Kvant. Меры взаимодействия

Кикоин А. К. О двух мерах взаимодействия //Квант. — 1991. — № 3. — С. 37-39.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Известно, что движение тела изменяется при действии на него других тел. Характеристикой, или, как говорят, мерой взаимодействия является сила. Она и входит в уравнение движения, выражающее второй закон Ньютона. Чем интенсивнее взаимодействие теч, тем больше его результат — ускорения каждого из них.

Но сила — не единственная мера взаимодействия. Есть и другая, не менее важная его характеристика. Это потенциальная энергия взаимодействия. Сила и потенциальная энергия как будто ,бы мало похожи одна на другую. Одно различие между ними сразу бросается в глаза: сила — величина векторная, потенциальная энергия — скалярная. Тем не менее между двумя этими величинами, характеризующими одно и то же взаимодействие, должна существовать и действительно существует связь. О ней и пойдет речь в этой заметке.

Гравитационное взаимодействие

Рис. 1

Пусть тело массой m движется вниз по гладкой наклонной плоскости с углом наклона α. Направим координатную ось X вдоль плоскости, как это показано на рисунке 1, и рассмотрим движение тела на участке между точками с координатами x₁ и x₂.

На тело действуют сила тяжести и сила реакции опоры, но проекция последней на ось X равна нулю, так что она нас не будет интересовать. Проекция же силы \(~\vec F = m \vec g\) на ось X равна

\(~F_x = -mg \sin \alpha\) . (1)

Потенциальная энергия тела (точнее, системы «тело — Земля») в начальной точке равна mgh₁, а в конечной она равна mgh₂, где h₁ и h₂ — высоты, отсчитываемые от некоторого условно выбранного нулевого уровня. Таким образом, при перемещении тела из первого положения во второе потенциальная энергия E_p изменилась на величину

\(~\Delta E_p = mgh_2 - mgh_1 = -mg(h_1 - h_2)\) .

Координата x тела при этом изменилась на величину

\(~\Delta x = x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2)\) .

Из рисунка 1

\(~\frac{h_1 - h_2}{x_1 - x_2} = \sin \alpha\) .

Следовательно,

\(~\Delta E_p = -mg(x_1 - x_2) \sin \alpha = mg \Delta x \sin \alpha\) . (2)

Сравнивая выражения (2) и (1), получаем

\(~F_x = -\frac{\Delta E_p}{\Delta x}\) .

Это значит, что проекция вектора силы \(~\vec F\) на ось X равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии, приходящемуся на единицу перемещения вдоль оси X. Крутая наклонная плоскость отличается от пологой тем, что на каждую единицу пути вдоль нее приходится большее изменение потенциальной энергии, чем вдоль пологой. По крутому склону горы труднее взбираться потому, что каждый шаг по нему связан с большим изменением потенциальной энергии, чем на пологом склоне.

Читатель сам легко сможет убедиться в том, что для проекции вектора силы на ось Y получается аналогичная формула\[~F_y = -\frac{\Delta E_p}{\Delta y}\] . А если при движении тела изменяется и координата z (тело движется не по плоскости, а в пространстве), то и для проекции F_z можно получить подобную же формулу\[~F_z = -\frac{\Delta E_p}{\Delta z}\].

Упругое взаимодействие

Рис. 2

Рассмотрим теперь случай, когда тело движется под действием силы упругости, например, пружины. В верхней части рисунка 2 показана недеформированная пружина с прикрепленным к ней телом. Направим координатную ось X вдоль оси пружины, а начало координат свяжем с правым концом недеформированной пружины.

Пусть теперь пружина растянута так, что координата ее конца стала x₁. На тело действует сила упругости, равная -kx₁. Допустим, что под действием этой силы тело передвинулось в положение x₂, где сила упругости стала равной -kx₂. Но мы будем считать, что на тело всюду действует постоянная сила, равная среднему значению \(~-k \frac{x_1 + x_2}{2}\), так что проекция силы на ось X равна

\(~F_x = -k \frac{x_1 + x_2}{2}\) . (3)

А какова потенциальная энергия? В начальном положении она равна \(~k \frac{x^2_1}{2}\), а в конечном — \(~k \frac{x^2_2}{2}\). Значит, изменение потенциальной энергии

\(~\Delta E_p = \frac{k}{2} (x^2_2 - x^2_1) = -\frac{k}{2} (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)\) . (4)

Сравнивая равенства (4) и (3), находим, как и в случае силы тяжести,

\(~F_x = \frac{\Delta E_p}{x_1 - x_2} = -\frac{\Delta E_p}{\Delta x}\) .

И здесь изменение потенциальной энергии на единицу перемещения вдоль координатной оси равно проекции силы на эту ось. «Сильная» пружина (с большой жесткостью k) отличаемся от «слабой» (с малой жесткостью) тем, что на единицу длины перемещения приходится большее изменение потенциальной энергии. «Сильная» пружина подобно крутому склону, «слабая» — склону пологому.

Новое слово — градиент

В формулах \(~F_x = -\frac{\Delta E_p}{\Delta x}\), \(~F_y = -\frac{\Delta E_p}{\Delta y}\) и \(~F_z = -\frac{\Delta E_p}{\Delta z}\) слева стоят проекции вектора силы \(~\vec F\). Отсюда следует, что и величины \(~\frac{\Delta E_p}{\Delta x}\), \(~\frac{\Delta E_p}{\Delta y}\) и \(~\frac{\Delta E_p}{\Delta z}\) тоже должны быть проекциями какого-то вектора, хотя потенциальная энергия E_p — величина скалярная. Что это за вектор?

Рис. 3

Проведем следующую чисто математическую операцию. Направим мысленно вдоль трех осей координат X, Y и Z три вектора, по модулю равных единице (их так и называют единичными векторами); обозначим их \(~\vec i\), \(~\vec j\) и \(~\vec k\) (рис. 3). Умножив проекции вектора \(~\vec F\) на соответствующие единичные векторы, получим три векторные величины — \(~F_x \vec i\), \(~F_y \vec j\) и \(~F_z \vec k\), их называют составляющими вектора \(~\vec F\) по осям координат. Вектор \(~\vec F\) выражается через свои составляющие так:

\(~\vec F = F_x \vec i + F_y \vec j + F_z \vec k\) .

Но можно написать и так:

\(~\vec F = - \left(\frac{\Delta E_p}{\Delta x} \vec i + \frac{\Delta E_p}{\Delta y} \vec j + \frac{\Delta E_p}{\Delta z} \vec k \right)\) .

Величина, стоящая в скобках в правой части равенства,— это вектор. Называется он градиентом потенциальной энергии и обозначается символом grad, так что

\(~\vec F = - \operatorname{grad} E_p\) . (5)

В этом и состоит связь между двумя мерами взаимодействия — силой и потенциальной энергией: сила равна взятому с противоположным знаком градиенту потенциальной энергии.

Как направлен этот странный вектор? Из формулы (5) видно, что направлен он в сторону увеличения потенциальной энергии. Если, например, речь идет о силе тяжести, то потенциальная энергия растет по мере подъема тела. Туда, по вертикали вверх, и направлен вектор grad E_p.

Можно, конечно, сказать и иначе: сила тяжести направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии. В общем случае вектор градиента потенциальной энергии всегда указывает направление наиболее интенсивного изменения этой величины.

Итак...

Мы нашли связь между двумя мерами взаимодействия для тех случаев, когда оно проявляется в виде тяготения и упругости. Но существует и такое механическое взаимодействие, которое проявляется в виде трения. Для него единственная мера, единственная характеристика — сила (сила трения). С этой силой потенциальная энергия не связана, потому что сила трения не зависит от координат, в то время как потенциальная энергия — функция координат.

Таким образом, в механике используются обе меры взаимодействия — сила и потенциальная энергия, но сила пригодна во всех случаях, а потенциальная энергия — нет.

Заметим в заключение, что в квантовой механике, описывающей явления микромира, мерой взаимодействия служит исключительно потенциальная энергия. Силы в уравнения квантовой механики не входят.