Kvant. Маневры

Анфимов М. Закон сохранения импульса и маневры космического корабля //Квант. — 1992. — № 3. — С. 36-37.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Космический корабль приближался к планете, и его необходимо было перевести на околопланетную орбиту. Топлива у космонавтов оставалось немного, и использовать его следовало наиболее эффективно. Корабль снабжен тремя одинаковыми двигателями. Можно включить все три двигателя одновременно (чтобы каждый из них израсходовал одну треть массы топлива), а можно вводить двигатели в работу последовательно — один за другим. Как же поступить?

Пока остается немного времени до включения системы торможения, порассуждаем и мы вместе с командиром корабля и постараемся найти оптимальный способ торможения. Воспользуемся для этого одним из фундаментальных законов механики — законом сохранения импульса.

Согласно определению, импульс частицы массой m, движущейся со скоростью \(~\vec \upsilon\), равен \(~\vec p = m \vec \upsilon\). Если мы имеем дело с системой частиц, то импульс системы есть сумма импульсов отдельных частиц:

\(~\vec p = \sum^N_{i=1} m_i \vec \upsilon_i\) .

Рассмотрим систему двух взаимодействующих частиц (их массы m₁ и m₁, скорости \(~\vec \upsilon_1\) и \(~\vec \upsilon_2\), в которой внешние силы отсутствуют. Такая система называется замкнутой. Обозначим через \(~\vec F_{12}\) силу, с которой частица 1 действует на частицу 2, а через \(~\vec F_{21}\) — силу, с которой частица 2 действует на частицу 1. Тогда, в силу третьего закона Ньютона,

\(~\vec F_{12} + \vec F_{21} = 0\) .

Запишем теперь второй закон Ньютона для каждой из частиц:

\(~\begin{matrix} m_1 \frac{\Delta \vec \upsilon_1}{\Delta t} = \vec F_{21} \\ m_2 \frac{\Delta \vec \upsilon_2}{\Delta t} = \vec F_{12} \end{matrix}\) .

Умножим оба уравнения на Δt и сложим почленно. Получаем

\(~m_1 \Delta \vec \upsilon_1 + m_2 \Delta \vec \upsilon_2 = 0\) ,

или

\(~\Delta (m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2) = 0\) ,

т. е. изменение импульса системы взаимодействующих частиц равно нулю. Следовательно, для замкнутой системы частиц полный импульс сохраняется:

\(~m_1 \vec \upsilon_1 + m_2 \vec \upsilon_2 = \vec p = \operatorname{const}\) ,

Заметим, что если бы частицы находились в каком-либо внешнем поле, то силы, действующие на частицы, не были бы скомпенсированы и импульс перестал бы быть сохраняющейся величиной.

Вернемся теперь к нашей ракете. Пусть масса топлива, которое космонавты могут потратить на торможение, равна m, а скорость истечения газов из сопел двигателей равна \(~\vec \upsilon\).

Рассмотрим первый вариант торможения, когда двигатели включаются одновременно. Чтобы проще было наблюдать за событиями, присоединимся к космонавтам, т. е. перейдем в систему отсчета, связанную с ракетой. В этой системе собственная начальная скорость ракеты вместе с топливом равна нулю. Обозначим скорость, которую приобретет корабль после сжигания всего топлива, через \(~\vec \upsilon_1\), а массу корабля — через M. Из закона сохранения импульса имеем

\(~M \vec \upsilon_1 + m \vec \upsilon = 0\) .

Предположим, что корабль движется вдоль оси X декартовой системы координат. Спроектировав все векторы на эту ось, получаем

\(~M \upsilon_1 - m \upsilon = 0\) .

Отсюда находим скорость, которую приобретет корабль после того, как двигатели отработают все топливо:

\(~\upsilon_1 = \frac mM \upsilon\) .

Во втором варианте торможения необходимо рассмотреть три последовательных процесса, в каждом из которых расходуется масса топлива, равная \(~\frac m3\). Когда сгорит первая треть топлива, корабль приобретет скорость

\(~\upsilon'_2 = \frac{m}{3 \left(M + \frac{2m}{3}\right)} \upsilon = \frac{m}{3M + 2m} \upsilon\) .

и импульс корабля станет равным \(~\left(M + \frac{2m}{3}\right) \upsilon'_2\). Запишем теперь закон сохранения 'импульса для этого момента и для момента, когда будет израсходована вторая треть топлива:

\(~\left(M + \frac{2m}{3}\right) \upsilon'_2 = \left(M + \frac{m}{3}\right) \upsilon''_2 - \frac{m}{3} (\upsilon - \upsilon'_2)\) .

Поясним это равенство. Мы задали скорость истечения газов υ относительно неподвижной ракеты. После первого этапа торможения ракета приобрела скорость υ’₂, и, следовательно, скорость истечения газов относительно выбранной системы отсчета будет не υ, a υ - υ’₂, что и отражено в последнем члене нашего уравнения. После прохождения второго участка торможения скорость корабля будет равна

\(~\upsilon''_2 = \upsilon'_2 + \frac{m}{3M + m} \upsilon\) .

Запишем закон сохранения импульса в третий раз:

\(~\left(M + \frac{m}{3}\right) \upsilon''_2 = M \upsilon_2 - \frac{m}{3} (\upsilon - \upsilon''_2)\) .

Для окончательной скорости корабля в результате трех последовательных этапов торможения получаем

\(~\upsilon_2 = \frac{m}{3M + 2m} \upsilon + \frac{m}{3M + m} \upsilon + \frac{m}{3M} \upsilon\) .

Взглянув на результат, т. е. на выражения для скоростей υ₁ и υ₂, Мы видим, что при последовательном включении двигателей дополнительная скорость, приобретаемая ракетой, меньше, чем при одновременном. Дело в том, что при последовательном включении часть топлива расходуется на сообщение скорости {υ’₂, υ’’₂) оставшемуся топливу.

Теперь нетрудно понять, какое решение должен принять командир космического корабля.