Kvant. Невесомость

Пикин С. Невесомость ... в автомобиле? //Квант. — 1997. — № 3. — С. 34.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Что бы безаварийно ездить по дорогам, нужно, конечно, знать правила дорожного движения. Но и законы механического движения — тоже. В этом легко убедиться, например, решая следующую весьма типичную школьную задачу:

С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы пассажир на мгновение оказался в состоянии невесомости?

Рис. 1

Свяжем систему отсчета с землей. На пассажира действуют две силы — сила тяжести \(~m \vec g\) и сила реакции опоры \(~\vec N\). Поскольку в верхней точке моста он находится в состоянии невесомости, N = 0. Запишем второй закон Ньютона для пассажира в проекциях на ось Y (рис.1):

\(~mg = ma\), где \(~a = \frac{\upsilon^2}{R}\) .

Отсюда получаем

\(~\upsilon = \sqrt{gR}\) = 20 м/с = 72 км/ч .

Вроде бы все благополучно: скорость не превышает допустимую. Но если продолжить задачу и задаться вопросом, что будет после прохождения вершины моста (или что было до этого момента), то на смену уверенности в правильности решения приходит убеждение в невозможности ситуации, описанной в условии задачи. Найдем, к примеру, вес пассажира Р до того, как автомобиль попал в верхнюю точку моста, если движение автомобиля считать равномерным со скоростью \(~\upsilon = \sqrt{gR}\) (рис.2).

Рис. 2

Опять запишем уравнение движения пассажира в проекциях на ось Y:

\(~mg \cos \alpha - N = ma\), где \(~a = \frac{\upsilon^2}{R}\) и \(~\upsilon = \sqrt{gR}\) .

Отсюда

\(~N = mg(\cos \alpha - 1)\) и \(~P = N = mg(\cos \alpha - 1)\) .

Получается, что если в верхней точке N = 0, то в остальных N < 0! Значит, чтобы пассажир не взлетел над сиденьем, он должен за что-то держаться. Но машине «держаться» не за что, т.е. она оторвется от поверхности моста, как только въедет на него, и, пролетев по воздуху, упадет на трассу. Наиболее вероятным результатом такого пребывания в состоянии невесомости будет разбитая машина. Иными словами, попытавшись проехать выпуклый мост со скоростью \(~\upsilon = \sqrt{gR}\), вы не только не сможете на середине моста на мгновение оказаться в состоянии невесомости, но и подвергнетесь риску стать инвалидом.

Как же быть? При какой постоянной скорости автомобиль все же сможет проехать выпуклый мост радиусом R и длиной дуги, соответствующей углу 2α (рис.3)?

Рис. 3

Из полученной для N формулы следует, что сила реакции достигает наименьшего значения при въезде на мост. Значит, если машина не взлетит в первый же момент, то этого не произойдет и далее. Тогда имеем

\(~mg \cos \alpha - N = ma\), где N ≥ 0 и \(~a = \frac{\upsilon^2}{R}\) .

откуда

\(~\upsilon \le \sqrt{gR \cos \alpha}\).

Вот она скорость, с которой можно проехать мост. А состояние невесомости при этой скорости вы испытаете даже дважды: въезжая на мост и съезжая с него.