Kvant. Многолучевая интерференция

Маношкин Ю., Стасенко А.Л. Интерференция на островах Синего Мыса //Квант. — 1998. — № 1. — С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Сребролюбие ... это грех чрезвычайной важности —

в нем фактическое отвержение веры в Бога, любви к людям и пристрастие к низшим стихиям.

Оно порождает злобу, окаменение, многозаботливость.

А. Ельчанинов

Во время оно, когда на вулканических островах Синего Мыса (говорят, были такие) началась Перетряска, иные умельцы бросились подделывать туземные купюры, и особенно охотно — достоинством в сто круазейро. И вот тогда-то один островитянин по кличке Отличник вспомнил о многолучевой интерференции. Он предложил покрывать достоинство ценной бумаги («сто») прозрачным слоем строго постоянной толщины (см. рисунок). Если купюру поворачивать на 180° (от -90° до +90°) при освещении светом определенной длины волны, то из-за многократного отражения света от границ этого слоя число «сто» вспыхивало определенное число раз, которое мог сосчитать любой островитянин. (Предполагалось, конечно, что фальшивомонетчики не скоро доберутся до этой технологии.) А именно — при освещении ценной бумаги синим светом (любимый цвет на тех островах) купюра «вспыхивала» 21 раз.

Но нашелся на островах Хулиган, который пожелал оценить свойства этого прозрачного покрытия — его толщину и показатель преломления. Зачем ему это понадобилось, неизвестно — возможно, он был просто любознателен. Он поставил проблему так.

Нужно найти условие «вспыхивания» освещаемого слоя при определенном угле падения а света известной длины волны λ. Из рисунка прежде всего нужно найти разность хода между двумя соседними отраженными лучами 1 и 2 (луч 1 отразился в точке А, луч 2 прошел внутрь слоя и отразился от его нижней границы в точке В, а затем, преломившись в точке С, опять вышел в воздух):

\(~\Delta_{12} = AD - ABC \cdot n\) .

Заметим, что в этом выражении путь луча внутри пленки умножен на коэффициент ее преломления n. Это связано с тем, что свет внутри пленки движется в n раз медленнее (по определению, n равно отношению скоростей света в вакууме (воздухе) и в веществе пленки), чем на участке AD. (Поэтому и длина волны внутри пленки будет в n раз меньше, чем в воздухе.) Но в точке C часть света вновь отразится вниз, в точке B, — снова вверх и т.д., так что в результате из пленки, освещаемой под углом α, выйдет много параллельных лучей (тоже под углом а, так как «угол падения равен углу отражения»). На самом деле, мы должны понимать, что эти лучи не просто тонкие линии — они указывают лишь направление движения волн. Эти лучи перпендикулярны к фронтам волн — например, отрезки DC, D₁C₁, ... изображают куски этих фронтов.

Таким образом, происходит сложение многих волн, образовавшихся в результате последовательных отражений падающего света от нижней границы прозрачной пленки. Это и есть многолучевая интерференция.

При каком условии освещенная цифра «вспыхнет» в отраженном свете? Ясно, что для этого нужно, чтобы «гребни» (или «впадины») всех волн совпадали. А для этого нужно, чтобы разность хода между двумя соседними лучами составляла целое число длин волн:

\(~\Delta_{12} = m(\alpha) \lambda (m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots)\) . (1)

Запись m(α) подчеркивает, что это целое число волн (оно называется порядком интерференции) зависит от угла падения света.

Теперь немного математики. Из треугольника ADC найдем AD = AC sin α. Из треугольника ABC найдем АС = 2h tg β (β — угол преломления) и \(~ABC = \frac{2h}{\cos \beta}\). Собирая все это, получим

\(~\Delta_{12} = 2h \operatorname{tg} \beta \sin \alpha - \frac{2h}{\cos \beta} n\) ,

или, вспомнив закон преломления, —

\(~\Delta_{12} = 2h \sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}\) . (2)

Отличник задумал систему контроля так, что между α = 0 и α = 90° расположено 10 максимумов («вспыхиваний»), не считая самих границ этого интервала углов. Тогда, подставляя эти значения углов в равенство (2) и вычитая из первого соотношения второе, Хулиган получил

\(~2h(n - \sqrt{n^2 - 1}) = (10 - 11) \lambda\) . (3)

(Он учел, что при \(~\alpha = \frac{\pi}{2}\) тоже может быть следующий за десятым максимум, но это было трудно проверить — скользящий свет слепил глаза.)

Однако в уравнении (3) оказалось два неизвестных: h и п (для синего света λ = 0,45 мкм). Поэтому Хулиган схитрил так: он стал освещать купюру светом других длин волн и нашел, что при увеличении длины волны при нормальном падении максимум отраженного света сначала постепенно исчезает, но вновь появляется, когда это изменение достигает Δλ = 0,0121 мкм. Это означает, что для света с длиной волны λ + Δλ та же разность хода Δ₁₂ в выражении (1) достигается не при m, а при m — 1, т.е.

\(~m(0) \lambda = (m(0) - 1) (\lambda + \Delta \lambda)\) .

Отсюда легко найти:

\(~m(0) = \frac{\lambda}{\Delta \lambda} + 1 = \frac{0,45}{0,0121} = 38\) ,

и, записывая (2) при α = 0:

\(~2hn = m(0) \lambda = \left(\frac{\lambda}{\Delta \lambda} + 1 \right) \lambda\) ,

получаем второе уравнение для определения h и n. Итак, имеется система уравнений

\(~\left\{\begin{matrix} 2h(n - \sqrt{n^2 - 1}) = (10 - 11) \lambda \\ 2hn = 38 \lambda \end{matrix}\right.\) .

Для ее решения один здравомыслящий математик посоветовал разделить почленно эти уравнения друг на друга — тогда сократятся h и λ. и останется одно уравнение для n. Решив его и подставив это значение n в любое из двух уравнений системы (очевидно, проще во второе), найдем h. В результате получим n ≈ 1,4; h ≈ 6 мкм (с точностью до нескольких процентов).

Надо ли решать точнее, учитывая «ошибку эксперимента», уже включенную в соотношение (3)? А что еще не учтено в приведенных рассуждениях? Вообще говоря, коэффициент преломления вещества зависит от длины волны проходящего света, чем пренебрегалось. Пренебрежено также поглощением света внутри слоя. Кроме того, наш Хулиган где-то слышал, что в выражении (2) надо то ли добавить, то ли вычесть еще «полволны \(~\frac{\lambda}{2}\)», которые, говорят, то ли приобретаются, то ли теряются при отражении света от оптически то ли более плотной среды, то ли... Но он решил с этими тонкостями не возиться, так как в выражении (3) уже содержится возможная ошибка, проистекающая от того, что углы, при которых достигаются интерференционные максимумы, он не измерял точно, а считал, как и все островитяне, только общее число максимумов между углами -90° и +90°.

А что же островитяне? Они остались довольны новыми купюрами, помня слова Антона Чехова, один персонаж которого считал, что кислород — «...химиками выдуманный воздух. Говорят, что без него жить невозможно. Пустяки. Только без денег жить невозможно».