Kvant. Метод виртуальных перемещений

Варламов А.А. Равновесие механической системы и метод виртуальных перемещений //Квант. — 1989. — № 1. — С. 45-47.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Рассказывают, что для строительства одного из соборов в Швейцарии его архитектору понадобились блоки, позволяющие поднимать на большую высоту особо тяжелые грузы. Он сконструировал весьма сложный полиспаст, но запутался в многочисленных силах натяжения тросов и так и не смог рассчитать, сколько же человек нужно будет нанять для его обслуживания. За помощью архитектор обратился к известному ученому Иоганну Бернулли (1667—1748). Каково же было удивление архитектора, когда Бернулли, едва взглянув на чертеж, тут же дал ответ. Пораженный архитектор попросил открыть ему тайну столь быстрого расчета...

Попробуем и мы (вслед за Бернулли) обсудить условия равновесия механической системы с несколько иных позиций, чем это сделано в седьмой главе школьного учебника «Физика 8».

Обычно для того, чтобы выяснить условия равновесия системы, вводят силы реакции механических связей. Связями принято называть те ограничения, которые наложены на положение отдельных частей системы, или на возможности их перемещения.

В качестве примеров механических связей можно назвать нить, на которой подвешен груз, шарнир, соединяющий отдельные части механизма, плоскость, на которой находятся тела системы, и т. п. Чем больше в системе связей (например, нитей в полиспасте, сконструированном нашим архитектором), тем сложнее проследить за действием всех возникающих в них сил реакции.

Во многих случаях механические связи обладают неким замечательным свойством, которое Бернулли и положил в основу своего простого и изящного способа нахождения условий равновесия механической системы. Это свойство заключается в том, что полная работа всех сил реакции, возникающих в связях системы при любых достаточно малых возможных отклонениях ее от положения равновесия, равна нулю.

Тут следует специально оговорить, что подразумевается под «любыми достаточно малыми возможными отклонениями» системы от положения равновесия. Прежде всего, конечно, перемещения точек системы, определяющие такие отклонения, не должны противоречить механическим связям (нити не должны рваться, шарниры — ломаться). Такие перемещения называют возможными, или виртуальными (что означает — мысленными). Их следует отличать от истинных перемещений, которые происходят под действием приложенных сил. Виртуальные перемещения не имеют отношения к процессу движения системы — они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соотношения сил и установить условия равновесия. Малость же перемещений нужна для того, чтобы можно было силы реакции считать неизменными.

Связи, для которых сумма элементарных работ сил реакции при любых виртуальных перемещениях равна нулю, называют идеальными. Подчеркнем, что не все связи идеальны. Так, если тела системы лежат на плоскости с трением, то эта связь (плоскость) уже не идеальна.

Рассмотрим, как выполняется свойство идеальных связей на примере системы точек, образующих абсолютно твердое тело. Любая точка А такого тела связана со всеми другими точками силами реакции. Выделим какую-либо точку В и обозначим силы реакции, действующие между точками, через \(~\vec F_{AB}\) и \(~\vec F_{BA}\) (первая из них приложена к точке А, вторая — к В). Забудем на время обо всех остальных точках тела, кроме двух выделенных. Тогда у нас остается система двух материальных точек, соединенных невесомым жестким стержнем. Согласно третьему закону Ньютона,

\(~\vec F_{AB} = -\vec F_{BA}\) . (*)

Совершим теперь некоторые виртуальные перемещения этих точек \(~\Delta \vec s_A\) и \(~\Delta \vec s_B\). Можно считать, что \(~\Delta \vec s_A\) — общее для обеих точек поступательное перемещение твердого тела как целого, a \(~\Delta \vec s_B = \Delta \vec s_A + \Delta \vec s\ '\), Где \(~\Delta \vec s\ '\) — перемещение, соответствующее вращению точки В относительно точки А. Полная работа сил реакции при этих виртуальных перемещениях есть

\(~\Delta A = (\vec F_{AB} \cdot \Delta \vec s_A) + (\vec F_{BA} \cdot \Delta \vec s_B) = ((\vec F_{AB} + \vec F_{BA}) \cdot \Delta \vec s_A) + (\vec F_{BA} \cdot \Delta \vec s\ ')\) .

Первое слагаемое в правой части этого равенства равно нулю в силу условия (*). Равным нулю оказывается и второе слагаемое, так как перемещение \(~\Delta \vec s\ '\), соответствующее вращению точки В относительно точки А, перпендикулярно силе \(~\vec F_{BA}\), которая направлена вдоль прямой, соединяющей точки А и В. Точно так нее можно показать, что виртуальная работа (т. е. полная работа при виртуальных перемещениях) сил реакции и для любых других точек твердого тела равна нулю. Таким образом, на рассмотренном примере мы убедились в справедливости обсуждаемого свойства идеальных связей.

Для того чтобы окончательно сформулировать новый принцип равновесия, нам осталось рассмотреть виртуальную работу внешних сил. Заметим, что каждая приложенная к системе внешняя сила в условиях равновесия должна находиться в равновесии с силами реакции, вызванными ею. Поэтому если теперь вычислить полную работу, совершаемую внешними силами и силами реакции связей при любом виртуальном перемещении, то и она окажется равной нулю. Но относительно сил реакции мы уже знаем, что они никакой полной работы не совершают. Следовательно, при любом виртуальном перемещении полная работа внешних сил также должна быть равна нулю.

Итак, условие равновесия механической системы может быть сформулировано в виде так называемого принципа виртуальных (возможных) перемещений:

для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех действующих на систему внешних сил при любых виртуальных перемещениях системы была равна нулю.

Благодаря этому принципу, сформулированному Иоганном Бернулли в 1717 году, для нахождения условий равновесия нет необходимости рассматривать большое число сил реакции связей. Достаточно выбрать удобные виртуальные перемещения, вычислить соответствующую им полную работу только внешних сил и приравнять ее нулю.

Проиллюстрируем применение этого принципа на простейшем примере — найдем силу упругости пружины, к которой подвешен груз массой m. В качестве системы выберем сам груз. К нему приложены две внешние силы — сила упругости пружины \(~\vec T\) и сила тяжести груза \(~m \vec g\). Представим себе, что мы сместили находящийся в равновесии груз на малую величину Δx вниз. Тогда работа силы тяжести будет равна

\(~\Delta A_1 = mg \Delta x\) ,

а работа силы упругости пружины —

\(~\Delta A_2 = -T_2 \Delta x\) .

Согласно принципу виртуальных перемещений, сумма работ обеих сил должна быть равна нулю:

\(~\Delta A_1 + \Delta A_2 = mg \Delta x - T_2 \Delta x\) ,

откуда получаем

\(~T = mg\) .

Эту задачу, конечно же, можно было бы решить и обычным способом — используя общие условия равновесия тел. Причем в данном случае оба метода по степени сложности одинаковы. Однако в целом ряде случаев применение метода виртуальных перемещений приводит к более быстрому и простому решению, а иногда даже позволяет решать задачи, которые в принципе не разрешимы на основе обычных условий равновесия.

Заметим также, что метод виртуальных перемещений может успешно применяться при решении не только механических задач, но и задач электростатики, молекулярной физики.