Kvant. Молекула в микроскопе

Стасенко А.Л. Можно ли в микроскоп молекулу разглядеть? //Квант. — 2008. — № 3. — С. 39-41.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

А почему вообще что-то можно разглядеть в микроскоп? Вспомним, прежде всего, как строится изображение рассматриваемого предмета в рамках геометрической оптики. Простейшая схема микроскопа имеет две собирающие линзы. Та, что повернута к объекту, называется объективом. Пусть этот объект расположен вблизи фокуса объектива F_об на расстоянии, чуть большем фокусного расстояния (рис. 1,а). Но правилам построения изображения в линзе проведем из точки А объекта два луча - один через фокус, другой - через центр объектива. Первый луч, согласно определению фокуса, после преломления в линзе должен пойти параллельно оптической оси, а второй вообще не изменит направления. С другой стороны объектива они пересекутся в точке А’, которая и является действительным изображением точки А. Точно так же построим изображение точки В и вообще всех точек объекта, лежащего на предметном столике. И чем ближе предмет будет расположен к фокусу объектива, тем большим получится его действительное перевернутое изображение A’B’.

Рис. 1

Теперь используем вторую линзу - окуляр, расположив его так, чтобы его фокус F_ок был вблизи первого изображения A’B’, но со стороны объектива (рис. 1,б). Изображение А’’ точки А’ тоже построим при помощи двух лучей. Однако теперь это будет мнимое изображение, находящееся па пересечении продолжений этих лучей с той же стороны окуляра, что и A’B’.

Итак, мы получили окончательное увеличенное мнимое перевернутое (обратное) изображение A’’B’’ рассматриваемого объекта АВ. Уменьшая расстояние между АВ и точкой F_об (фокусом объектива) и между A’B’ и F_ок (фокусом окуляра), можно убедиться в возможности неограниченного увеличения микроскопа. По это только в рамках геометрической оптики!

Микроскописты XIX века ужасно обиделись, когда им объяснили, что существует предел разрешающей способности их приборов (т.е. возможности различить две точки А и В как отдельные) и что этот предел связан с длиной волны света. Соответствующие оценки сделал в 1872 году немецкий физик-оптик Аббе, которым сам изготовлял эти приборы и довел их до совершенства. Проследим ход его мыслей.

Рис. 2

Пусть на «предмет» АВ снизу падает плоская полна, одновременно достигающая точек А и В (рис. 2,а). Согласно принципу Гюйгенса, они обе становятся источниками вторичных сферических волн. Посмотрим, как эти волны распространяются вдоль некоторого направления, образующего угол θ с оптической осью. Построим отрезок ВС, перпендикулярный этому направлению и касательный к сферическим поверхностям воли, выходящих из А и В. По вышли-то они не одновременно: чтобы достичь точки С, волна из точки А должна выйти раньше. Соответствующий отрезок времени равен \(~t' = \frac{AC}{c}\), где с - скорость волны. Следовательно, если возмущение, идущее из точки B, записать в виде

\(~s_B = \sin \omega t\) ,

то возмущение от точки А запишется в виде

\(~s_A = \sin \omega (t + t') = \sin \omega \left(t + \frac{\Delta}{c} \right) = \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi \Delta}{\lambda} \right)\) .

Здесь AC = Δ — разность хода воли, λ = сТ - длина волны, или расстояние, проходимое волной за период \(~T = \frac{2 \pi}{\omega}\). Из треугольника ABC легко найти эту разность хода:

\(~\Delta = AB \cdot \sin \theta = d \sin \theta\) .

Понятно, что эта разность хода будет сохраняться и при дальнейшем распространении воли s_A и s_B. И где-то далеко-далеко фронты эти волн станут плоскими, а суммарное возмущение станет равным

\(~s_{\sum} = \sin \omega t + \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi \Delta}{\lambda} \right)\) .

А что значит далеко? Ведь если мы собираемся рассмотреть отрезок АВ = d как отрезок (т.е. различить точки А и В) порядка микрометра и меньше, то даже один миллиметр (порядок фокусного расстояния объектива) - это уже очень далеко (F_об/d >> 1).

Итак, найдем сумму двух волн:

\(~s_{\sum} = \sin \omega t + \sin \left(\omega t + \frac{2 \pi \Delta}{\lambda} \right) = 2\cos \left(\frac{\pi \Delta}{\lambda} \right) \sin \left(\omega t + \frac{\pi \Delta}{\lambda} \right)\) .

Множитель перед синусом определяет амплитуду суммарного колебания — результат интерференции двух волн на бесконечности (или в параллельных лучах). Видно, что квадрат амплитуды, т.е. интенсивность, максимален при

\(~\frac{\pi \Delta}{\lambda} = m \pi\), где m - целое число,

или при условии

\(~\Delta = m \lambda = d \sin \theta^{(m)}_{max}\) .

Таким образом, определены направления, в которых две волны усиливают друг друга, или имеет место положительная интерференция. И вот тут можно пояснить гениально простую мысль Аббе: для того чтобы информация о расстоянии d между точками Α и B была воспринята наблюдателем, нужно, чтобы, по крайней мере, первый максимум (m = 1) интерференционной картины попал в объектив микроскопа. Вот это условие:

\(~\sin \theta^{(1)}_{max} \le \alpha\) ,

где α - угол, под которым виден радиус объектива микроскопа из центральной точки предметного столики (см. рис. 2,а). Положив в предыдущем выражении порядок интерференции m = 1, получим искомое наименьшее расстояние между двумя точками, различными как отдельные точки:

\(~d_{min} = \frac{\lambda}{\sin \alpha}\) .

Отсюда видно, что желательно уменьшать λ и увеличивать α. Но наименьшая длина волны видимого (фиолетового) света λ ~ 0,4 мкм, а синус нельзя сделать больше единицы - вот почему объект располагают как можно ближе к объективу, а фокусное расстояние последнего берут как можно меньшим.

Но, пойдем дальше. Почему непременно нужно освещать наши «точки» вдоль оптической оси? Попробуем направить свет под углом θ₀ к ней (рис. 2,6). Тогда разность хода волн s_A и s_B составит

\(~\Delta - \Delta_0 = AC - DB = d(\sin \theta - \sin \theta_0) = m \lambda\).

Видно, что максимум нулевого порядка (m = 0) пойдет в направлении θ₀. Потребуем теперь, чтобы он попал на правый край объектива (θ₀ = α), а максимум минус первого порядка (m = -1) - на левый край (θ_-1 = -α). В результате получим

\(~d(\sin (-\alpha) - \sin \alpha) = -1 \cdot \lambda\),

откуда

\(~d_{min} = \frac{\lambda}{2 \sin \alpha}\) .

Видно, что удалось вдвое уменьшить предельно разрешимое расстояние между двумя точками.

И это еще не все. Поместим между объективом и предметным столиком жидкость с коэффициентом преломления n. Скорость света в ней в n раз меньше, чем в вакууме (или, что почти одно и то же, в воздухе); значит, длина волны тоже уменьшится в n раз. В таком случае

\(~d_{min} = \frac{\lambda}{2n \sin \alpha}\) ,

где λ - длина волны в воздухе. Это - так называемая иммерсионная техника (от латинского immersio - погружение).

Но коэффициенты преломления жидкостей не намного превышают единицу: например, для бензола n = 1,5, для бромоформа n ≈ 1,6. Так что правы те, кто говорят, что микроскоп не может разрешить расстояния, существенно меньшие половины длины волны.

А вот тут начинается то, чего не знал сам Аббе. В 1924 году французский физик Луи де Бройль развил идею о том, что материальной частице с импульсом mυ можно сопоставить волну с длиной

\(~\lambda = \frac{h}{m \upsilon}\) ,

где h = 6,6·10^-34 Дж·с - постоянная Планка. Например, если ускорить электрон в электрическом поле с разностью потенциалов U, то он приобретет скорость

\(~\upsilon = \sqrt{\frac{2Ue}{m_e}}\) ,

где е = 1,6·10^-19 Кл - заряд электрона, m_e = 9,1·10^-31 кг - его масса. Значит, длина волны электрона, согласно де Бройлю, будет равна

\(~\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_eUe}}\) .

Так, при разности потенциалов U = 1 B (характерной для обычной батарейки) получим

\(~\lambda = \frac{6,6 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 1 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}}\) м ≈ 10^-9 м = 1 нм.

При этом, согласно теории Аббе, становится возможным рассматривать объекты молекулярных размеров! Это уже не микроскоп, а, можно сказать, наноскоп. Правда, он называется по-прежнему микроскопом, только электронным.

Обратим еще внимание на то, что в знаменателе выражения для длины волны де Бройля стоит масса частицы. А что если взять не электроны, а ионы каких-то элементов или даже молекулярные ионы? Поскольку они на много порядков массивнее электрона, их дебройлевская длина волны может быть значительно уменьшена. Вместе с нею уменьшится и различимое расстояние между двумя точками A и В. Так получился ионный микроскоп.

Завершим наш рассказ словами из книги английского физика Г. Липсона «Великие эксперименты я физике» (М.: Мир. 1972): «Можно сказать, что оптическая промышленность обязана теории больше, чем любая другая отрасль. Здесь теория выступала не только как обобщение практики, но и как путеводная нить».