Kvant. На лезвии меча

Мещеряков В. На лезвии меча //Квант. — 1994. — № 2. — С. 16-18.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

В одном из ноябрьских 1992 года номеров « Московского комсомольца» был опубликован вдохновенный очерк Александра Погонченкова «Сальто на лезвии меча». О похожей на сказку судьбе мастера Сидэо Кина, шестидесятилетнего мудреца с телом атлета, владеющего таинствами древнего воинского искусства Ки Хаб, и его двадцатилетней жены Эллы. Вот выдержка: «Он встает на лезвие и, слегка опираясь на руку молодой ассистентки, начинает движение по мечу. Шаг... Второй... Третий... разворот... шаг назад... и... прыжок. Кажется, что вот-вот из подошв выступающего хлынет кровь. Но этого не происходит...»

Почему? Ответ не кажется простым или неинтересным. И можно сделать предварительные оценки площади контакта, давления, числа опорных атомов, но стоит ли прикасаться подобной прозой к столь величественной гармонии? Об этом судить вам.

Попытаемся сначала рассмотреть физическую сторону этого уникального эксперимента с помощью предельно простого подхода. Измерив S₀ — площадь ступни человека, например с помощью прорисовки ее контура на бумаге в клеточку, получим, что S₀ ~ 10^-2 м². При массе человека М ~ 10² кг имеем силу тяжести F = Mg = 10³ Н, которая является внешней нагрузкой для площади S₀, если человек стоит на плоской опоре. В этом случае давление

\(~p_0 = \frac{F}{S_0}\) ~ 10⁵ Н/м² = 1 атм. (1)

Когда человек стоит на лезвии меча, такая же внешняя нагрузка приходится на существенно меньшую площадь контакта. Для ее оценки воспользуемся известным фактом, что при полировке и притирке металлов можно достичь высоты поверхностных шероховатостей порядка долей микрона. Поэтому примем, что заточка лезвия перед его употреблением приводит к ширине края лезвия b ~ 10^-7 м. Полагая длину ступни человека a ~ 10^-1 м, получим площадь соприкосновения ступни и меча S₁ ~ 10^-8 м², и давление

\(~p_1 = \frac{F}{S_1}\) ~ 10⁶ атм. (2)

Оценка (2) попадает в диапазон давлений, которые, например, имеют место в центре Земли под толщей ее многокилометровых пластов. Этот результат настораживает. А может ли действительно человек стоять на «остром как бритва» лезвии меча без разрыва мышечных тканей его ступней? То есть, не надувательство ли это типа приклеивания тонких прочных подметок или массового гипноза? Давайте разбираться, для чего вновь рассмотрим данную ситуацию, но теперь уже с точки зрения атомистической структуры материи.

Вспомним, что человек состоит из атомов. Кожа — тоже. Поэтому уместно поставить следующий вопрос. На скольких атомах стоит человек? И прежде чем на него ответить, сделаем оценки числа атомов, образующих площади контактов S₀ и S₁.

Характерное значение объема, приходящегося на 1 атом в конденсированных состояниях вещества, составляет величину Ω ~ 10^-29 м³. Следовательно, один поверхностный атом образует элементарную площадку \(~s \sim \Omega^{\frac 23}\) ~ 10^-20 м². Тогда число атомов на площади S₀, соответствующей стоянию человека на полу,

\(~n_0 = \frac{S_0}{s} \sim 10^{18}\), (3)

а на площади S₁, соответствующей стоянию на мече,

\(~n_1 = \frac{S_1}{s} \sim 10^{12}\). (4)

Получается, что переход человека с пола на меч эквивалентен замене 10¹⁸ опорных атомов на 10¹². Это разочаровывает. Различие между этими двумя величинами трудно себе представить. Однако являются ли n₀ и n₁ числом атомов, на которых человек стоит? Оценки (3) и (4) соответствуют контурным площадям контактов. Именно для подчеркивания этого факта предлагалось (с боязнью вызвать неодобрение подготовленного читателя) оценить одну из этих площадей прорисовкой контура на бумаге. Но где гарантия того, что все атомы, попавшие внутрь контура, являются опорными?

Оценки (3) и (4) не показывают также, до какого предела можно уменьшать n₁. Другими словами, где же те критические значения числа атомов n₁ и, соответственно, ширины лезвия b, после которых прогулки по мечу могут оказаться принципиально невозможными?

Для ответа на накопившиеся вопросы обратимся к идее английского физика И.Томлинсона, высказанной им еще в 1929 году. (Об этом можно прочитать, например, в книге А.А.Силина «Трение и мы» — выпуск 57 «Библиотечки «Квант».) Коротко суть идеи состоит в том, что контакт тел обеспечивается ограниченным числом атомов, зависящим от внешней нагрузки. Эти атомы Томлинсон назвал «кариатидами» (от греческого karya tis — женская статуя, поддерживающая, подобно колонне, что-либо). Число кариатид является основной характеристикой контакта твердых тел, и нам следует провести его оценку и сравнить с величинами n₀ и n₁. Для этого рассмотрим следующую модельную ситуацию.

Представим, что твердое тело, имеющее произвольный микрорельеф поверхности, приближено к плоскости статической абсолютно жесткой опоры до ее соприкосновения с одним из атомов. Воздействуя на твердое тело небольшой силой F, направленной перпендикулярно плоскости опоры, можно получить упругую деформацию выступа поверхности, которому принадлежит атом-кариатида. Если же сила F будет превосходить некоторое критическое значение f, обусловленное характером межатомных связей, то атом совершит диффузионный переход. Иначе говоря, атом выдавится из первого атомного слоя опирающейся поверхности. Диффузионное разрушение первого атомного слоя, а затем и последующих, будет происходить до тех пор, пока число кариатид не станет равным

\(~n = \frac{F}{f}\). (5)

Критическая сила f не должна превосходить величину работы Е по перемещению атома, отнесенную к межатомному расстоянию:

\(~f = \frac{E}{\Omega^{\frac 13}}\). (6)

Величина Е называется также энергией диффузии. (О различных путях ее вычисления можно прочитать, скажем, в книге Б.С.Бокштейна «Атомы блуждают по кристаллу» — выпуск 28 «Библиотечки «Квант».) Для грубой оценки Е можно принять, что она равна электростатической энергии, приходящейся на один атом:

\(~E \sim \frac{ke^2}{r} \sim \frac{ke^2}{\Omega^{\frac 13}}\).

Для металлов характерное значение E ~ 10^-18 Дж.

Подстановка выражения (6) в (5) позволяет получить формулу для оценки числа кариатид:

\(~n = \frac{F \Omega^{\frac 13}}{E}\). (7)

Сразу же обратим внимание, что n не зависит от контурной площади контакта. Это согласуется с рассуждениями Томлинсона, экспериментальное подтверждение которых проявляется в существовании линейной зависимости силы трения от внешней нагрузки для случая силового взаимодействия двух твердых тел (F_тр = μN).

Результат (7) позволяет определить фактическую площадь контакта S_r, которая должна быть равна произведению числа кариатид n на элементарную площадку s. Используя формулу (7), получим

\(~S_r = ns = \frac{F \Omega}{E}\). (8)

Величина S_r, как видно, так же как и n, определяется только атомными свойствами деформируемого на жесткой опоре тела и внешней нагрузкой.

А теперь на лезвие меча попытается встать, в своем роде, автор этой статьи, делая количественные оценки по полученным формулам и качественные выводы, из них вытекающие.

Используя характерные значения атомного объема Ω, внешней силы F и энергии Е, по формуле (7) получим

\(~n \sim 10^{11}\). (9)

Таким образом, статическое положение человека в гравитационном поле Земли обеспечивается числом кариатид, равным по порядку величины 10¹¹, и не зависит ни от формы или площади опоры, ни оттого, каким местом своего тела человек на нее опирается. Эта величина на 7 порядков меньше, чем число атомов, попадающих в контур ступни:

\(~\frac{n_0}{n} \sim 10^{7}\). (10)

Результат (10) говорит о том, что из каждых 10⁷ атомов поверхности ступни лишь один атом выполняет функции кариатиды. Но, пожалуй, самое любопытное здесь то, что данное число кариатид устанавливается не сразу, а в процессе разрушения поверхностных слоев кожи путем перераспределения ее атомов. Представьте, вы пальцем надавили на стол, допустим, с силой 1 Н. Критическая сила для отрыва поверхностного атома кожи пальца от других атомов равна f ~ 10^-8 Н, что следует из формулы (6) и принятых значений Е и Ω. Очевидно, усилие в 1 Н ломает межатомные связи катастрофически, приводя в итоге к установлению равновесного числа кариатид, равного в этом примере величине - 10^-8.

Сравнение результата (9) с числом атомов n₁, содержащихся внутри опорного контура на мече, позволяет предположить, что принятая выше заточка лезвия оказалась более широкой, чем та, которая соответствовала бы плотному размещению равновесного числа кариатид (9). Ширину лезвия меча возможно уменьшить без нарушения условия (9) до величины \(~b_r = \frac{S_r}{a}\). Используя формулу (8), получим

\(~b_r = \frac{F \Omega}{Ea} \sim 10^{-7} - 10^{-8}\). (11)

Из приведенных оценок следует, что статическое равновесие человека на лезвии меча без существенной деформации мышечных тканей возможно при ширине края лезвия не менее 10^-8 м. А переход человека с пола на меч в этом случае эквивалентен замене кариатид, хаотично распределенных в плоскости, на такое же число плотно упакованных кариатид, выстроенных шеренгой с поперечным числом атомов \(~n_{\perp} = \frac{b_r}{\Omega^{\frac 13}} \sim 10^2\) и продольным — \(~n_{||} = \frac{a}{\Omega^{\frac 13}} \sim 10^9\). Произведение \(~n_{\perp} \cdot n_{||} = n \sim 10^{11}\) и соответствует оценке (9).

Надеюсь, вам понравилось столь простое, хотя и вполне прозаическое, объяснение древнего таинства. Впрочем, для многих (и для меня в том числе) гармония формул сродни волшебству... Жаль только, что последний наш вывод не вполне согласуется с природой. В действительности тепловое движение атомов размывает плоские участки поверхности кристаллов, приводя к образованию одноатомных ступенек и исчезновению ребер, что не позволяет заточить меч до образования стройной ограненной шеренги шириною в сотню межатомных расстояний. По-видимому, именно это естественное уширение b_r позволяет не только не заботиться о заточке меча, но и, предоставляя избыточную площадь, прыгать на нем, выполняя, например, сальто-мортале. В заключение несколько замечаний.

1. Автору неизвестны прямые экспериментальные измерения, которые могли бы подтвердить или опровергнуть приведенные оценки. Метод атомно- силовой микроскопии, наиболее близкий описываемой ситуации и реализующий контролируемый контакт твердой поверхности с одноатомным острием, не дает пока возможности исследовать динамику образования многоатомного контакта.
2. Надо признать, что приведенные оценки довольно-таки грубы, во-первых, из-за использования свойств средних по таблице Менделеева элементов и, следовательно, без учета элементного строения кожи человеческого тела. Во-вторых, из-за ошибки округления до порядка величины значений параметров, вычисленных возведением в степени 1/3 и 2/3 атомного объема Ω. Улучшение точности оценок лишено смысла в силу первого замечания.
3. Не следует из написанного делать вывод о том, что человек может безболезненно опираться на лезвие меча любой частью своего тела. Разные участки кожи и мышечных тканей под ними различаются упругими и прочностными характеристиками, что не принималось в расчет. По-видимому, кожа ступней обладает некоторыми преимуществами в этом смертельном эксперименте, проводимом на границе человеческих возможностей.
4. Изменением огранки кристаллов в зависимости от температуры интересовались такие знаменитости, как П.Эренфест и Л.Ландау, но лишь в последние 10 лет удалось достичь его количественного описания. Возможно, найдется специалист, который, прочитав эту статью, напишет другую, которая дополнит наше исследование анализом этого явления.
5. Проблема разрыва мышечных тканей под воздействием внешних тел более сложна. Очевидно, она связана с переходом от трения покоя к трению скольжения, к раскрытию загадки которого физики приблизились лишь недавно. Те, кто захочет принять участие в этом исследовании, могут начать свою подготовку с прочтения статьи И.Ш.Слободецкого «Сухое трение».