Kvant. Минимум

Серохвостов С. Поиски минимума в физических задачах //Квант. — 2002. — № 5. — С. 28-29.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Готовились как-то девятиклассники Саша, Коля и Петя к районной олимпиаде по физике. Учитель предложил им решить задачу с прошлой олимпиады. Вот ее условие:

Мальчик подошел к последнему вагону электрички в тот момент, когда электричка тронулась и начала двигаться с постоянным ускорением а. Единственная открытая дверь электрички оказалась от мальчика на расстоянии s. Какую наименьшую постоянную скорость должен развить мальчик, чтобы успеть сесть в поезд?

После уроков ребята собрались у Саши дома и стали решать.

- Эта задача решается просто, - сказал Саша. - Давайте выберем систему отсчета так, чтобы начало координат совпадало с начальным положением мальчика, а ось X была направлена вдоль платформы. Пусть мальчик бежал со скоростью υ и запрыгнул в вагон через время t. Так как мальчик запрыгнул в эту дверь, то можно записать

\(~\upsilon t = s + \frac{at^2}{2}\) . (1)

Отсюда мы найдем υ.

- Подожди, - сказал Коля, - но у нас одно уравнение, а неизвестных величин две: υ и t. Поэтому из этого уравнения мы ничего не найдем!

На это Петя возразил:

- Ну хоть что-нибудь мы найти сможем. Например, давайте выразим скорость:

\(~\upsilon = \frac st + \frac{at}{2}\) . (2)

- А еще нам надо учесть, что скорость должна быть минимально возможной, - напомнил Коля.

Старший брат Саши, который учился в десятом классе, в это время проходил мимо комнаты, в которой сидели ребята, и сказал:

- Если минимум, то нужно искать производную!

- А мы еще ее не проходили,- ответил ему Саша. - И потом, наверное, можно и без производной. Нужно просто узнать, при каком t скорость будет минимальна.

- Придумал! - вскрикнул Коля. - Помните, нам на математике говорили, что всегда справедливо соотношение

\(~x + \frac 1x ge 2\) ,

причем равенство будет только при х = 1. За х можно обозначить любую величину. Например, можно написать, что

\(~\upsilon = \sqrt{\frac{as}{2}} \left( \frac 1t \sqrt{\frac{2s}{a}} + t \sqrt{\frac{a}{s}} \right)\) .

Теперь положим

\(~x = \frac 1t \sqrt{\frac{2s}{a}} = 1\)

и получим

\(~t = \sqrt{\frac{2s}{a}}\) , \(~\upsilon = \sqrt{2as}\) .

- Здорово! - сказал Петя. - Интересно, а можно ли решить другим способом? Давайте рассуждать так. Чем медленнее мальчик будет бежать, тем больше времени он затратит. А при какой-то скорости он вообще не догонит эту дверь. Выразим время из уравнения (1):

\(~t = \frac{\upsilon \pm \sqrt{\upsilon^2 - 2as}}{2}\) .

Смотрите, при \(~\upsilon^2 < 2as\) решения не существует, так как выражение под корнем меньше нуля! Значит, минимально возможная скорость определяется равенством

\(~\upsilon^2 = 2as\) ,

и ответ совпадает с ответом Коли! Саша после небольшого раздумья сказал:

- А можно еще и третьим способом решить. Давайте построим графики зависимости координат мальчика и двери от времени. В тот момент, когда они пересекутся, мальчик и догонит дверь поезда.

Саша взял карандаш и сделал рисунок.

- Смотрите, чем меньше наклон графика координаты мальчика, тем медленнее он бежит. Наименьшая скорость, при которой он может добежать до двери, соответствует нижней прямой. А она касается графика координаты двери. Это значит, что для такого случая скорости мальчика и двери в момент запрыгивания одинаковы! Скорость двери мы легко найдем:

\(~\upsilon_d = at\) ,

откуда

\(~t = \frac{\upsilon_d}{a}\) .

Подставим это время в уравнение (1) и получим ответ.

А Сашин брат решил проверить результаты мальчиков - он взял производную по времени от выражения (2) и приравнял ее к нулю:

\(~\upsilon' = -\frac{s}{t^2} + \frac{a}{2} = 0\) .

Отсюда он нашел время:

\(~t = \sqrt{\frac{2s}{a}}\)

и, подставив это выражение в формулу (2), получил такой же ответ, как и ребята.

- Молодец у меня брат, да и друзья его тоже молодцы! - подумал он.

На следующий день ребята гордо показали учителю свои решения. Учитель их похвалил.

- Молодцы! Вы не только получили решение, но и рассмотрели различные методы решения задач на минимум. Ты, Коля, преобразовал выражение к виду, для которого мы знаем минимум. Ты, Петя, рассмотрел область допустимых значений выражения. Ты, Саша, проанализировал решение графически и нашел точки касания графиков. Ну а твой брат, Саша, предложил способ решения с помощью производной. Он наиболее универсален, но иногда другие методы проще для вычислений. Я же могу предложить еще один способ. Давайте перейдем в систему отсчета, которая связана с мальчиком. В этой системе начальная скорость открытой двери равна -υ, ее начальная координата s, ускорение а, и поэтому зависимость координаты открытой двери x₁ от времени имеет вид

\(~x_1 = s - \upsilon t + \frac{at^2}{2}\) . (3)

Условием того, что мальчик добежит до двери, будет равенство

\(~x_1 = 0\) ,

т.е. в этот момент парабола (3) пересечет ось абсцисс на координатной плоскости (x₁, t). Но наименьшая скорость соответствует случаю, когда парабола коснется оси t. Вам остается только найти выражение для координат вершины параболы и приравнять х, к нулю. Но это вы должны будете проделать самостоятельно и сравнить с вашими ответами. А метод, который использовал я, можно назвать методом перехода в другую систему отсчета.