоростью υ_0min следует бросить под углом α к горизонту камень, чтобы он достиг высоты h? Чему равно время подъема камня t до этой высоты?

Решение. Совместим начало отсчета вертикальной оси OY с точкой бросания. Тогда уравнение движения камня по вертикали примет вид

\(y = \upsilon_0 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}.\)

В момент, когда камень находится на указанной высоте, у = h. Выразим из уравнения движения начальную скорость υ₀ и применим неравенство Коши:

\(\upsilon_0 = \frac{gt}{2\sin\alpha} + \frac{h}{\sin\alpha} \ge 2 \sqrt{ \frac{gt}{2\sin\alpha}\frac{h}{t\sin\alpha} } = \frac{\sqrt{2gh} }{\sin\alpha}. \)

Отсюда находим минимальную начальную скорость камня:

\(\upsilon_{0min} = \frac{\sqrt{2gh}}{\sin\alpha}\)

причем минимум достигается при условии

\(\frac{gt}{2\sin\alpha} = \frac{h}{t\sin\alpha}\)

Из этого условия можно узнать время подъема камня на высоту h:

\(t = \sqrt{ \frac{2h}{g} }\)

Задача 2. Конькобежец проходит дистанцию l = 500 м с постоянной скоростью υ, а затем тормозит с ускорением a = 0,05 м/с² . При какой скорости υ время движения конькобежца до остановки наименьшее?

Решение. Время движения, очевидно, состоит из двух слагаемых: времени движения с постоянной скоростью и времени равнозамедленного движения до полной остановки:

\(t = \frac{l}{\upsilon} + \frac{\upsilon}{a} \ge 2\sqrt{ \frac{l}{\upsilon}\frac{\upsilon}{a} } = 2\sqrt{\frac{l}{a}}\)

Понятно, что наименьшее время движения

\(t_{min} = 2 \sqrt{\frac{l}{a}} = 200 \ c \approx 3,3\) мин

достигается при равенстве слагаемых, т.е. при

\(\upsilon = \sqrt{la} = 5\) м/с.

Задача 3. Небольшой шарик свободно падает из точки А на массивную плиту, ориентированную под углом α = 45° к горизонту (рис.1). После упругого отражения от плиты шарик падает на поверхность земли в точке С на расстоянии s от вертикальной прямой АВ. На какой высоте h необходимо расположить плиту (не меняя ее ориентации), чтобы расстояние s было максимальным, если АВ = H? Чему равно s? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Рис. 1

Решение. Исходя из закона сохранения энергии, определим скорость шарика перед ударом о плиту:

\(\frac{m\upsilon^2}{2} = mg(H - h), \upsilon = \sqrt{2g(H-h)}.\)

После удара скорость шарика по модулю останется неизменной, но направление изменится на горизонтальное. По горизонтали шарик пролетит расстояние s = υt, где t - время падения шарика на землю после удара, а по вертикали - \(h = \frac{gt^2}{2}.\) Тогда

\(s = \sqrt{2g(H - h)}\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h(H - h)} \le h + (H - h) = H = const\)

Если сумма слагаемых постоянна, то среднее геометрическое достигает максимума при равенстве множителей:

\(h = H - h,\) откуда \(h = \frac{H}{2}.\)

Задача 4. Даны n гальванических элементов (рис.2) с электродвижущей силой каждого ξ и внутренним сопротивлением r. Все элементы соединены в k групп по n/k элементов в группе, причем в каждой группе элементы соединены параллельно, а группы между собой — последовательно. Чему должно быть равно k, чтобы получить максимальную силу тока во внешнем сопротивлении R?

Рис. 2

Решение. Зная, что при параллельном соединении одинаковых элементов электродвижущая сила не изменяется, а внутреннее сопротивление уменьшается пропорционально числу элементов, найдем, что каждую группу можно заменить одним элементом с электродвижущей силой ξ и внутренним сопротивлением kr/n. Далее, приняв во внимание, что при последовательном соединении электродвижущая сила и внутреннее сопротивление возрастают пропорционально числу элементов, получим, что в цепи электродвижущая сила будет kξ , а внутреннее сопротивление k²r/n . Согласно закону Ома для полной цепи, ток в цепи равен

\(I = \frac{k \epsilon}{(k^2r/n) + R} = \frac{\epsilon n k}{rk^2 + nR}.\)

Очевидно, что наибольшая сила тока будет при таком значении k, при котором дробь \(\frac{1}{ kr + \frac{nR}{k} }\) принимает наибольшее значение, а для этого знаменатель дроби должен быть минимальным. Исходя из неравенства Коши, должно выполняться равенство

\(kr = \frac{nR}{k}\) , откуда \(k = \sqrt{\frac{nR}{r} }\)

При этом

\(I_{max} = \frac{n \epsilon}{2\sqrt{rnR}} = \frac{\epsilon}{2} \sqrt{\frac{n}{rR} }.\)

Интересно, а чему равно в этом случае внутреннее сопротивление батареи? Оно, как мы видели, есть

\(r_{bat} = \frac{rk^2}{n} = r\frac{nR}{nr} = R.\)

Таким образом, мы приходим к следующему важному выводу: ток батареи оказывается максимальным тогда, когда ее внутреннее сопротивление равно внешнему.

Задача 5 (XLI Всероссийская олимпиада школьников по физике). Пассажирский поезд длиной l стоял на первом пути. В последнем вагоне сидел Дядя Федор (герой книги Э. Успенского «Каникулы в Простоквашино») и ожидал письмо, которое ему должен был передать Шарик от кота Матроскина. В тот момент, когда поезд тронулся, на привокзальной площади как раз напротив первого вагона появился Шарик (рис.3). Он определил, что расстояние до последнего вагона равно L. С какой минимальной скоростью υ₀ должен бежать пес, чтобы передать письмо, если поезд движется с постоянным ускорением а?

Рис. 3

Решение. Пусть встреча Шарика с последним вагоном произошла в точке D (рис.4).Треугольники АВС и АВD — прямоугольные. Тогда, используя теорему Пифагора, можно записать

Рис. 4

\(AB^2 = AC^2 - CB^2 = AD^2 - DB^2 ,\)

или

\(L^2 - l^2 = \upsilon_0^2 t^2 - \left( \frac{at^2}{2} - l \right)^2 .\)

Отсюда выразим квадрат начальной скорости:

\(\upsilon_0^2 = \frac{L^2}{t^2} + \frac{a^2t^2}{4} - al .\)

Для того чтобы скорость υ₀ была минимальной, необходимо, чтобы сумма \(\frac{L^2}{t^2} + \frac{a^2t^2}{4}\) принимала минимальное значение. Используем неравенство Коши:

\(\frac{L^2}{t^2} + \frac{a^2t^2}{4} \ge 2\sqrt{ \frac{L^2}{t^2} \frac{a^2t^2}{4} } = La\)

и получаем

\(\upsilon_0 = \sqrt{a(L - l)}.\)

Обратим внимание на то, что минимальная скорость достигается при условии

\(\frac{L^2}{t^2} = \frac{a^2t^2}{4}\), или \(L = \frac{at^2}{2}\)

Значит, DC = СА = L, т.е. треугольник ACD - равнобедренный, и

\(tg \alpha = \frac{BD}{AB} = \frac{L - l}{\sqrt{L^2 - l^2}}.\)

Получили, что Шарику следует бежать под углом \(\alpha = arctg\frac{L - l}{\sqrt{L^2 - l^2}}\) к АВ со скоростью \(\upsilon_0 = \sqrt{a - (L - l)}.\)

Задача 6. Определите, при каком минимальном коэффициенте трения μ однородного тонкого стержня о пол человек может медленно без проскальзывания поднять его с пола до вертикального положения, прилагая к концу стержня силу, перпендикулярную ему.

Решение. Найдем зависимость минимального значения коэффициента трения \(\mu = \frac{F_{tr}}{N}\), где N - вертикальная сила реакции пола, при котором не будет проскальзывания, от угла подъема стержня α(рис.5).

Рис. 5

В качестве оси вращения возьмем точку А пересечения линий, вдоль которых действуют силы \(\vec F\) и \(m \vec g\). Относительно точки А моменты приложенной силы \(\vec F\) и силы тяжести \(m \vec g\) равны нулю, поскольку плечи этих сил равны нулю. Определим плечо силы трения F_тр, т.е. длину отрезка АВ. Пусть длина стержня l, тогда

\(AB = \frac{l}{2}\sin\alpha + \frac{l/2}{\sin\alpha} = \frac{l}{2} \left( \sin\alpha + \frac{1}{\sin\alpha} \right)\)

Плечо силы реакции \(\bar{N}\) - это отрезок СВ:

\(CB = \frac{l}{2}\cos\alpha.\)

Запишем условие равновесия стержня относительно выбранной точки А:

\(N\frac{l}{2}\cos\alpha = F_{tr}\frac{l}{2} \left( \sin\alpha + \frac{1}{\sin\alpha} \right).\)

Отсюда получим

\(\mu = \frac{F_{tr}}{N} = \frac{\cos\alpha \sin\alpha}{\sin^2\alpha + 1} = \frac{\sin\alpha \cos\alpha}{2\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{tg\alpha}{2 tg^2\alpha + 1} = \frac{1}{2 tg\alpha + \frac{1}{tg\alpha}}\)

Дробь принимает максимальное значение, когда знаменатель минимален. Воспользуемся неравенством Коши:

\(2 tg\alpha + \frac{1}{tg\alpha} \ge 2\sqrt{ 2 tg\alpha \frac{1}{tg\alpha} } = 2\sqrt{2}\ .\)

Таким образом,

\(\mu \le \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0,35 \ .\)

В ходе подъема трубы μ не превосходит 0,35. Максимальное значение μ требуется при \(tg \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\), т.е. при α ≈ 35,26° .

Задача 7. Каков максимальным угол θ упругого рассеяния α -частицы на дейтроне? Дейтрон - ядро изотопа водорода дейтерия, состоит из протона и нейтрона, α -частица - ядро гелия, состоит из двух протонов и двух нейтронов. Считайте, что масса дейтрона в два раза меньше массы α -частицы.

'Решение. Пусть m₁ и m₂ - массы α -частицы и дейтрона соответственно, υ₀ и υ₁ - скорости α -частицы до и после столкновения, υ₂ - скорость дейтрона после столкновения, δ и φ -углы отклонения α -частицы и дейтрона от направления движения α -частицы до столкновения (рис.6). Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

Рис. 6

m₁υ₀ = m₁υ₁ cos δ + m₂υ₂ cos φ , m₁υ₁ sin δ = m₂υ₂ sin φ ,

или, поскольку m₁ = 2m₂ ,

2υ₀ = 2υ₁ cos δ + υ₂ cos φ , 2υ₁ sin δ = υ₂ sin φ .

Избавимся от угла φ. Для этого из первого равенства выразим υ₂ cos φ и возведем в квадрат, после чего сложим с квадратом второго равенства:

\(4(\upsilon_0 - \upsilon_1 \cos\delta)^2 = \upsilon_2^2 \cos^2\varphi \ , \ 4\upsilon_1^2 \sin^2\delta = \upsilon_2^2 \sin^2\varphi ,\)

откуда

\(4\upsilon_1^2 \sin^2\delta + 4\upsilon_0^2 - 8\upsilon_0 \upsilon_1 \cos\delta + 4\upsilon_1^2 \cos^2 \delta = \upsilon_2^2 \ ,\)

или

\(4\upsilon_1^2 + 4\upsilon_0^2 - 8\upsilon_0 \upsilon_1 \cos \delta = \upsilon_2^2 \ .\)

Теперь применим закон сохранения энергии:

\(\frac{m_1 \upsilon_0^2}{2} = \frac{m_1 \upsilon_1^2}{2} + \frac{m_2 \upsilon_2^2}{2}\) , или \(2 \upsilon_0^2 = 2 \upsilon_1^2 + 2 \upsilon_2^2\)

Отсюда и из последнего выражения закона сохранения импульса после упрощения получим

\(3\upsilon_1^2 - 4\upsilon_0\upsilon_1 \cos\delta + \upsilon_0^2 = 0 \ ,\)

откуда найдем

\(\cos \delta = \frac{3\upsilon_1^2 + \upsilon_0^2}{4\upsilon_0\upsilon_1} = \frac{1}{4} \left( \frac{3\upsilon_1}{\upsilon_0} + \frac{\upsilon_0}{\upsilon_1} \right)\)

Применим неравенство Коши:

\(\cos \delta = \frac{1}{4} \left( \frac{3\upsilon_1}{\upsilon_0} + \frac{\upsilon_0}{\upsilon_1} \right) \ge \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{3\upsilon_1}{\upsilon_0} \frac{\upsilon_0}{\upsilon_1} } = \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Так как функция cos δ на промежутке [0; π] убывающая, для максимального угла рассеяния получим

\(\theta = \delta_{max} = \frac{\pi}{6}.\)

Задача 8. В широкий сосуд с жидкостью частично погружается плоский конденсатор. Конденсатор подключен к батарее, которая поддерживает на обкладках конденсатора постоянную разность потенциалов U. Расстояние между пластинами d, плотность жидкости ρ , ее диэлектрическая проницаемость ε . На какую высоту h поднимается жидкость в конденсаторе?

Решение. Обозначим высоту пластин через а, а размер пластин в направлении, перпендикулярном рисунку 7, через b. Рассмотрим полную энергию системы в зависимости от высоты h жидкости в конденсаторе. Очевидно, что при некотором значении h энергия системы будет минимальной. Это и будет установившаяся высота подъема жидкости.

Рис. 7

Наша система состоит из источника тока, конденсатора и жидкости в гравитационном поле Земли. Энергию, запасенную в батарее, можно записать в виде

W₁ = W₀ - CU²,

где W₀ - первоначальный запас энергии батареи, а CU² -это энергия, которую израсходовала батарея, заряжая конденсатор до напряжения U. Прежде чем находить энергию конденсатора W₂ , определим его емкость при подъеме жидкости на высоту h. Мы имеем систему двух параллельно соединенных конденсаторов, поэтому общая емкость равна их сумме:

\(C = \frac{\varepsilon_0(a - h)b}{d} + \frac{\varepsilon \varepsilon_0 b h}{d} = \frac{\varepsilon_0 b}{d} (a + h(\varepsilon - 1)).\)

Тогда

\(W_2 = \frac{CU^2}{2} = \frac{\varepsilon_0 b U^2}{2d} (a + h(\varepsilon - 1)).\)

Так как сосуд достаточно широкий, после втягивания части жидкости в конденсатор уровень жидкости в самом сосуде не изменился заметным образом. Центр масс жидкости между обкладками находится на высоте \(\frac{h}{2}\) , если за нулевой уровень принять поверхность жидкости в сосуде. Потенциальная энергия поднятой жидкости составляет

\(W_3 = \frac{\rho gdbh^2}{2}.\)

Таким образом, полная энергия нашей системы равна

\(W = W_1 + W_2 + W_3 = W_0 - W_2 + W_3 = W_0 - \frac{\varepsilon_0 baU^2}{2d} - \frac{\rho gbd}{2}h \left( \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon - 1)U^2}{\rho gd^2} - h \right).\)

Так как нас интересует минимум энергии, то выражение \(h \left( \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon - 1)U^2}{\rho gd^2} - h \right)\) должно принимать максимальное значение. Произведение двух чисел, сумма которых неизменна:

\(h + \left( \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon - 1)U^2}{\rho gd^2} - h \right) = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon - 1)U^2}{\rho gd^2}\)

принимает максимальное значение в случае их равенства:

\(h = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon - 1)U^2}{\rho gd^2} - h\)

Откуда находим искомую высоту жидкости в конденсаторе:

\(h = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon - 1)U^2}{2\rho gd^2}\)

Упражнения

1. С какой минимальной по модулю скоростью υ_min нужно бросить с горизонтальной поверхности земли камень, чтобы он упал на землю на расстоянии l = 40 м от точки бросания? Сопротивление воздуха не учитывать.
2. Два железнодорожных пути сходятся в городе под углом α = 60° (рис.8). Со станции, находящейся на первом пути на расстоянии l₁ = 32 км от города, вышел по направлению к нему поезд А. В то же время со станции, находящейся на втором пути на расстоянии l₂ = 50 км от города, вышел другой поезд В по направлению к тому же городу, но со скоростью, вдвое большей скорости первого поезда. Найдите, где будет поезд В во время наименьшего расстояния между ним и поездом А, и определите это расстояние.

   

   Рис. 8

3. Шайба, скользившая по гладкому полу со скоростью υ₀ = 12 м/с , поднимается на закрепленный трамплин, верхняя часть которого горизонтальна, и соскальзывает с него (рис.9). При какой высоте трамплина h дальность полета шайбы s будет максимальной? Какова эта дальность? Потерями механической энергии шайбы при движении по трамплину пренебречь. До окончания трамплина шайба движется не отрываясь от его поверхности.

   

   Рис. 9

4. Под каким углом α к горизонту нужно бросить с горизонтальной поверхности земли камень, чтобы он при движении все время удалялся от точки бросания? Сопротивление воздуха не учитывать.
5. Каким должен быть наименьший угол наклона крыши дома α , чтобы дождевая вода с нее стекала как можно быстрее, если коэффициент трения равен μ ?
6. Поезд начинает двигаться с постоянным ускорением а вдоль прямолинейного участка пути. На расстоянии l от последнего вагона на перпендикуляре к направлению движения поезда находится пассажир. С какой минимальной скоростью может бежать пассажир, чтобы догнать поезд? В каком направлении он должен бежать в этом случае? Движение пассажира считать равномерным.