Kvant. Маятник с грузиками

Михайленко А., Хаджи П. Маятник с несколькими грузиками //Квант. — 1998. — № 3. — С. 34-35.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Логическим и простейшим обобщением традиционного математического маятника является маятник с двумя или более грузиками. Такой маятник можно назвать частным случаем физического маятника.

Рис. 1

Рассмотрим сначала более простой случай. Пусть к жесткому невесомому стержню прикреплены два точечных тела с массами m₁ и m₂ на расстояниях l₁ и l₂ соответственно от точки подвеса (рис.1,а). Найдем частоту колебаний такого маятника.

В положении равновесия стержень маятника располагается вертикально. Выведем маятник из положения равновесия, отклонив стержень с грузами на небольшой угол φ (рис. 1,6). Каждый из грузов при этом поднимется на определенную высоту относительно своего положения равновесия. Первый поднимется на высоту \(~h_1 = l_1 (1 - \cos \varphi)\), a второй - на \(~h_2 = l_2 (1 - \cos \varphi)\). Запасенная системой грузов потенциальная энергия относительно положения равновесия будет равна

\(~\Delta E_p = m_1gh_1 + m_2gh_2 = (m_1l_1 + m_2l_2)g(1 - \cos \varphi)\) .

Предоставим теперь маятник самому себе. Благодаря касательным составляющим сил тяжести грузов (которые играют роль «возвращающих» сил), маятник начнет двигаться к положению равновесия. Линейные скорости грузов по мере приближения к положению равновесия будут возрастать. В положении равновесия полная кинетическая энергия грузов станет равной

\(~E_k = \frac{m_1 \upsilon^2_1}{2} + \frac{m_2 \upsilon^2_2}{2}\) ,

где υ₁ и υ₂ — линейные скорости движения грузов. Выражая υ₁ и υ₂ через угловую скорость вращения стержня Ω и длины l₁ и l₂:

\(~\begin{matrix} \upsilon_1 = \Omega l_1 \\ \upsilon_2 = \Omega l_2 \end{matrix}\) ,

кинетическую энергию системы можно представить в виде

\(~E_k = \frac 12 \Omega^2 (m_1l^2_1 + m_2l^2_2)\) .

Предполагая, что в системе отсутствуют потери энергии из-за трения в оси и сопротивления воздуха, и используя закон сохранения энергии, можно приравнять потенциальную энергию кинетической. В результате для угловой скорости вращения стержня получаем выражение

\(~\Omega^2 = 2g \frac{m_1l_1 + m_2l_2}{m_1l^2_1 + m_2l^2_2}(1 - \cos \varphi)\) .

Сравним наш маятник с некоторым математическим маятником, имеющим такую длину L, что при одном и том же начальном отклонении φ от положения равновесия угловые скорости Ω и периоды колебаний Т обоих маятников оказываются одинаковыми. Для математического маятника можно записать

\(~\begin{matrix} \Delta E_p = mgL(1 - \cos \varphi) \\ E_k = \frac 12 m \upsilon^2 \\ \upsilon = \Omega L \end{matrix}\) .

Используя закон сохранения энергии, для угловой скорости Ω получаем выражение

\(~\Omega^2 = 2 \frac{g}{L}(1 - \cos \varphi)\) .

Так как при одном и том же угловом отклонении φ угловые скорости Ω обоих маятников равны, приравнивая правые части соответствующих равенств, находим длину L математического маятника, эквивалентного исходному маятнику с двумя грузами:

\(~L = \frac{m_1l^2_1 + m_2l^2_2}{m_1l_1 + m_2l_2}\) ,

а значит, и частоту колебаний нашего физического маятника:

\(~\omega = \sqrt{\frac gL} = \sqrt{g \frac{m_1l_1 + m_2l_2}{m_1l^2_1 + m_2l^2_2}}\) ,

и его период:

\(~T = 2\pi \sqrt{\frac 1g \frac{m_1l^2_1 + m_2l^2_2}{m_1l_1 + m_2l_2}}\) .

Если m₁ либо m₂ равны нулю (т.е. один из грузов отсутствует), то из последнего выражения получаем формулу для периода колебаний математического маятника. Если же, например, m₁ = m₂ (т.е. массы обоих грузов одинаковы), то

\(~T = 2\pi \sqrt{\frac 1g \frac{l^2_1 + l^2_2}{l_1 + l_2}}\) .

Таким образом, частота и период колебаний нашего маятника определяются как массами грузов, так и их расстояниями от оси вращения.

Сравним полученное выражение для частоты колебаний исследуемого маятника ω с частотами колебаний двух независимых математических маятников с длинами нитей l₁ и l₂ соответственно, которые выражаются формулами

\(~\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{l_1}}\) и \(~\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{l_2}}\).

Если положить l₁ > l₂, то получаем неравенство

\(~\omega_1 < \omega < \omega_2\).

Таким образом, частота колебаний маятника с двумя грузами, расположенными на расстояниях l₁ и l₂ от оси вращения, меньше большей и больше меньшей из собственных частот колебаний двух независимых математических маятников с длинами нитей l₁ и l₂ соответственно.

Исследуем теперь более детально выражение для ω. Предположим, что один из грузов, например груз с массой m₁, расположен на фиксированном расстоянии l₁ от оси вращения маятника, а расстояние l₂ второго груза с массой m₂ меняется. Найдем отношение частоты колебаний нашего маятника к частоте колебаний математического маятника с длиной нити l₁:

\(~y = \frac{\omega}{\omega_1} = \sqrt{\frac{l_1(m_1l_1 + m_2l_2)}{m_1l^2_1 + m_2l^2_2}}\) .

Введем безразмерные переменные \(~x = \frac{l_2}{l_1}\) и \(~a = \frac{m_2}{m_1}\) . Тогда

\(~y = \sqrt{\frac{1 + ax}{1 + ax^2}}\) .

Исследуем зависимость y от x, т.е. зависимость отношения частот \(~\frac{\omega}{\omega_1}\), от отношения длин \(~\frac{l_2}{l_1}\) . Поступим следующим образом. Обозначим z = 1 + ax и запишем

\(~y = \sqrt{\frac{az}{z^2 - 2z + a + 1}} = \sqrt{\frac{a}{z + \frac{a + 1}{z} - 2}} = \sqrt{\frac{a}{\left(\sqrt z - \sqrt{\frac{a + 1}{z}}\right)^2 + 2 (\sqrt{a + 1} - 1)}}\) .

Отсюда видно, что функция y{z) изменяется немонотонно: с ростом z (начиная с z = 1) функция сначала растет, достигает максимума при \(~z = \sqrt{a + 1}\) (это следует из условия обращения в ноль первого слагаемого в знаменателе), после чего монотонно убывает. Максимальное значение при этом равно

\(~y_{max} = \sqrt{\frac{a}{2 (\sqrt{a + 1} - 1)}} = \sqrt{\frac 12 (\sqrt{a + 1} - 1)}\) .

Возвращаясь снова к переменной х, находим значение х = x₀, при котором функция у(х) достигает максимума:

\(~x = x_0 = \frac{\sqrt{a + 1} - 1}{a} = \frac{\sqrt{m_1(m_1 + m_2)} - m_1}{m_2}\) .

На рисунке 2 представлен график зависимости функции y = у{х). Видно, что y > 1 в области 0 < х < 1, т.е. при l₁ > l₂ получаем ω > ω₁. Наоборот, y < 1 в области х > 1, т.е. при l₁ < l₂ получаем ω < ω₁. Отметим, что чем больше параметр a, тем выше максимум.

Рис. 2

Нетрудно обобщить полученные результаты на случай n тел с массами m₁, m₂, …, m_n, закрепленных на невесомом стержне на расстояниях l₁, l₂, …, l_n соответственно от точки подвеса:

\(~T = 2\pi \sqrt{\frac 1g \frac{m_1l^2_1 + m_2l^2_2 + \ldots + m_nl^2_n}{m_1l_1 + m_2l_2 + \ldots + m_nl_n}}\) .

Если массы всех грузов одинаковы, то

\(~T = 2\pi \sqrt{\frac 1g \frac{l^2_1 + l^2_2 + \ldots + l^2_n}{l_1 + l_2 + \ldots + l_n}}\) ,

т.е. период колебаний определяется только расстояниями, на которых располагаются грузики.