Kvant. Критическое поведение
Руманов Э. Критическое поведение //Квант. — 2007. — № 1. — С. 29-31.
По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"
Для тех, кто не знает, - два слова про Ричарда Фейнмана (1918-1988). Американский физик, один из основателей квантовой электродинамики, Нобелевский лауреат, один из самых ярких теоретиков XX века. Студенты изучают физику по «Фейнмановским лекциям» (есть прекрасный русский перевод Г.И.Копылова) и находят там примерно такие слова:
Картина мира видится людям очень сложной. Многие не подозревают, что сложные процессы зачастую подчиняются простым уравнениям.
Проиллюстрируем это на конкретном примере. Нас будут интересовать качественные изменения в свойствах или поведении различных систем в критическом состоянии. Оказывается, закономерности таких изменений универсальны, в определенном отношении они не зависят от рассматриваемой системы. Впрочем, ограничимся рамками физики, химии и отчасти биологии, не затрагивая системы социальные, политические и т.п.
Впервые термин «критическая точка» появился в статьях о кипении. Посмотрим, что получится, если нагревать жидкость в запаянной ампуле. (Такой опыт требует специальной техники безопасности, без которой проводить его нельзя.) Перед нагревом жидкость занимает часть ампулы, остальной объем заполнен ее паром. Давление пара устанавливается таким, что температура кипения равна комнатной. При более высоком давлении пар будет конденсироваться, отдавая тепло окружающей среде, при более низком давлении жидкость будет испаряться, отнимая тепло у среды, пока равновесие не восстановится. В прозрачной ампуле поверхность жидкости отражает свет и хорошо видна. При нагреве открытого сосуда (например, чайника) его температура остается постоянной, пока вся вода не выкипит. В ампуле же температура и давление согласованно растут: температура всегда равна температуре кипения при данном давлении (рис.1).
По мере нагрева плотность пара увеличивается, так как его в ампуле становится все больше, а плотность жидкости уменьшается из-за роста температуры (тепловое расширение). В критической точке (pк, Tк) обе плотности одинаковы, и отличить жидкость от пара невозможно. Около этой точки (т.е. при давлении и температуре чуть ниже pк и Tк) отличие есть, но оно мало, и случайные слабые воздействия (из-за беспорядочного броуновского движения) вызывают переходы от одного состояния вещества к другому. Ампула в этих условиях заполнена как бы смесью мелких капель жидкости и пузырьков пара. Такая среда сильно рассеивает свет (явление критической опалесценции). В некоторый момент нагрева ампула мутнеет, поверхность жидкости становится невидимой. Потом прозрачность восстанавливается, но никакой поверхности раздела уже нет - вещество в ампуле однородно. Про него нельзя сказать, жидкость это или пар.
Примеры качественных изменений при определенных (критических) значениях параметров встречаются повсюду. Скорость цепной реакции по достижении критической массы неудержимо нарастает, и происходит взрыв. Твердый материал разрушается, когда достигается его предел прочности. Если скорость потока жидкости или газа превысит определенную величину, в нем образуются вихри. И так далее. На первый взгляд, эти явления совершенно разнородны. Выяснилось, однако, что в критических условиях всегда наступает хаос. Эта универсальность критических явлений позволяет знакомиться с ними на самых простых примерах. А именно, обсудим критическое поведение, которое демонстрирует шарик на неровной поверхности.
Пусть шарик находится в ямке, как показано на рисунке 2. Если в начальный момент времени положить шарик на склон ямки, он будет кататься взад и вперед, пока, теряя энергию из-за трения, не остановится в нижней точке ямки в точке 1. При смещении шарика из этой точки вправо или влево сила, действующая на него, будет направлена так, чтобы вернуть его в эту точку. Такое равновесие называют устойчивым. Где бы ни был шарик в начальный момент, в конце концов он окажется в точке равновесия. (Для более сложных систем этот вывод не столь очевиден, но тоже справедлив.) Можно сказать, что шарик «забывает» свое прошлое. У каждой системы есть свое характерное время забывания.
Посмотрим на ямку с более пологими склонами (рис. 3). Здесь шарик тоже останавливается в точке равновесия, но время забывания у него больше. Случайные толчки (если, например, ямка расположена на столике в вагоне поезда) легко выводят шарик из равновесия, после чего он не спешит туда возвращаться. В предельном случае шарика на горизонтальном столе говорят о безразличном равновесии. Если в начальный момент сообщить шарику некоторую скорость, точка, в которой он остановится, зависит от этой скорости и от его начального положения. Под действием случайных толчков шарик может посетить каждую точку стола с одинаковой вероятностью.
Рассмотрим теперь более сложный рельеф (рис. 4), где кроме ямки имеется еще горбик, вершину которого - точку 2 - математики называют точкой неустойчивого равновесия. При смещении шарика из этой точки появляется сила, стремящаяся такое смещение увеличить. Так как в реальности невозможно ни поместить шарик в точку 2 с математической точностью, ни избежать сколь угодно слабых толчков, то, с позиций экспериментатора, равновесия в этой точке нет. Значение точки 2 - в другом.
Состояние движущегося шарика определяется двумя величинами - его положением x на рельефе в данный момент времени и скоростью υ в этот момент. Два числа x и υ можно считать координатами точки на плоскости. Ее называют фазовой плоскостью. В следующий момент времени будут уже другие значения x и υ, движение «отображается» линией на фазовой плоскости - фазовой траекторией. Когда рельеф таков, как на рисунках 2 или 3, все траектории приходят в точку x = x1, υ = 0. Если же шарик на рисунке 4 перекатится через бугор, в точку 1 он может и не вернуться (это зависит от той части рельефа правее точки 2, которая на рисунке не показана, и от начальной скорости шарика). Иными словами, траектории, сходящиеся к точке (x1, 0) , занимают только часть фазовой плоскости. Эту часть называют бассейном притяжения точки x1. Граница бассейна проходит через точку x = x2, υ = 0. По другую сторону границы расположены бассейны других точек равновесия. Фазовая плоскость поделена на бассейны притяжения подобно тому, как суша поделена водоразделами на бассейны различных водоемов.
Будем теперь спрямлять рельеф на рисунке 4 так, что ямка и горбик сглаживаются, а точки 1 и 2 сближаются. На рисунке 5 показан момент слияния этих точек.
При меньшем изгибе равновесия нет, шарик катится вниз (рис.6).
Таким образом, в критической ситуации, соответствующей рисунку 5, во-первых, исчезает граница бассейнов притяжения, или, точнее, левый бассейн поглощается правым, а во-вторых, при изгибе, близком к критическому, рельеф содержит почти горизонтальный участок. Движение шарика в этом случае подобно тому, что мы описывали, комментируя рисунок 3. Время забывания велико, а очень слабые случайные толчки (которые есть в любой реальной системе) вызывают «блуждания» большого размаха.
Наконец, обратимся к рельефу на рисунке 7 - две ямки, разделенные горбом.
Здесь при сглаживании горб исчезает, обе ямки сливаются в одну (рис. 8), неустойчивая точка 2 в результате слияния с точками 1 и 3 становится устойчивой.
Подчеркнем отличия превращений на рисунках 4-6 и на рисунках 7-8. В первом случае (слияние двух точек) равновесие исчезает, а новое положение равновесия оказывается отодвинутым от места слияния на конечное расстояние. Когда же сливаются три точки, новое равновесие возникает там, куда приходят старые точки в момент превращения. Но в обоих случаях имеют место почти горизонтальный участок рельефа, большое время забывания, хаотические колебания большого размаха под влиянием слабых случайных толчков.
При изучении критических явлений полезно понятие восприимчивости. Что такое восприимчивость применительно к шарику, можно пояснить, вернувшись к рисунку 2. Предположим, что к шарику с помощью нити, перекинутой через блок, привязан грузик (рис.9). Пусть масса грузика мала по сравнению с массой шарика. Под действием грузика шарик переберется из точки 1 в точку 1’ - это его новое положение равновесия. Отношение расстояния |x1’ - x1| к массе грузика и будет в данном случае восприимчивостью. Ясно, что на пологом рельефе (см. рис.3) восприимчивость больше, чем на крутом. То же относится к рельефам с почти горизонтальным участком на рисунках 5 и 8.
Когда условия приближаются к критическим, восприимчивость любой системы (а не только шарика) растет. Отклик на каждое, даже слабое, воздействие велик. А так как среди воздействий всегда есть слабый шум, поведение системы в критических условиях оказывается хаотическим.
Для шарика критические условия связаны только с изменениями равновесия. Более интересны системы, которым внешнее воздействие не дает прийти в равновесие. Так, Земля не приходит в равновесие с межпланетной средой благодаря световому потоку от Солнца, а чтобы в камере холодильника поддерживалась температура ниже комнатной, надо включить его в сеть. Время забывания у таких (активных) систем, разумеется, тоже ограничено. Поэтому рано или поздно их поведение перестает зависеть от начальных условий. Система, как говорят, выходит на установившийся режим.
Есть разные сорта установившихся режимов. Выход на стационарный режим можно наблюдать, не расставаясь с шариком. Надо его бросить в сосуд с вязкой жидкостью (например, с глицерином). Скорость, с которой шарик опускается вниз, быстро выходит на постоянное значение, определяемое равенством силы тяжести шарика и суммы двух сил: выталкивающей (архимедовой) силы и силы вязкого трения. Из-за трения при движении шарика выделяется тепло, так что жидкость, окружающая шарик, нагревается, и ее вязкость падает. От этого установившаяся скорость увеличивается, тепла выделяется больше, вязкость становится еще меньше и так далее. Возникает, как говорят, обратная связь между скоростью и вязкостью. Такая связь служит причиной неустойчивости описанного режима при определенных условиях (значениях параметров). Для стального шарика в глицерине, например, критический радиус составляет примерно 1 см, а критическая скорость - около 1 м/с. Однако наблюдение этого явления в лабораторных условиях нереально. Тепловые процессы идут медленно, неустойчивость развивается за время порядка десятков минут, так что сосуд пришлось бы делать слишком глубоким. Иное дело, например, движение пластов земной коры. Возможно, некоторые землетрясения обусловлены тепловой неустойчивостью этого движения. Другой подозрительный в этом плане объект - ледник, ползущий вниз по склону горы.
Стационарный режим, как и состояние равновесия, тоже можно характеризовать восприимчивостью, которая в критической области параметров должна расти. Есть надежда, что изучение низкочастотного шума сложных промышленных и природных систем позволит найти признаки, предупреждающие заранее о назревающем кризисе. Трудно поверить, что сложные химические или биологические системы имеют что-либо общее с шариком, ямками и горбиками. Тем не менее, высокая восприимчивость и обусловленная ею хаотизация в критических условиях обнаружены у всех систем, исследованных до сих пор. Обратное утверждение о том, что высокую восприимчивость можно получить только в условиях, близких к критическим, не доказано, но, по-видимому, верно.
Нестационарные установившиеся режимы называют автоколебаниями. Многие холодильники работают в периодическом режиме: мотор включается, когда температура в камере превысит допустимое значение, и выключается после того, как она достаточно понизилась, затем следует стадия медленного нагрева из-за теплопроводности стенок, и все повторяется. Другой пример периодического режима - ход часов. В них источником «внешнего» воздействия, мешающего прийти в равновесие, служит батарейка или сжатая пружина.
До сих пор мы говорили о хаосе, который не выходит за пределы относительно узкой критической области параметров. Но есть режимы, которые после своего рождения остаются хаотическими, даже когда значения параметров уходят из критической области. Изучение такого хаоса показало, что и здесь важную роль играет соседство устойчивых и неустойчивых состояний. Именно хаос мешает делать достоверные предсказания, например правдивые прогнозы погоды. Хаос многолик, и особенно интересны различия между его проявлениями в разных случаях. Кое-что об этом уже удалось узнать, но главная работа - впереди.
